L IH B

Fig. 98.

Si l'axe YZ, autour duquel nous faisons tourner la spire rectangulaire ÂBCD, passait par les milieux des deux côtés paral-

Fig. 99.

lèles AD et CE, le volume engendré serait celui d'un cylindre ; de là le nom d'induit en tambour. Les figures 96 et 97 se trouveraient alors remplacées par les figures 98 et 99 ; toutes les formules

LE CIRCUIT INDUIT

précédentes s'appliqueraient encore. La spire partant d'une position quelconque reprend, après un demi-tour, cette même position avec inversion des côtés parallèles AB et CD ; les courants correspondant à ces deux positions ont tous les deux la même intensité, mais ils parcourent la spire en sens contraires.

Remarquons, en passant, que la variation dQj pendant le temps dt, du flux de force Q qui traverse Taire de la spire ÂBGD est égale au flux de force coupé, pendant le même temps, par le périmètre ABGD de cette spire. Or les côtés opposés AB et CD, qui restent constamment parallèles à Taxe de rotation YZ et, par conséquent, perpendiculaires à la direction du champ, donnent seuls des coupures du flux de force ; les deux autres côtés opposés AD et BG, qui se meuvent dans des plans parallèles à la

Fig. 100.

direction du champ ne coupent aucun flux de force et, par conséquent, ne contribuent pas à la création de la force électromotrice. Cette observation s'applique aux deux types, anneau et tambour, de Finduit.

Indiquons encore une troisième disposition (moins fréquemment adoptée que les deux précédentes), qui caractérise les induits polaires. Prenons (fig. 100) le centre défigure G de la spire ABGD ; élevons en ce point la normale OGN à la surface du rectangle et,

par un point 0 de cette droite, menons, parallèlement aux côtés AB et DC, la droite YZ qui sera Taxe de rotation perpendiculaire à la direction du champ. Il est évident que Ton pourrait obtenir le mouvement de la spire ABGD en la supposant enroulée à Textréliiilé d'un rayon d'une roue dont le moyeu serait fixé sur Taxe YZ ; de là le nom d'induit polaire. Sur le plan OHK, normal à Taxe

Fig. 101.

de rotation, on obtient la figure 101, dans laquelle apparaît la direction OS du champ magnétique. Les formules établies pour rinduit annulaire s'appliquent encore sans modification. Dans ce cas, comme dans les deux précédents, les côtés BG et AD se meuvent dans des plans parallèles au champ magnétique et, par conséquent, ne coupent aucun flux; les côtés AB et CD, perpendiculaires au champ contribuent seuls à la création de la force élèctromotrice d'induction.

169. Bobine composée de plusieurs spires. — Au lieu de considérer une seule spire, nous pouvons considérer plusieurs spires juxtaposées suivant un enroulement régulier de manière à former une bobine.

Commençons par un induit annulaire (fig. 102) ; désignons par n le nombre des spires de la bobine et par ^ l'angle dièdre fermé par les plans de deux spires consécutives. L'angle dièdre fermé par les plans H,Ki et H^Kb de la première et de la dernière spire est égal & (n — 1) o ; menons la perpendiculaire ON au plan

LE CIRCUIT INDUIT

bissecteur de ce. dièdre et désignons par <o Fangle NOS que fait cette normale avec la direction OS du champ magnétique.

Si nous désignons par la constante k le produit de l'aire d'une des spires par l'intensité du champ magnétique, nous obtiendrons

Fig. 102.

les valeurs des flux de force traversant respectivement les n spires successives de la bobine au moyen des formules suivantes :

^j = k cos

(7j = & cos

q^ :=z k cos

Çn = & cos W — .5-=^ ç + („ i) çj

Il suffît de faire la somme de ces flux partiels pour obtenir le flux de force total Q relatif à la bobine. En remarquant que les angles

des seconds membres forment une progression arithmétique dont la raison est cp, on trouve

. no sm -^

Q = k cos w.

Le maximum de Q se produit lorsque (o est égal à un multiple

de ic ; il a pour valeur

. no sm-^

Qo = *-

o sin ^

en rintroduisant dans Texpression précédente, on trouve

Q = Qo cos Cl).

Appelons R la résistance de la bobine, L son coefficient de selfinduction, T la durée d'un tour complet de la rotation uniforme» a un angle auxiliaire déterminé par la formule

SttL

rintensité I du courant aura pour valeur

I = sin (w — a) ;

VK*T* + 4r.='L*

elle est d'autant plus grande que T est plus faible ; il y a donc intérêt à rendre aussi grande que possible la vitesse de rotation. Dans le cas particulier où les spires recouvriraient entièrement Tanneau, on aurait

no = âir

et, par conséquent,

le flux total dans ce tore électromagnétique serait constamment nul et, par conséquent, aucun courant ne pourrait se produire.

Examinons maintenant le cas où Tinduit est en tambour au lieu d'être annulaire; soit encore n le nombre des spires et f

LE CIRCUIT INDUIT

l'angle dièdre que forment les plans de deux spires consécutives quelconques {Rg. 103). Nous mènerons, comme dans le cas précédent, la normale ON au plan bissecteur de l'angle dièdre formé par les plans HjKt et fl„K„ des deux spires extrêmes (angle égal à

Fig. 103.

(n-1) y), et nous prendrons pour variable indépendante l'angle t> que cette normale ON fait avec la direction OS du champ magnétique. On retrouve ainsi les mêmes formules que pour l'induit en anneau.

Si les spires sont assez multipliées pour recouvrir entièrement la surface latérale du tambour, on a :

n© = ic *

et, par conséquent, la valeur du flux est

sin 5- 2n

cos u>.

Faisons faire au tambour une demi-révolution autour de son axe et continuons l'enroulement de manière à superposer & chacune des spires primitives une autre spire qui se trouvera enroulée en sens contraire; compensons ensuite le déplacement du tam-

bour par une demi-révolution en sens inverse de la première. Les spires de la seconde moitié de Tenroulement complet ainsi obtenu résultent, pour ainsi dire, d'un demi-tour imprimé à chacune des spires de la première moitié ; il en résulte que le flux relatif à la seconde moitié de Tenroulement a pour valeur

Q" = — ^ cos (« + i:) = — Q'.

Le flux total correspondant à lenroulement complet est

il en résulte qu'aucun courant ne peut se produire lorsque Ton fait tourner l'appareil.

Pour bien éclaircir ce point, il est utile de recourir à des sché-

•O ; \ I ; -*:» e .' \ f /--4 --il ^—^ ^^=^S

X'ff' • \

Fig. 104.

mas. Formons (fig. 104) le premier enroulement avec quatre spires seulement, qui donnent respectivement sur la surface latérale et sur la face postérieure du tambour les systèmes de trois droites H VV, 22 2'2', 33 3'3', et 44 4'4' ; traçons sur la face antérieure une petite circonférence pointillée, concentrique à cette face, et marquons les points a, ô, c, rf, e où elle rencontrerait les rayons 01, 02, 03, 04, 01' ; prenant le point a pour origine de la première spire, nous complétons cette spire par le rayon rectiligne aï et par le rayon curviligne Mb ; prenant b pour origine de la seconde

LE CIRCUIT INDUIT

spire, nous la complétons par le rayon rectiligne b2 et par le rayon curviligne 2'c ; nous complétons de même la troisième spire par c3 et 3W et la quatrième par di et 4'e ; il suffirait de joindre ae pour fermer le circuit et, si Ton faisait alors tourner le tambour dans un certain sens, les directions du courant sur la face antérieure du tambour seraient, relativement au centre o, convergentes suivant, les rayons droits et divergentes suivant les rayons courbes.

Fig. 103.

Formons maintenant (fig. iOS) le second enroulement d'une manière analogue, mais en sens contraire, c'est-à-dire en commençant par e V au lieu de commencer par a 1 ; il est clair que celte seconde figure, si elle faisait un demi-tour autour de l'axe, se superposerait à la première ; il suffirait de joindre ea pour fermer ce second circuit et, si l'on faisait alors ^ tourner le tambour dans le même sens que précédemment^ les directions du courant sur sa face antérieure seraient, à l'inverse de ce qui avait lieu pour le premier circuit, divergentes suivant les rayons droits et convergentes suivant les rayons (rot/r6^^. Réunissant maintenant les deux enroulements, en soudant leurs bouts respectifs en a et en e^

nous obtiendrons sur la face antérieure du tambour la disposition symétrique indiquée sur la figure 106; il est clair, d'ailleurs,.

Fig. .107.

Fig. 108.

qu'aucun courant ne pourra se produire dans ce circuit complet,

car il lui serait impossible de satisfaire à la condition de convei^er

vers le centre 0 sur les deux branches du bec a.

En remplaçant parune ligne droite joignant ses extrémités chacun des huit rayons courbes que nous avons employés pour la clarté des diagrammes, on obtient, sur la face ( antérieure du tambour, la disposition indiquée par la figure i 07; c'est ainsi que l'on procédé pour établir les connexions de l'induit Siemens dont nous parlerons plus loin.

Remarquons encore que le diagramme contenant les rayons courbes se cotnpose de huit h'gnes mixtes telles que iai qui peuvent être respectivement remplacées par des lignes droites telles quel 4, enrepor- F»&- ^^- tant les points a sur les milieux de

ces droites. On obtient f ainsi la figure 108; c'est la disposition

adoptée pour Tinduit Edison.

LE CIRCUIT INDUIT

Passons enfin au cas d'un induit polaire. La multiplicité des spires enroulées normalement au rayon oN (fig. 109) a pour effet de multiplier par le nombre n de ces spires le flux qui traverse une seule d'entre elles. Les formules relatives à une seule spire n'ont à sqbir que cette seule modification.

170. Beux bobines symétriques. — Considérons un système de deux bobines B et B^ symétriques par rapport à l'axe de rotation. Pour fixer les idées, nous supposerons qu'il s'agisse d-un induit annulaire ((ig. 110); mais les observations qui vont suivre s'appliqueraient également à un induit polaire et à un induit à tambour, en prenant, dans ce dernier cas, comme couple de bobines symétriques, un système de deux groupes de spires superposés avec enroulements en sens contraire.

Les deux bobines dont il s'agit sont incorporées dans un même circuit ; le flux total qui ^*?' ^*^^'

les traverse est composé de deux parties égales et de signes contraires, en sorte qu'il est constamment nul. Les fils AC et A'C étant supposés situés dans un plan perpendiculaire à l'axe de rotation ne contribuent pas à la création des forces électromotrices. Cet appareil resterait inactif, c'est-à-dire qu'il ne produirait aucun courant, quelle que fut sa vitesse de rotation. Mais si nous réunissons par un conducteur métallique HK les milieux des deux fils AC et A'C nous fermerons simultanément les circuits de chacune des deux bobines B et B' et nous obtiendrons, pour ainsi dire, deux machines distinctes, attelées en quantité et travaillant sur la résistance extérieure HK.

Désignons

par r et L la résistance intérieure et le coefficient de self-induction de la bobine B,

par / et V la résistance intérieure et le coefficient de self-induction de la bobine B',

par Q le flux de force traversant la bobine B à Tinstant i et par I rintensité du courant qui passe alors dans cette bobine, par Q' et F le flux de force et Tintensité du courant, au même instant t^ pour la bobine B', par R la résistance extérieure HK,

etparilf le coefficient de self-induction des deux bobines B et B'. Nous aurons les deux équations différentielles simultanées

^+I.^+lf^+rt' + R(I + I')=o

On a évidemment

il en résulte que le système des deux équations ci-dessus peut être remplacé par

^ + (L + af)3j + (r + 2R)I = o.

On recueillera donc dans le conducteur HK deux courants égaux dont Tintensité commune I est déterminée par une équation différentielle de même forme que notre équation fondamentale.

Posons, pour simplifier les écritures,

L'équation différentielle deviendra Nous aurons alors

Q = Qo COS -7p—

E = jy = -y- Qo sin "Y" = Eo sin -^

. 2itO 27rL

T (r + 2 h) T T 2itQo Eq ^^^ 2itO

Jo = = . ^ ., COS — == —

I = lo sin

V(r + 2R)*T* + 4w* L* r + 2H 2it (f — 0)

LE CIRCUIT INDUIT

On recueille dans le circuit extérieur QK un courant d*intensite double,

^. 2Eo 2i:0. 2i:(« — G) ^^ = 7T2H^°^-T-^^°— T •

Introduisons dans ces diverses formules l'angle de rotation de

l'appareil

Cl) =

Zttt

la vitesse angulaire de rotation

et Tangle de retard

elles deviendront

2Ec

Q =: Oo COS «i> E =: X Oo sin (u = Eo sin a>

COS a siu (eu — a) = 2 lo sin (a> — a).

171. Captage du courant alternatif. — Pour recueillir extérieurement le courant 21, on relie (fig. ill) les deux points H et K à

Fig. in.

des bagues métalliques, centrées et calées sur l'arbre YZ, qui sont mises chacune en communication permanente par contact avec un balai frotteur ; ces deux balais H' et K' sont reliés aux extrémités du circuit extérieur qui, de cette manière, ne participe pas au mouvement de rotation.

172. Redressement du courant. — On peut redresser les courants avant de les capter à Textérieur.

A cet effet, on réunit les points H et K aux deux moitiés d'un

Fig. 112.

Fig. 113,

commutateur formé d'un lube fendu, centré et calé sur Tarbre et tournant avec lui (fig. 112). Deux balais frotteurs (fig. 113) transmettent le courant au circuit extérieur en le faisant changer de sens à chaque demi-tour.

Le plan méridien passant par les contacts [des balais et du commutateur doit être orienté de manière que ces contacts

Fig. 114.

cessent au moment même où Tintensité 21 s'annule, c'est-à-dire lorsque ((o — a) devient un multiple de tc. Il en est ainsi lorsque le plan bissecteur du dièdre fermé par les plans des spires extrêmes dé Tune des bobines fait avec la direction du champ magnétique

un angle égal à ( ^+ a ] •

LE CIRCUIT INDUIT

La courbe obtenue en prenant co pour abscisse et 2 I pour ordonnée est alors entièrement située d un seul côté de Taxe des abscisses; elle présente la forme indiquée par la figure 114. En réalité, l'ordonnée de cette courbe ne devient jamais rigoureusement nulle, à cause des extra-courants de self-induction qui se produisent au moment des cessations de contact du collecteur et des balais.