CHAPITRE III
Principe des transformateurs. — Théorie du transformateur. — Influence d'un noyau de fer. — Transformateur Gaulard. — Transformateur Zipernowski. — Transformateur Westinghouse. — Transformateur Ferranti. — Rendement industriel. — Bobines d'induction. — Economie réalisée sur les câbles conducteurs. — Emploi des transformateurs dans les distributions électriques.
257. Principe des transformateurs. — La puissance mécanique est le produit de deux facteurs, force et vitesse. Si Ton désigne par V la vitesse par seconde du point d'application d*une force f dans le sens de cette force, la puissance mécanique correspondante est
il existe en mécanique beaucoup d'appareils au moyen desquels cette puissance peut être transformée en une puissance égale
résultant de deux facteurs différents des premiers. On pourrait appeler ces mécanismes des transformateurs de puissance. L'égalité nécessaire
(en négligeant les résistances passives) se traduit en langage ordinaire par cet axiome bien connu : ce que ton gagne en force ^ on le perd en vitesse j et réciproquement.
Analoguement la puissance électrique est le produit de deux facteurs, force électromotrice et intensité. Deux courants élec« triques qui ont respectivement pour force électromotrice et pour
TaAITK PRATIOLE D'^LSCrRIGITÉ. 30
intensité, le premier E et I, et le second E' et F, ont des puissances équivalentes si Ton a Tégalité
El = E'r.
Un transformateur est un appareil destiné à faire varier les deux facteurs d'une puissance électrique, en conservant la constance de leur produit. Etant donnée une puissance disponible de I ampères sous E volts, il s'agit <le lui faire produire dans un circuit donné un courant de T ampères sous E' volts. Les lois de l'induction permettent d'arriver à ce résultat de la manière suivante.
Intercalons dans un circuit primaire, desservi par une dynamo à courants alternatifs, une bobine composée de plusieurs spires ; intercalons, d'autre part, dans un circuit fermé, dépourvu de machine génératrice, une bobine composée de plusieurs spires et enchevêtrée dans la précédente de manière à faire prendre une valeur aussi grande que possible au coefficient d^induction mutuelle ; un noyau de fer, convenablement divisé pour atténuer les effets d'hystérésis et de courants de Foucault, pourra être placé à rintérieur des deux bobines afin de renforcer les effets d'induction. Le courant variable du circuit primaire fera naître dans le second circuit un autre courant variable ; soit I Tintensité moyenne du courant primaire, l' celle du courant secondaire et R' la résistance du second circuit ; la puissance électrique du courant transformé sera R' P, résultant de F ampères sous R' F volts ; elle est empruntée à la dynamo génératrice du premier courant, qui la fournit sous la forme de produit de I ampères par •
volts.
258. Théorie du transformateur. — Considérons un transformateur sans noyau ou à noyau non magnétique et désignons par L et L' les coefficients de self-induction du circuit primaire (y compris l'induit sans fer de rallernateur) et du circuit secondaire, par R et R' les résistances totales correspondantes, par M le coefficient d'induction mutuelle des deux circuits.
A l'instant quelconque ^, la force électromotrice E, créée par la
machine, et les intensités I et I' des deux courants satisfont (n** 101) aux deux équations
El dt= RP dt+ LI cil + MI dY 0 = R'P dt + L'r rfr + Ml' dL
Ajoutons ces deux équations, nous aurons
El dt = RI* dt + RP dt + d (LI + VV) + d (MIT). (2)
En intégrant pour un laps de temps considérable 6, nous trouverons
i- JeI dt = 1 J(RP + R'P) dt. (3)
Le premier membre représente la valeur moyenne de Ténergie
électrique fournie par l'alternateur et le second membre représente
la valeur moyenne de Ténergie calorifique dépensée sur les deux
circuits. Ces deux énergies calorifiques moyennes sont égales ; les
self- inductions et Tinduction mutuelle n'absorbent rien.
La relation
^Jd (MIT) = -^/mI dV + -I/mI' dl = 0 (4)
contient en elle les lois fondamentales du transformateur.
Elle indique d'abord (n*" 92) que la valeur moyenne de fénergie relative Mil' des deux courants est nulle. Il en résulte que les deux courants ont des phases différentes^ car si leurs intensités s'annulaient toujours simultanément, MIF serait constamment positif et sa valeur moyenne ne pourrait pas être nulle*.
Elle permet ensuite de déduire des équations (1) les deux formules suivantes
dt
• Ce raisonnement suppose implicitement que les deux courants ont la même période.
La seconde indique que le travail moyen des forces électriques du courant primaire sur le second courant crée F énergie calorifique moyenne de ce dernier ; sa valeur est positive comme doit l'être celle d'un travail moteur. Par contre, le travail moyen des forces électriques du courant secondaire sur le premier courant est un travail résistant^ sa valeur est négative ; la première des formules (5) indique donc que t énergie calorifique moyenne du courant primaire n'est égale qu'à fexcès de C énergie moyenne fom^ie par T alternateur sur la valeur absolue moyenne du travail résistant. En résumé, on peut regarder le courant primaire comme une machine motrice, et le courant secondaire comme une machine-outil; Tinduction mutuelle des deux courants représente l'organisme de transmission qui reçoit le travail moteur et le transporte sur Toutil.
En divisant les équations (1) respectivement pari dt et par V dt^ on les ramène aux suivantes
Dans le cas particulier où Ton a
T on trouve pour intégrales
I = lo sin — '— •
r = l'o sin — ^p i
E = Eo sin ?^ (7)
Les valeurs des constantes lo, V^ 0 et V sont assez compliquées ; si Ton pose, pour simplifier les écritures,
2ica 2 7rL'
[ p = R + — sin»-ç-R'
on trouve
2tce 2icX ^ T "" p T
lo = — cos —=- P T
2rMEo 2«e 2ira
1 0 = ,^i ^ cos — ;;r- COS
Les deux dernières formules donnent
Tq 2 ic M 2ica 2icM
lo - "R^ ^^'"T- - VR''P + 4ic«L'« (*^^
Le rapport
Im lo lo lo
^^WH ^^^ «^^BM • ^^^.M ^^2 ^M^
l« V2 ' V^2 îo
de rintensité moyenne du courant secondaire à celle du courant primaire croît, par conséquent, lorsque M augmente et lorsque L' diminue. Il serait possible d'arriver à la même conséquence, sans faire aucune hypothèse sur la forme fonctionnelle de E, en raisonnant sur les équations différentielles (6).
Le transformateur est toujours placé assez loin de la machine génératrice pour que le coefficient d*induction mutuelle de Tinduit de cette machine et des spires du circuit secondaire soit sensiblement nul ; il en résulte que M ne diffère pas du coefficient d*induction mutuelle des deux enroulements du transformateur.
259. Influence d'un noyau de fer. — Si les deux bobines sont enroulées sur un anneau de fer doux, les valeurs des coefficients L, U, M s'accroissent beaucoup, parce que le flux d*induction qui, pour deux valeurs simultanées quelconques des intensités I et r, correspondrait à l'espace vide occupé par le fer, se trouve multiplié par la perméabilité
du noyau magnétique. lien résulte que la puissance du transformateur augmente. Mais comme la perméabilité [x varie avec la force magnétisante qui est, dans le cas actuel, une fonction des deux intensités I et F, les paramètres L, M et U qui entrent dans les
équations différentielles (6) cessent d'être des constantes et deviennent des fonctions à peu près inconnues de I et de V. L'intégration de ces équations différentielles devient impossible et la solution (8) ne leur est plus applicable.
Si Talternateur possède un induit muni de fer, une nouvelle cause de variation en résulte pour le paramètre L qui devient, de ce chef, une fonction de I ; la loi de la force électromotrice totale E n'est pas alors une loi sinusoïdale simple.
Ajoutons enfin que l'hystérésis çt les courants de Foucault dans le noyau de fer apportent une nouvelle complication dans les phénomènes, quelle que soit leur atténuation résultant de ce que l'on a pris soin de diviser les masses de fer.
Pour essayer d'édifier, malgré ces difficultés, une théorie des transformateurs tels qu'on les construit dans la pratique, on prend tout simplement le parti de négliger tout ce qui fféne. On suppose que la force électromotrice E est sinusoïdale et que les effets d'hystérésis et de courants de Foucault sont négligeables; on admet, en outre, que les perméabilités du noyau du transformateur et du noyau de l'induit de la machine génératrice à courants alternatifs conservent des valeurs constantes, de manière que les paramètres L, M et U qui dépendent d'elles restent eux-mêmes invariables ; on regarde enfin comme négligeables les effets de self-induction du courant secondaire, ce qui revient à faire V = 0 dans la seconde des équations différentielles (6).
Dans ces conditions, on arrive aux équations finies
2jzt
\ ^^ T "" ûT
Eo 2i:0
l lo = - COS -^
y __ 2tcM -
*0 j»/ rp ■■O
I = lo SIQ ^= ■
1 = — lo COS jK
E = Eo sin -t:?- \i)
L'équation relative au circuit magnétique (n® 183), qui doune pour valeur de la force magnétomotrice
jRQ = ^r. (ni + nT) , (5)
devient dans le cas actuel
BQ — ir, \ nlo sin — i-= — nVo cos ^^
Si nous posons
° T* ~ nlo ~ R'Tn
4i: nlo 0)
