DIVISION

19. Tracé. — La division d'un thermomètre peut être équidistante ou adaptée au calibre du tube; dans ce dernier cas, elle est dite rectifiée.

Cette adaptation, qui peut être suffisamment exacte pour les thermomètres de second ordre, est généralement trop imparfaite pour les thermomètres de précision; elle ne dispense pas d'un calibrage a posteriori, par lequel on détermine les erreurs minimes échappées au constructeur. Dans ce cas, le premier calibrage du constructeur est inutile; il est même, le plus souvent, nuisible. En effet, le calibrage d'une échelle consiste à déterminer les corrections d'un certain nombre de points équidistanls et à

(*) Celle pression sabit, en réalilé, de faibles varialions, donl il csl 1res difficile de lenir compte; nous y reviendrons dans le troisième Chapitre.

faire une interpolation pour les traits intermédiaires, en admettant que les corrections varient d^une manière continue; il faut, pour cela, que la section du tube et la division ne présentent aucun saut brusque sensible. Or Texpérience montre que cette condition est presque toujours remplie en ce qui concerne la section du lube ; tandis que le tracé rationnel, à Taide de la machine à diviser, d'une division rectifiée rend l'emploi de cet instrument très compliqué, et les constructeurs s'en tiennent le plus souvent à une division mixte, consistant en plusieurs sections de traits équidislants dont les extrémités sont rectifiées. Enfin, quelques constructeurs tracent toute la division à la main. Dans le premier cas, la courbe des corrections totales de calibre et de division présente des points anguleux; dans le second, elle est tout à fait discontinue.

Parmi les divisions équidistantes, il faut distinguer les divisions purement arbitraires de celles qui sont adaptées à très peu près à l'intervalle fondamental; dans les premières, l'intervalle [o-ioo] est donné par un nombre quelconque de divisions, les traits étant par exemple distants de i"">«, dans les dernières, au contraire, on adopte comme équidistance des traits la longueur la plus voisine possible de celle qui se déduit de la mesure de l'intervalle [oioo].

Il existe de bonnes machines à diviser, d'une construction simple, pouvant donner des équidislanccs progressant par demimicrons. Le degré étant divisé, par exemple, en dixièmes, et Tintervalle fondamental en mille parties, la longueur des mille intervalles pourra donc progresser par demi-millimètres, et la division pourra être adaptée à cet intervalle à moins d'un quart de millimètre près. Si le degré a une longueur de 5"*"*, l'erreur maxima résultant du défaut d'adaptation de la machine à l'intervalle fondamental ne sera que de o,o5 degré. Les lectures brutes correspondent ainsi à très peu près aux lectures réduites; celte concordance approximative entre les lectures brutes et les lectures réduites simplifie beaucoup l'emploi des thermomètres, et rend certaines erreurs plus difficiles.

20. Etude de la division. — Les inconvénients des divisions rectifiées les avant fait rejeter pour les thermomètres de précision.

42 THER3fOMÉTRIE DE PRÉCISIOlf.

Dous pouvons nous borner à indiquer comment on vérifie les divisions dites équidistantes.

Les erreurs absolues de la division des thermomètres n'ont aucune importance, tant qu'elles n'excèdent pas certaines limites ; ce qu'il importe de découvrir par l'examen de la division, ce sont les discontinuités. Une bonne machine à diviser, habilement manœuvrée, doit fournir un tracé dans lequel les discontinuités sont inférieures aux extrêmes limites de la précision que l'on peut atteindre dans la mesure des températures (un millième de degré). Mais il arrive que, pour des thermomètres de grandes dimensions, le tracé complet nécessite un raccordement; il se peut alors que, dans les points où la division a été laissée et reprise, les erreurs dépassent un peu les limites admises (*); la même chose peut se produire par une fausse manœuvre de la machine. i

Pour découvrir les discontinuités dans le tracé, on fixe le thermomètre sur le banc d'une machine à diviser, dont le chariot porte un microscope avec une paire de fils parallèles. On mesure, à l'aide de la vis de la machine, une suite d'intervalles comprenant un nombre égal de divisions; on pointe, par exemple, tous les degrés; si Tun d'eux diffère sensiblement des autres, il convient d'étudier avec soin tout l'intervalle compris entre deux points consécutifs du calibrage; on fait, pour cela, plusieurs séries de pointés pour tous les traits de cet intervalle.

Désignons par D la distance des points entre lesquels on veut déterminer des corrections de division ; par n le nombre des intervalles qu'ils comprennent, par rfa» ^3? •••> <^«+i = D la distance des traits successifs au premier; la correction du trait «sera

En faisant varier t de 2 à /? -|- i , on obtient une progression arithmétique, dont l'excès de chaque terme sur Tintervalle correspondant donne la correction de chaque trait. La position du

(•) Dans les thermomètres de premier ordre construits par M. Tonnelot, à Paris, il est très rare de rencontrer une erreur de division atteignant o,oo3 degré.

trait di devant être corrigée de + A rf/, une lecture faite près de ce trait devra subir la correction — A di.

Dans le cas d'une division rectifiée, il faut substituer, pour tout le calcul du calibrage, une division idéale à la division réelle du thermomètre, et revenir ensuite à cette dernière. Ce travail est extrêmement long et fastidieux.

CALIBRAGE.

21. Séparation d'une colonne. — Le calibrage d'un tube consiste dans la comparaison de ses difierentes parties entre elles, au moyen de diverses colonnes de mercure, que Ton mesure dans un certain nombre de positions, au moyen de la division tracée sur la tige.

Le calibrage d'un thermomètre de précision a lieu a posteriori, l'instrument étant terminé et prêt à servir; il ne peut être fait que si le tube est presque complètement vide d'air ( * ).

Pour isoler, à l'intérieur du tube, une colonne de longueur donnée, on opère de la manière suivante :

Le thermomètre étant maintenu en position verticale, le réservoir tourné en haut et l'autre extrémité reposant sur le doigt médius de la main droite, on lui donne de légers chocs de haut en bas, qui déterminent la descente du mercure dans le tube; d'un mouvement rapide de la main droite on retourne le thermomètre, et, le frappant transversalement sur un doigt de la main gauche, on produit une séparation du mercure au col du réservoir. La colonne qui se trouve dans la tige sert à en isoler d'autres, grâce à la propriété des colonnes mercurielles très fines, de se séparer à l'endroit où a eu lieu la jonction. On place donc le thermomètre en position horizontale, et l'on amène la partie inférieure de la colonne en un point du tube que l'on observe ; chauffant alors le réservoir dans la main gauche, ou au-dessus d'une petite lampe, on reprend la première colonne; puis on laisse la température descendre, et l'on donne un choc longitudinal au thermomètre a

(') Les thermomètres à mercure destinés aux températures élevées sont remplis d'air ou d'azote; ils sont calibrés avant d'être fermés.

/\i THERMOMÉTRIE DE PRÉCISIOK.

l'instant où la colonne comprise entre le point de jonction et l'extrémité a précisément la longueur voulue.

La séparation du mercure est provoquée par la présence d'une petite bulle gazeuse, souvent imperceptible, qui se fixe aux parois du tube au moment où a lieu la jonction, et n'est plus entraînée par le mercure.

Quand le calibrage est terminé, on doit avoir soin de faire passer cette bulle au-dessus de la totalité du mercure, pour ne pas être exposé, au cours des expériences, à une séparation spontanée, qui serait à craindre principalement dans la position horizontale. Il est des cas où la bulle est si petite que le procédé ci-dessus ne réussit plus pour séparer des colonnes très courtes; on arrive alors le j)lus souvent au but en chauffant légèrement la tige avant la jonction des deux parties du mercure. Cette pratique, assez dangereuse, ne doit être employée qu'exceptionnellement, et avec les plus extrêmes précautions (*); les observations ne peuvent être reprises qu'après quelque temps.

Il arrive que le réservoir d'un tliermomètre, trop bien purgé d'air, ne donne plus la moindre bulle gazeuse; il est alors néces^ saire d'emprisonner de nouveau de l'air dans le mercure. Pour cela, on remplit de mercure l'ampoule supérieure, de manière à chasser dans le tube capillaire les traces d'air qu'elle contient; puis on chauffe l'ampoule jusqu'à ce que les vapeurs mercurielles, développées à sa partie supérieure, refoulent le mercure.

On peut généralement éviter, pendant le calibrage, de priver totalement d'air le tube et le réservoir; il faut, pour cela, commencer les observations par les colonnes longues, et raccourcir celles-ci jusqu'à ce qu'à la température ambiante le mercure du réservoir s'approche de l'extrémité inférieure de l'échelle calibrée; on chasse alors dans l'ampoule supérieure ou dans une ampoule moyenne la dernière colonne employée, et l'on cherche une seconde bulle pour les colonnes plus courtes.

Pendant tout le calibrage, il faut prendre garde de provoquer des chocs violents du mercure dans le réservoir; il arrive en effet as-

[') Quelques observateurs recommandent d'employer la flamme du chalumeau pour isoler des colonnes de mercure. Ce procédé réussit à coup sûr, mais il ne peut ôtre appliqué à des thermomètres de quelque valeur.

sez fréquemment que, par suite d'une secousse brusque, imprimée au thermomètre lorsque le réservoir n'est pas complètement rempli, il se produise une fêlure étoilée à la naissance du tulie.

22. Appareil & calibrer et observations. — L'appareil servant au calibrage a subi diverses transformations; les derniers perfectionnements, dus en grande partie à M. Pernel, l'ont amené à une forme à peu près définitive, qui est la suivante :

Une forte planche de chêne (yî^. 17) porte en son milieu nm-

KiR. .7.

glissière longitudinale munie, à ses extrémités, d'organes pour h.réglage latéral; deux petits supports à coulisse, terminés par des fourchettes garnies de liège, dans lesquelles repose le thermomètre, peuvent être déplacés le long de la glissière. Une seconde glissière, fixée à deux forts montants, supporte deux lunettes parallèles pour les observations. Un rideau de papier de soie, que l'on peut enrouler autour d'une baguette en laiton, sert à régler l'éclairage. La planche est portée sur un axe, et peut être inclinée de façon que la pesanteur s'oppose aux mouvements spontanés de la colonne mercurielle; elle est arrêtée dans la position conveoable, sur le pied en fonte de l'appareil, par une vis de serrage agissant dans une coulisse en arc de cercle, fiiée au bâti.

Les observations sont faites de préférence avec la lunette sans micromètre. L'observateur peut choisir, à son gré, la position d'une

46 THEllMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

des extrémilés de la colonne et la placer, par-exemple, sur le trait (dans les observations avec traits derrière) ou au milieu d^un intervalle; l'erreur sur celte observation est alors presque nulle.

Les lectures doivent être faites à l'aller et au retour, afin de diminuer les erreurs d'observation, de découvrir les erreurs d'écriture, et d'éliminer partiellement les variations de la longueur de la colonne dues à la marche de la température.

Dans les deux séries d'observations, il faut, autant que possible, placer la colonne dans des positions un peu différentes, afin d'éliminer partiellement les erreurs d'estimation, toujours les mêmes, dans la même région d'un intervalle.

Une élévation de la température de i degré produit un allongement de la colonne d'environ 0,00016 de sa longueur.

23. Théorie du calibrage. — Avant de préciser davantage le système d'observations et de calculs que nécessite un calibrage, nous exposerons quelques points de la théorie géométrique du problème.

Supposons un tube de verre portant des traits équidistants qui figurent les abscisses; soient O et N le premier et le dernier trait, délimitant un volume donné du tube; celui-ci aura, en général,

une section variable s; appelons t la section moyenne entre O et N. Nous dirons que les corrections sont exprimées dans le système [0-N].

Soit M un point quelconque du tube; désignons par o, m et n les abscisses respectives de O, M etN. La correction Xm, qu'il faut appliquer à une lecture m, doit la ramener à ce qu'elle serait si, entre O et M, la section du tube était égale à la section moyenne a*. Donc

y* fil

(I) / S dm = <3(m -h Xm)

cl, par conséquent,

dm.

CHÀP. II. — ÉTUDE DES THERMOMETRES. /\'j

On voit que Xq=^o et que j:-„=u, puisque - / s dm =^7. Enfin

Donc, dans un système de corrections, la section du tube en un point quelconque est égale à la section moyenne dans ce système, multipliée par l'unité augmentée de la dérivée de la correction au point correspondant.

Cela posé, si nous voulons calibrer le tube considéré, nous observerons les excès de volume de diverses colonnes de mercure sur une suite d'intervalles donnés parle diagramme du calibrage.

Soit i -\- ai la position de l'extrémité de la colonne voisine de i; nous voulons connaître le volume de la fraction de colonne A/; ce

volume est égal à^A^'ou à^ i -+- -j^j A/. Pour calculer ce volume,

djr-

nous avons besoin de connaître -r^- En d'autres termes, on ne

de ^

peut calculer rigoureusement le calibrage d'un tube que par plusieurs approximations successives; on calcule une première approximation au moyen des A/ mesurés par des sections locales inconnues, et, connaissant une valeur approchée de ces sections données par un premier calcul du calibrage, on corrige les nombres trouvés.

Transformations, — On peut généraliser les formules précédentes.

Soient

A et B deux points quelconques du tube ON;

a et b leurs abscisses ;

Xa et xi, leurs corrections de calibre.

aura

et Ton pourra écrire

( *) ) Xm — J^a -t- / dm = Xa-i- - 1 S f/m —(m --a);

48 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

d'où

(6) - / sdm = (m -h Xfn) — {a~h Ta).

Nous pouvons prendre A et B comme points de départ d'un système de corrections et faire complètement abstraction de O et N; alors <t ne sera plus, en général, la section moyenne de la portion de tube considérée, mais seulement une unité arbitraire définie par l'équation

(7) Tf,=zxa-h I —^-dm.

b s fini

(b-hxo) — {a -T-Xa)

Nous pouvons aussi partir d'une autre unité de mesure t' et donner à a la correction arbitraire j^'^; puis déterminer t' de telle façon que la correction de b devienne j'^; alors

Jf s dm , . ^, n ^ {h -^ T b ) — {a -\- Xg) ^^

en posant

(h-\- Xh) — (a -^ Xa)

{0-\-yb) — {a-^ya)

La correction d'un point quelconque sera

Xm — -T-^ -H (1 — C^Mm — a)

Posons enfin

Nous aurons, en définitive,

(l3) 7m = Va H ç^

Cette dernière équation est nommée formule de transformalion,

La signification géométrique de cette formule est très simple. Le problème consiste à faire tourner la courbe des corrections de calibre autour du point Â, en changeant Tunité de mesure dans le rapport C : i, puis à la déplacer parallèlement à elle-même.

Les formules qui précèdent donnent la relation générale

dT,n\ ,1 dym

('^) *=K-"sf)-''(

qui subsiste entre tous les systèmes de correction d'un même tube. Enfin, si l'on désigne par \ et )/ l'excès de la longueur d'une colonne sur r divisions du tube, exprimée en unités des deux systèmes, on aura

\ a' (rO (r-+-X)cr^rr-+-X')j', d'où 1 1 = ^ = G.

24. Équation de condition. — Nous nommerons points principaux d'un calibrage ceux dont les corrections de calibre sont déterminées directement; les corrections des autres points sont obtenues par interpolation.

Supposons une colonne de mercure placée approximativement entre les points principaux I et K d'un tube, comprenant entre eux r divisions. Soit aik l'excès de longueur observé de cette colonne sur l'intervalle [LK]. Admettons, ce qui est toujours à très peu près exact, que les excès de volume de la colonne soient proportionnels aux longueurs mesurées. En corrigeant les extrémités de la colonne pour la ramener à sa mesure en unités moyennes du tube, on trouve

r H- aik -^ ^k — ^i'

5o THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Or, d'après les définitions données précédemment (23) , cette quantité est égale à r 4- ^; donc

Xi — Xk-^\ = aïk-

C'est la forme normale de l'équation de condition du calibrage; Xi^ Xk et \ sont les inconnues, «i^la quantité observée.

Rigoureusement, nous devons considérer cette équation comme une première approximation, servant à établir les valeurs approchées des corrections de calibre. Après avoir réduit an^ en unités moyennes, on obtient une équation exacte, qui sert à calculer une seconde approximation. Cette nouvelle équation a la même forme que la première. Le calcul de première et de seconde approximation est identiquement le même; nous pouvons donc appliquer les méthodes de calcul à l'équation ci-dessus, que nous considérerons comme exacte, et à la partie droite de laquelle nous appliquerons plus tard une correction.

Pour calculer les corrections de calibre d'un tube, il est nécessaire de posséder autant d'équations indépendantes que le problème comporte d'inconnues. Il existe, dans un calibrage en n parties, n -{- I points dont il faut connaître les corrections; mais, les corrections de deux de ces points étant arbitraires, il ne reste plus que n — i inconnues x à déterminer. Les \ des diverses colonnes employées forment un autre groupe d*incoDnues, dont le nombre varie suivant le procédé de calibrage employé.

Nous étudierons diverses méthodes par lesquelles on obtient le nombre strictement suffisant d^équations, ou quelques équations supplémentaires, ou enfin toutes les équations que la nature du problème permet d'établir.

25. Méthode de Gay-Lu88ac(*). — En observant, dans n positions successives, une colonne dont la longueur est à peu près égale à une subdivision du calibrage, on obtiendra n équations indépendantes, entre les n — i inconnues a: et le X de la colonne observée.

En désignant par i, 2, . . . , /i + i les /i -{- i points principaux

(*) Cette méthode est aussi attribaée à Hallstrôm.

CHAP. TI. ÉTUDE DES THERMOMETRES. 5l

du calibrage, on pourra écrire (*)

Xi — Xi -h X = a|,s \ I Xi = a?i H- X — ai^i

Xt — Xi -h X = aj,3 I \ Xs =a?j-+-X — aj,s

Xi — x^ -+- X = a», V > d'où l x^ = a^s n- X — aj, ^

Xa— Xn-^-i-h X = a;,,„H| / \ a*rt+i = ar^H- X — «/i,!»-»-!

La dernière équation est obtenue par addition; Xi et Xn+t sont arbitraires. Si les corrections doivent être exprimées dans le système [0-N], on aura

La dernière équation doit être satisfaite identiquement.

La méthode de Gay-Lussac oblige à employer une colonne courte. Il en résulte parfois des difficultés particulières, et l'on a imaginé divers procédés qui en dispensent. Dans ces méthodes, le

(*) Il serait évidemment plas rationnel d'écrire o, i, a, ..., n; les indices des points correspondraient ainsi aux abscisses. La notation que nous adoptons a été proposée par Hansen, et maintenue par M. Broch, parce qu'elle permet, dans l'emploi de la méthode des moindres carrés, d'établir diverses règles mnémoniques qui facilitent l'emploi des formules. Pour n'avoir pas à modifier plus tard notre notation, nous emploierons dés maintenant les indices dans le même sens que M. Broch (27).

calibrage est fait par plusieurs colonnes longues, et les corrections se déduisent les unes des autres par un calcul récurrent. Nous ne nous étendrons pas sur ces méthodes faciles à trouver, et nous nous bornerons à développer celles dans lesquelles les observations se contrôlent mutuellement.

26. Calibrage complet. — Nous nommerons calibrage complet un ensemble d'observations par lequel on établit toutes les équations que l'on peut obtenir. Cet ensemble consiste à observer, dans toutes les positions possibles, des colonnes ajant approximativement i, 2, 3, , , ,, n — i fois la longueur de Tintervalle compris entre deux points principaux consécutifs.

La première colonne, observée comme dans la méthode de Gay-Lussac, fournit n équations.

La seconde, mesurée entre les points

en fournit n — 1 , ... ; la dernière enfin, que Ton place en

[i./i] et [î./i-i-i]

en donne 2. On a donc, en tout,

équations, servant à déterminer les n — 1 corrections indépendantes X elles n — i longueurs X.

Voici le Tableau de ces équations ( * ) :

^1 — .^2 H- ^«=«1,1, ^i — -^8 H- ^n-i = «i,j, ... J*! — ^a -HX,= ai,„,

Ti — ^3 -^-X;, = aJ,3, .Tj — n -HXn| = at,^, ..., a?| — a-^.,-! -+■ Xj = aj^B-Hi

^a — ^/i+l H" X;, — an,n-*-\ >

^/i-l — iPi»-i-l -H Art- 1 = «/i- !,«-»- 1, ...,

(*) Pour les indices des X, voir la note ci-dessus. L'indice est égal au nombre de positions dans lesquelles lu colonne est observée.

CHÀP. II. ÉTUDE DES THERMOMETRES. 53

La formation et la résolution générale du système d'équations normales résultant des équations de condition qui viennent d'être établies a passé pendant longtemps pour impraticable; mais ce problème, d'une grande importance, a été, dans ces dernières années, l'objet de recherches approfondies qui l'ont considérablement simplifié.

Tl existe essentiellement deux méthodes permettant de le résoudre. La première, rigoureusement conforme à la méthode des moindres carrés et imaginée par P. -A. Hansen (* ), a été, pour la première fois, simplifiée et adaptée aux thermomètres par M. Marek (^); enfin elle a subi de notables modifications qui lui ont été apportées par M. Broch ('), et qui ont rendu la résolution des équations normales beaucoup moins laborieuse. La seconde est ramenée à la méthode des moindres carrés par un artifice de calcul ; elle a été donnée par M.Thiesen(*),etdérive d'un procédé incomplet indiqué par M. Neumann; elle a, sur la première, l'avantage d'être d'une très grande simplicité.

S7. Résolution par la méthode des moindres carrés. — Le développement complet de toutes les parties du problème que nous allons exposer est assez long, mais ne présente pas de grandes complications; nous nous contenterons d'indiquer la marche du calcul, sans reproduire toutes les transformations intermédiaires, faciles à retrouver; nous renverrons, pour les détails, au Mémoire de M. Broch.

Le principe de la méthode consiste à substituer aux inconnues X les sommes P et les différences Q des x également dis-

(') P.-A. Hansen, Bestimmung der Theilungsfehler eines geradlinigen Maassstabes {Abh. der math.-phys. Classe der K. sàchs. Ges. der Wissenschaften, XV; Gotha, 1874).

( • ) W.-J. M AREK, Ueber die Anwendung der Méthode der kleinsten Quadrate auf die Kalibrirung der Thermometer {CarVs Bep./XVj p. 3oo; 1879). — Cf. J.-R. BenoIt, Mesures de dilatation et comparaison des règles métriques ( T. et M., t. Il, p. C. 35; i883).

(') O.-J. Broch, iVo/e sur l'étalonnage des sous-divisions d'une règle, etc. {T. et M., t. V; i886).

(*) Max Thiesen, Ueber das Kalibriren von Thermometern {CarVs Bep., t. XV, p. a85 et 678; 1879).

54 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

lants des extrêmes. Posons

P/i-Hi — ^n-hl H- ^1,

Qn-l = ^n-1 —

Pî^, >^^^i' *'«

est

un nombre pair,

P/ï-4-3 — ^/l-l-3-^iP/H-!

si n est un nombre impair.

Après avoir calculé les quantités P et Q, nous en déduirons les X par les formules

Les dernières équations de ce groupe se déduisent des équations analogues du groupe (i), suivant que n est pair ou impair.

Pour trouver les valeurs des quantités P et Q, on inscrit les observations dans deux Tableaux, ordonnés de telle sorte que les sommes des différentes colonnes fournissent respectivement les équations normales relatives aux \ et aux x.

i® Equations relatives aux \, — Inscrivons, dans chaque colonne verticale, les observations faites avec un même index de mercure; toutes les équations d'une colonne contiennent le même \ affecté du coefficient +1; leur somme est donc une équation normale relative à cette inconnue (*). Nous placerons en tête de chaque colonne le X commun à toutes les équations.

(') On rend les formules parfaitement symétriques en ajoutant au système l'équation fictive x^ — x^^^ -\- X, = 0.

flQ

Il II

wm m tt

Il 1! Il

I! Il 1 I

Il ^

•Tl 5Î H

56 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Les sommes des colonnes fournissent les équations

5„2 = (« — 2)X„t-h(j:i-4- Ti -h ^j)— (t„, -h a:«-f- iF«-4-i),

st = aX, -+-(t, -4- Jf-î) — (^/iH-^/i+i).

Les s désignent, dans chaque colonne, la somme des termes connus.

Divisons chacune de ces équations par le coefficient de X, qui est égal à son indice, et multiplions par 2^ additionnons ensuite les équations équidistantes des extrêmes, en introduisant Inéquation en X| • Nous aurons

chacune de ces équations est de la forme

(4)' a(X/-4-X«/H.i)=2„/^.,-f-2 ^^ ■^-— (Q/,-i-i-hQa-4-...-4- Qn-/-n)-

Ces équations seront utilisées plus tard.

La marche du calcul est indiquée dans le Tableau I.

2° Équations relatives aux jr. — Inscrivons, sur une même ligne horizontale, les équations qui se trouvent dans la même colonne du Tableau I, de telle sorte que toutes les équations contenant un 0? positif donné se trouvent dans la même colonne verticale. Portons ensuite, dans ce Tableau, les mêmes équations changées de signe, de telle sorte que les x négatifs se trouvent maintenant affectés du coefficient -}- i, à la suite des x positifs de même indice. En posant, pour la symétrie de la notation,

et en inscrivant en tête des colonnes chaque x commun à toutes les équations, nous formerons le second Tableau.

* Il

••ta

' Il

'mJ

fi 1

> ce

' Il

58 THEllMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Désignons par /,, . . . , tn+t les sommes de$ termes connus dans chaque colonne; ces quantités forment le membre de droite des équations normales relatives aux x*

Les équations normales sont maintenant au nombre de 2/2; mais elles se réduisent à 2/1 — 2 équations indépendantes; il existe, en effet, entre elles les deux relations suivantes, qui servent de vérification

/i -+- ^1 -h /a -h . . . -t- tft-i-i ==■ o,

— (n — 4)/«-i — (n — 2)/rt— nf;,^t

= ^[^rt-h 2*„i-h 3*rt î-+-. . .-h(/l — 2)53-+-(/l — l)*l]'

n-hl

Posons \ j?/ r=: X, et formons les sommes et les différences des équations normales prises deux à deux à égale distance des

extrêmes ; en introduisant les symboles S et D inscrits dans le

Tableau, nous aurons

W \ Sn =(/l-hl)P„ -îX,

D,,-Hi = (/iH- OQrt+i — 2(X, -+- X, -h. . .-+- X«),

(7) j Drt =z{n-hi)Qa — 2(Xj-+- ...-f-X„,),

Le dernier S est égal au double du t mojen, si n est pair. Tirons, de la première des équations (6), la valeur de 2X, et substituons dans les suivantes; nous aurons

■ « = * rt-Hl H (S/i S/i-f-l),

fl -r~ 1

Pw+i étant donné, nous tirerons de là la valeur de tous les autres P. Les différences des S, et les P sont inscrits dans le Tableau à la place qu'ils occupent dans le calcul. On vérifiera ce dernier calcul par une des relations suivantes déduites de la première

CHAP. II. ÉTUDE DES THERMOMETRES. Sp

des équations (6), el d'autres relations précédentes

— A — 1 n-hl ^/i-Hl»

— A — * rt-f-1 — ~ »3/ï-Hl»

pour /i pair ou impair.

Retranchons chacune des équations (7) de la précédente, et introduisons les valeurs de X données par les équations contenues dans (4')-, posons, pour abréger,

n -hi

Oo) * ,

nous aurons enfin

Q« = R/i -t- Q/i-Hi — - — - Q/n-ij

Ce système récurrent fournit les valeurs des quantités Q. Le calcul des R est indiqué dans le Tableau II. Connaissant les P et les Q, nous trouverons les x à Faide des équations (2).

Après avoir résolu les équations (11), on peut vérifier le résultat à Taide des relations suivantes :

Pour n pair,

Qn . , =0;

Pour // impair,

Q'»-»-' ■"; — TT^i X. Q ; — \ — r~ ~^ '/»+3 — fn + i } — o.

6o THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

Pour facililer le calcul des équations (i i), nous donnerons ciaprès la série des dénominateurs des fractions du second membre, le numérateur de chacune d'elles étant 2.