CHAI>. III

CAl SES D ERREURS.

romètre, faites à des intervalles plus ou moins rapprochés, de façon qu'on puisse tenir compte, avec une précision suffisante, de la marche progressive du zéro [voir (oi)].

Relèvement , — La marche ascendanle du zéro dépend de la dépression produite et de la température à laquelle le thermomètre est exposé. Les expériences sur le relèvement sont très délicates, et, malgré tout l'intérêt qu'il)' aurait à connaître exaclement ce phénomène, il n'a été que fort peu étudié jusqu'ici.

Le relèvement du zéro (au moins dans les thermomètres en verre dur) jouît d'une propriété singulière: c'est qu'à une température donnée, la rapidité de l^ ascension dans les premiers instants est sensiblement indépendante de la grandeur de la dépression ; la rapidité augmente beaucoup lorsque la température à laquelle le thermomètre est exposé s'élève.

Cette loi n'est probablement qu'approximative, puisqu'il arrive un moment où les courbes de relèvement, après diverses dépressions, doivent se séparer. On peut donc présumer qu'elles s'écartent dès l'origine; mais, dans les limites de la précision des mesures, les courbes du relèvement à o", après 5o", loo", 200", se recouvrent pendant près d'une heure.

Le diagramme suivant {Jig* 28) représente la marche du phé-

Fiîî. js.

50 Minutes

nomène pour le verre dur. Comme précédemmenl, le temps esi

l54 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

porté en abscisses, la position du zéro en ordonnées. La courbe inférieure est obtenue par la superposition des courbes représentant le relèvement à o®, après une dépression produite à 5o®, loo" et 200". La courbe supérieure donne le relèvement à 100" après une exposition du thermomètre à 200**.

Les courbes ont un caractère exponentiel, mais elles ne paraissent pas contenues, dans les limites des erreurs d'observation, dans une exponentielle simple.

La vitesse du relèvement diffère beaucoup d'un verre à l'autre. Ainsi, une dépression produite à 100® dans un thermomètre en verre dur disparaît à moitié à o" dans l'espace de un à deux jours. Le mouvement devient presque inappréciable après une quinzaine de jours. Une dépression produite à 200° est réduite de moitié à 100** après trois heures environ.

Il faut plusieurs jours, quelquefois plusieurs semaines, pour que le zéro des thermomètres en cristal parcoure la moitié du déplacement produit par un échauffement à 100". Le zéro demeure souvent déprimé pendant plus d'une année.

70. Théorie des erreurs produites par le relèvement. — Les erreurs produites par le relèvement du zéro proviennent de ce que, lorsqu'un thermomètre est ramené d'une température quelconque à o^, la position du zéro dépend de la rapidité avec laquelle cette température est atteinte. Plus la descente est rapide, plus le zéro est bas. Pour éliminer les erreurs, il suffirait de refroidir toujours le thermomètre avec la même vitesse; la durée du refroidissement devrait varier d*une manière continue d'une température à l'autre. Il faudrait, en particulier, que, dans la mesure des températures voisines de 100®, le refroidissement s'opérât exactement dans les mêmes conditions que dans la détermination de l'intervalle fondamental; de cette manière, l'échelle serait continue et resterait toujours identique.

Mais ces conditions ne sont jamais rigoureusement remplies. Toutes choses égales, d'ailleurs, il est évident que les erreurs qui en résultent sont d'autant moindres que la dépression totale du zéro est plus faible et que la rapidité du relèvement est moindre.

Cependant, à un autre point de vue, un relèvement très lent constitue un désavantage, car il arrive souvent, dans les expé-

CHAP. ni. — CAUSES d'erreurs. 155

riences, que la température s'abaisse avec une lenteur suffisante pour qu'à chaque température la majeure partie de la dépression ait disparu; si, alors, on ne peut pas déterminer le zéro après chaque mesure de la température, on calcule sa position en admettant qu'il est entièrement relevé. Si cette supposition est inexacte, le zéro adopté pour réduire les températures fausse le résultat d'une petite quantité. Il est donc avantageux, suivant les cas, que le zéro se relève vile ou lentement; en général, il vaut mieux que les dépressions disparaissent rapidement.

Le relèvement du zéro est encore trop peu étudié pour qu'il soil possible d'établir une théorie complète des erreurs produites par ce phénomène. On peut cependant déjà donner quelques formules permettant de calculer approximativement leurs valeurs.

Supposons qu'un thermomètre, exposé à la température /| jusqu'à ce que son zéro soit complètement déprimé, soit ramené brusquement à la température plus basse t. Le zéro commencera aussitôt à remonter, et sa position en chaque instant sera représentée par une fonction ayant le caractère d'une exponentielle.

Désignons par 8 le temps compté à partir du moment où le thermomètre a atteint la température /, par Z^O) le zéro à l'instant 0.

l'our 6 ^ o ZfO) ~ «r,i

Entre ces deux instants, la position du zéro est donnée par une fonction encore inconnue, à laquelle nous substituerons la suivante, qui possède un caractère analogue :

Z^O) ~ zt-^ ( zt, — zt ) e-f'^ ;

k est une fonction de t et /| qui, comme nous l'avons vu, dépend surtout de /.

Supposons maintenant que la température t varie sans jamais remonter; le mouvement ascendant du zéro sera alors représenté par une série d'équations de la forme ci-dessus, mais dans lesquelles il faudra modifier, pour chaque température, le coefficient Ar, de manière à tenir compte de l'ascension du zéro depuis le moment initial jusqu'à l'instant où le thermomètre atteint la température considérée.

l56 THËRMOMÉTRIE DE PRÉCISIOIS'.

On voll que le problème, traité d'une manière aussi générale, est extrêmement compliqué et pour ainsi dire insoluble. La solution exacte n'a du reste un intérêt pratique, dans le calcul des erreurs, que dans le cas où la descente de la température est rapide et où le relèvement total est peu considérable ; on peut alors supposer que toute température inférieure à la température initiale est atteinte brusquement, et que le relèvement s'opère d'une manière indépendante pour chaque température. On peut aussi, dans ce cas, développer l'exponentielle en s'arrêtant au premier terme de la série, c'est-à-dire que l'on peut admettre, pour chaque température, un coefficient de relèvement qui dépend, dans une faible mesure, de la température initiale; ce coeflicient est donné par l'inclinaison de la tangente au premier élément de la courbe de relèvement.

Supposons maintenant, une première fois, que la température du thermomètre passe brusquement de t^ à ^o* Le zéro sera, au premier instant, Zt^^ Supposons, en second lieu, que la température s'abaisse rapidement, mais non plus brusquement dans les mêmes limites. Le zéro observé à /q sera un peu supérieur au premier, et la différence entre ces deux zéros pourra être calculée si l'on connaît la marche / = cp(0) de la température en fonction du temps et la fonction k ^=f{t^^ t)j qui est le premier terme de la dérivée de l'exponentielle. Cette correction sera donc, d'une manière générale, exprimée par

Nous pourrons introduire, dans la fonction particulière à /|, la valeur de / en fonction de 0; donc, en définitive, le coefficienl différentiel sera une fonction de 6 seul, et l'intégration pourra être effectuée.

Toute supposition sur la fonction ©(6) implique un cas particulier. Nous ne calculerons donc pas la valeur de l'intégrale; un calcul élémentaire suffira à montrer quel est l'ordre de grandeur de l'erreur cherchée.

Le relèvement du zéro à o" est d'environ o,ooi3 degré par minute au moment initial. Le relèvement à loo®, après 200°, est

«;HAP. m. CAUSES D ERREURS. l D'J

(renviron 0,0027 degré; or, comme la lempéralure actuelle inilue beaucoup plus sur le coeHicient de relèvement que la grandeur de la dépression, on pourra admettre approximativement, comme coefGcicnt moyen de relèvemeot entre o" et 100", 0,0020 degré; c'est-à-dire que chaque minute de la descente produit un relèvement de deux millièmes de degré > Dans des circonstances favorables, on peut refroidir un thermomètre de 100" jusqu'au voisinage de o" en moins d'une minute ; après une deuxième minute, le réservoir a pris la température de la glace; l'élévation totale est de 3 à 4 millièmes de degré. On peut considérer le zéro relevé de cette quantité comme le zéro le plus bas que l'on puisse obtenir pratiquement.

Quelques physiciens appliquent à ce zéro la correction que nous venons de calculer et que l'on a déterminée jusqu'ici par extrapolation. Mais, outre que cette extrapolation est très incertaine, elle complique beaucoup le travail sans correspondre à une définition du zéro pratiquement plus rationnelle que celle que nous avons adoptée.

71. Rôle des composants du verre. — On a fait, dans ces dernières années, de patientes recherches dans le but de déterminer l'influence des difl'érents composants du verre sur les mouvements du zéro. Des expériences très systématiques, faites à léna par MM. Abbe et Scholt et à Berlin par MM. H. -F. Wiebe et H. Weber, ont amené à découvrir certaines lois et, en particulier, à composer des verres donnant des résidus très faibles (*).

Dans ces expériences,. la loi de la variation du zéro n'a pas été étudiée; on s'est contenté de déterminer la dépression qui se produit entre la température ambiante et 100^. On en a déduit la dépression totale entre o** et 100", en adoptant, pour la dépression préexistante, la loi de Pernet, généralement admise jusqu'à ces dernières années. Or celte loi ne s'applique pas aux verres diflîcilement fusibles donnant de faibles dépressions (68). Il en ré-

( * ) WiEBE, Ueber den Ein/luss der Zusanimensetzung des Glases au/ die jS'achwirkungs-Erscheinungen bei Thermometern {Sitzungsberichte der kôniglich preussiêchen Académie der Wissenscfiaften, 17 juillet 1884 cl la novembre i885). — Koi'r aussi Rudolph Weber, ibid., i3 décembre i883.

l58 THERMOMÉTRIE DE PRÊCISIOK.

suite que, pour ceux-là, les nombres trouvés par M. Wiebe sonl trop petits.

En effet, supposons qu'avant rexpérîence le thermomètre se trouve à la température t, La dépression totale A| calculée, d'après la dépression observée A', en admettant la loi du carré, est

tandis que, si Ton admet une variation linéaire, telle qu'elle se produit dans les verres peu fusibles, la dépression A2 calculée sera

ICO* - l^

Soit, par exemple,

A— 0,07 degir, / - 20*;

on trouve

Aj • - Al - - o,oi5 dcgiv.

La dépression calculée est donc trop faible de 0,01 5 degré. La dépression totale pour le verre dur, trouvée par M. Wiebe, esl en effet plus faible que celle qui résulte des expériences de M. Guillaume. La différence ne paraît cependant pas parfaitement expliquée par l'erreur qui vient d'être signalée; la rapidité'* du refroidissement a été probablement plus grande dans les expériences de M. Guillaume que dans celles de M. Wiebe.

Nous réunirons dans les Tableaux suivants les résultais les plus importants trouvés par M. Wiebe.

Ainsi que M. Weber l'a fait remarquer, les verres qui contiennent de la soude et de la potasse en proportions comparables présentent des dépressions beaucoup plus fortes que ceux qui ne contiennent qu'une faible proportion de l'un des alcalis; les trois dernières colonnes des deux Tableaux montrent ce fait d'une manière évidente. La présence de l'oxyde de plomb parait jouer un rôle moins prépondérant.