I -h cr -f- 1006 -f- 100' c

D*après cette équation, la différence entre les échelles t' et / s'annule à o^ et à 100°, ce que nous savions; mais nous voyons de plus que cette différence est représentée par une fonction de / du même degré que S/.

Nous avons vu (68) que, dans le développement de la fonction Zt<, on peut s'arrêter au terme en t^\ la relation pratique entre t et t^ est donc

.pj. , ., 6/(ioo~0

La différence t — /' dépend presque uniquement de b et s'annule avec ce coefficient; elle est donc sensiblement nulle pour le verre dur, et les deux échelles sont presque identiques. Ce résultat pouvait être prévu; car, si la position du zéro varie proportionnellement à la température, la différence entre les corrections d'intervalle fondamental déterminées par chacun des deux procédés compense la différence des zéros admis.

CHAP. IV. — SUR l'échelle DU THERMOMETRE A MERCURE. IQQ

Pour les thermomètres en cristal dur, la différence est de 0,082 degré à 5o®; diaprés le signe de cette différence, on voit que, entre o** et 100**, les températures calculées sont plus élevées dans la supposition d'un zéro constant que pour un zéro variable ; en d'autres termes, / >• /'.

EnGn, si l'on suppose exacte la loi du carré pour le verre dlénaXVir"(71), ona

(' — ^')iiiax = -^- 0,265 degré.

88. Théorie élémentaire du thermomètre à mercure. — Nous appliquerons maintenant les formules développées précédemment à la théorie du thermomètre à mercure.

Remarquons d'abord que, dans les procédés les plus précis au moyen desquels on détermine la dilatation des corps solides (*), il est pour ainsi dire impossible de produire une variation considérable de la température en un temps très court; on ne peut donc pas ramener rapidement à o*^ le corps dont la longueur vient d'être mesurée à une température qui en diffère beaucoup. On en conclut que la dilatation du verre ne peut pas être mesurée avec ses résidus. Pour opérer dans des circonstances bien définies, on choisira par conséquent l'autre extrême, et l'on disposera les expériences de manière que, au moment de chaque mesure, les résidus de dilatation aient à peu près disparu (^). Dans ce but, la température ne devra être abaissée que très lentement.

Les dilatations mesurées de cette manière correspondent à la mesure des températures dans la supposition d'un zéro constant. £n partant des formules de dilatation, c'est donc, dans la notation précédente, l'échelle / que nous calculerons; l'échelle t^ s'en déduira par la relation (6') du n**87. Nous donnerons, dans la suite, une nouvelle expression de cette relation.

(* ) Méthodes du comparateur et du dilatomètre Fizeau (t)Otr Chap. VI).

(') On peut effectuer une mesure avant que les résidus aient complètement disparu, à la condition de les déterminer par la position du zéro d'un thermomètre de même verre que l'échantillon étudié, et soumis pendant toutes les expériences aux mêmes influences. Mais la correction mesurée par ce procédé ne peut 6lre connue avec une exactitude suffisante qu'à la condition d'être très petite, car, si les résidus sont encore considérables, ils peuvent varier sensiblement durant la mesure.

200 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISIOIT.

Soient Vj le volume, à T**, d*un vase de verre ayant à o^ le volume Vo ; V^ le volume du mercure qui le remplit à o*". Posons

(i) VT = Vo(n-/n T-4-/iT*4-/>T»-h^T*4-...),

(2) Vi-= Vo(i -f- m'T -h /i'T«H-/>'T8-i- ^'T* -+-... ).

Nous nous proposons de calculer la valeur du terme correcûf de T dans Féquation (10) du n^ 86. Pour cela, nous aurons à introduire, dans les formules, la quantité Vj — Vj au lieu de Ex .

Pour voir clairement la signification de cette correction dans le cas du thermomètre à mercure, nous la décomposerons en deux parties : l'une se rapporte au réservoir et au mercure qu'il contient, et provient de ce que Vj — Vx n'est pas une fonction linéaire de T ; elle dépend essentiellement des coefficients des puissances de T supérieures à la première dans (1) et (2). L'autre est relative à la tige et ne dépend que de (i); cette correction est due à ce que la capacité du tube qui sert à mesurer l'excès du volume du mercure sur celui du réservoir varie avec la température.

Correction relative au réservoir, — Pour calculer cette correction, il suffit d'introduire, dans les équations (i i) du n" 86, les différences /n' — m, n! — n, ... au lieu de a, ^, .... Nous aurons ainsi

Sj = w! — m -\- ioo(n' — /i) -+- ioo*(/?' — />) -h ioo'(^'— <7) -^

Posons

(4) o = T(ioo-T)(\i-f-BiT + GiT« -+-...);

f est la correction cherchée.

Correction relative à la tige. — Dans la détermination de l'intervalle fondamental, le tube capillaire est à la température de loo**; à toute autre température, une fraction quelconque du

CHAP. IV. SUR l'échelle DU THERMOMETRE A MERCURE. 201

tabe (supposé cylindrique) possède un volume différent de celui qui est donné par le rapport de sa longueur à celle du degré. Par conséquent, la lecture doit être corrigée d'une quantité correspondant à la variation du volume du tube. Cette quantité est connue sous le nom de correction de Poggendorff,

Soit Çq le volume du tube entre o° et loo** à la température de o°; à T°, il devient

(i') vr= t'o(i + /nT-f-/iT«H-/?T»-f-^T*H-...),

et le volume occupé par le mercure^ abstraction faite de la cor-

T rection précédente, aura la valeur — i^ioo- Or, en fonction de v^^

l'expression de ce volume est ^x > — ^ étant la correction

cherchée (négative entre o** et loo").

On a donc

loo loo ■ '

d'où l'on tire la valeur de la correction en degrés :

Nous aurions l'expression exacte de cette correction, en introduisant dans cette équation la valeur de Vi donnée par (i'). Or if est nul à o" et à ioo°; il est maximum dans le voisinage de 5o^; à cette température, v^ surpasse v^ de un à deux millièmes ; i/ étant toujours très petit, on peut remplacer, avec une approximation suffisante, dans tout l'intervalle [o*ioo], Vj par

(7) i'jo= ^o(n- 5om-i-.. .) = t'o(i-^ ^)-

Donc

Posons

. /Jl -h 100 /l -+-100'/? -4- 100*9

i-f-X n -4-ioo/> -4- loo'^ -h...

202 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

nous aurons

(lo) ^ = T(ioo— T)(A,-+- BjT -+- GiT» -h. . .)•

Correction totale. — La correction totale qu'il faut appliquer aux lectures d'un thermomètre à mercure à zéro constant pour les réduire à Téchelle normale est

( T-f = <p-i}; = T(ioo-T)[Ai-A,-H(B,-B,)T-+-(Gi-GOT*-H...] ^'^^ I =T(ioo-T)[A-4-BT-HGT*-t-...].

Cette correction est ainsi exprimée en fonction des constantes de la dilatation du mercure et du verre.

On voit, d'après les équations (3), que les facteurs A|, Bj, C|, ... dépendent tous de différences et de rapports entre des quantités très petites, nécessairement assez mal connues. Les constantes correspondantes du second groupe au contraire, dont les valeurs sont données par les équations (9), peuvent être déterminées avec une précision incomparablement supérieure.

On peut calculer une valeur très approchée du coefficient A2, et, dans l'état actuel des mesures, il n'est pas illusoire de calculer B2 ; on peut donc déterminer a priori la correction relative à la tige. Quant à la correction (p, il n'est pas encore possible de calculer sa valeur, même grossièrement approchée, à l'aide des équations (3). Le seul parti que Ton puisse tirer de l'équation (i i) consiste à déterminer les valeurs de A| , B| , C< , ... au moyen des quantités A, B, G, . . . , trouvées à l'aide de diverses valeurs de T — ^, et des quantités Aj, B2, C2, ..., calculées comme on vient de le voir. T — t peut être déterminé par des expériences directes. Nous y reviendrons bientôt (93).

Différence de marche entre deux thermomètres à mercure. — Nous avons supposé jusqu'ici que les corrections calculées se rapportaient à l'échelle normale. Les équations précédentes conviennent encore au calcul de la différence de marche entre deux thermomètres à mercure. L'équation (1 1) conserve la même forme, mais les expressions qui donnent les valeurs des constantes sont différentes; on les obtient en soustrayant les équations homologues des systèmes (3) et (9) relatifs aux deux espèces de verre.

Dans ce cas encore, l'équation (11) servira à calculer A|, B|, C| , . . . , connaissant A, B, G, . . . et A2, B2, G21 • . • •

CHAP. IV. — SUR l'échelle DU THERMOMETRE A MERCURE. 2o3

89. Rôle des résidus de dilatation. — Nous modifierons maintenant les formules précédentes, de manière à tenir compte des résidus de dilatation.

Soient Gx le coefficient moyen de la dilatation du verre entre G** et T", tel que nous l'avons considéré jusqu'ici ; Tj le coefficient modifié par les résidus.

D'après les définitions données précédemment,

(I) Gr=^^"^^

VoT

Si l'on veut tenir compte des résidus, il faut remplacer, dans cette équation, la constante V© par une quantité variable avec T, qui augmente en même temps que la température s'élève. Remarquons toutefois que la correction de Yq au dénominateur ne modifiera Gj que d'une quantité insignifiante ('). En conservant, pour simplifier, Vq au dénominateur, on a

, . ^ Vt— Vo(i-+-îJLT-i-vT«-4-7nT»-i-pT*H-...)

(2) rT= ^r^

Il est aisé de voir que les coefficients [x, v, gj, p, ... ne sont autre chose que les coefficients a, è, c, rf, . . . de la fonction qui représente la dépression du zéro (68) divisés par le nombre de degrés que contient le réservoir; en effet, la fonction établie précédemment donnait la dépression en degrés, tandis que la dilatation calculée ici se rapporte au volume du réservoir. Nous calculerons plus loin (93) le facteur de réduction.

Les équations (i) et (2) donnent

(3) rT= Gt— [Jt — vT — iîjT«— pT3 — ....

La correction relative au réservoir était donnée par la relation [voir l'équation (6) du n** 86]