ST

estime la position de ces points par rapport aux franges, à chacune desquelles on donne un numéro d'ordre. Un déplacement des franges sera marqué par une nouvelle lecture de tous les points par rapport aux franges. Chaque lecture pouvant être faite à Yô de frange près environ, le déplacement peut être estimé, dans de bonnes conditions, avec une précision voisine de -—^ de frange, correspondant à un mouvement relatif des surfaces inférieur à oH-, oo3.

133. Description des appareils. — L'appareil servant à utiliser, pour la détermination des dilatations, la mesure des déplacements prodigieusement petits dont nous venons de parler, consiste en une plate-forme de métal (yîgf. a4î p« i3o), percée en trois points situés près de la périphérie, de trous taraudés, dans lesquels passent des vis de même matière que la plate-forme, et

(') D'après les déterminations récentes de MM. Peirce, MUlIer et Kempf, Kurlbaum, Bell, Macé de Lépinay, la longueur d'onde moyenne de la lumière de la soude dans le vide est égale à 01^,58947. [ Voir la Note annexée au Mémoire de M. Benoit : Nouvelles études et mesures de dilatations, etc. ( T. et M., t. VI).]

CHAP. VI. — DÉVBLOPFEMEKTS ET AFPLICATIOKS. 3o5

qui supportent la lentille. Le corps à étudier est placé sur trois petites pointes relevées au burin dans la plate-forme.

Dans l'appareil primitif de M. Fizeau, le trépied est recouvert

par une éluve B, portant deux thermomètres coudés et un prisme à réflexion totale D, Une cloche C en cuivre i^fig. 44)) percée d'une fenêtre E, protège la première étuve contre le refroidissement. Le tout est supporté par une plaque en cuivre A, placée

3o6 THEHMOHÉTKIE DE PRÉCIS[0>.

sur trois colonnes en porcelaine P, surmontées de vis de réglage V. Deux petites flammes de gaz servent à chaulTer l'appareil, doni la température est réglée au moyen d'un thermorégulateur IT. FiR. ^5.

La lumière monochromalique est fournie par la source S. Le faisceau reçu par le prisme H est renvojé sur le prisme D, d'où il tombe verticalement sur la lentille. Deux lunettes L et L' servent à observer respectivement les thermomètres ei les franges réfléchies par le prisme D.

V-^fig. 45 représente le nouveau dispositif adopté par M. Benoît. L'étuve 6 et la cloche C ont été convenablement élevées,

CHAP. VI. DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIONS. ioj

de manière à permettre Temploi de thermomètres rectilignes, susceptibles d'être étudiés. La première étuve est entourée d'une cloche de verre E, munie d'un disque à faces parallèles pour les observations. Le but de cette cloche sera indiqué plus loin.

Les fenêtres a et a' servent à observer les franges ; b et b' sont destinées à la lecture des thermomètres t ; enfin on observe, à travers les fenêtres c et c\ un petit thermomètre /', placé dans la partie supérieure de l'étuve. Les thermomètres sont à échelle fractionnée, des modèles ib et ic(p. 5); ils sont placés deux à deux de part et d'autre du trépied, et servent respectivement dans les intervalles [o • 5o] et [5o • loo].

Une grande caisse de zinc recouvre tout l'appareil, en laissant les ouvertures nécessaires aux observations ; elle est à doubles parois et peut être remplie de glace.

134. Expériences. — Le déplacement des franges que l'on observe dans les mesures au moyen du dilatomètre Fizeau est dû à la différence entre les dilatations du trépied et de l'échantillon à mesurer ; connaissant la première^ on en déduit la quantité cherchée. C'est sur la valeur trouvée pour la dilatation du trépied que reposent toutes les déterminations faites au mojen de cet appareil. Cette constante doit donc être mesurée avec le plus grand soin, par la méthode qui sert aux autres mesures. Pour cela, on retourne les vis dans leurs écrous, de manière que la surface polie de la plate-forme soit du côté de la lentille. L'appareil étant réglé de manière que Ton voie les franges, les écrous qui sont fendus vers l'extérieur sont fortement serrés au moyen de petites vis latérales.

Pour que les mesures soient suffisamment précises, il est nécessaire que les longueurs sur lesquelles on opère soient de lo""* au moins; mais alors les observations présentent, dans la détermination de la dilatation du trépied, des difficultés particulières provenant de ce que les franges sont très peu intenses.

Il est une circonstance qui contribue beaucoup à diminuer les différences entre les maxima et minima d'éclat dans le faisceau de lumière que l'on observe. Les rayons, traversant sous diverses incidences l'espace compris entre la lentille et la plate-forme, éprouvent des retards différents et n'interfèrent pas tous de la

3o8 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISlOIf.

même manière avec les rayons réfléchis par la face inférieure de la lentille. Il en résulte que les franges empiètent les unes sur les autres et sont moins distinctes. Pour une distance donnée de deux points lumineux de la source, les franges produites par ces deux points sont complémentaires, et le champ est éclairé uniformément. Chaque fois que la largeur de la source dépasse cette distance, les observations deviennent impossibles ; elles sont incertaines déjà pour une distance beaucoup moindre. Un calcul très simple montre quelle est la largeur de la source lumineuse qu'il est possible d'employer dans chaque cas. Si, par exemple, la distance focale de la lentille est de 4oo"™, et l'épaisseur de la lame d'air de lo"", les systèmes de franges émis par deux points lumineux distants de i"™ empiètent l'un sur l'autre de ^ de frange environ. Pour 2"", ils empiètent de ^; enfin ils se croisent complètement pour 2"", 1 7.

Pour obtenir une source lumineuse suffisamment restreinte, on dispose, devant le prisme H, un diaphragme percé d'une petite ouverture.

Il est nécessaire que les positions relatives de la source éclairante et de l'appareil restent absolument invariables dans toute une série de mesures, puisqu'un déplacement de la source modifie la position des franges. On s'assure que cette condition est remplie, en disposant la source lumineuse de manière que son image se forme dans le même plan, et que la source et son image soient exactement tangentes ; l'image peut être aisément observée au moyen d'une loupe.

Dans la mesure d'un échantillon quelconque, la lame d'air qui s'étend entre les surfaces M et N est mince, et les mesures sont beaucoup moins délicates.

Dans la mesure fondamentale ou dans l'étude d'un échantillon, le trépied étant disposé au centre de l'étuve et tout l'appareil étant réglé, on chaufie d'abord jusque vers 80®, de façon à chasser toute l'humidité; puis, lorsque la température est devenue bien constante, on fait la première observation. Abaissant alors le régulateur, on peut faire une seconde observation dix ou douze heures après. Les observations se succèdent ainsi, de douze en douze heures environ ; une série complète comprend de 25 à 3o observations pour un échantillon, et un beaucoup plus grand

CHAP. VI. — DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIONS. iog

nombre pour le trépied. Afin d'éliminer certaines erreurs constantes, ces observations sont réparties sur trois ou quatre séries de températures ascendantes et descendantes.

Il n*est pas nécessaire de suivre la marche des franges. Le nombre entier des franges qui passent peut être souvent calculé d'avance, les dilatations à mesurer étant connues approximativement. Dans les cas douteux, il suffit de compter une fois les franges qui passent entre deux températures ; dans la suite, on ne détermine plus que la fraction de frange. Le nombre entier peut être trouvé aussi par l'analyse indéterminée du premier degré.

La mesure d'une dilatation nécessite encore la détermination de l'épaisseur de l'échantillon sur lequel on opère et de la lame d'air comprise entre les surfaces M et N. L'épaisseur de l'échantillon est mesurée au sphéromètre. Pour mesurer l'épaisseur de la lame d'air, on place sur le trépied une plaque de verre plane et parallèle, d'épaisseur connue. On mesure alors, au sphéromètre, la distance entre la face supérieure de cette plaque et la face supérieure de l'échantillon, la plaque ayant été enlevée ; l'épaisseur cherchée se déduit de ces deux mesures. On connaît ainsi la longueur des vis qui participent à la dilatation, en ajoutant l'épaisseur de la lame d'air à celle de l'échantillon.

Pour la mesure de la dilatation du trépied, on détermine la distance entre la partie supérieure de la plaque de verre et la plate-forme.

135. Réductions et calcul. — Lorsque Tappareil est monté pour une détermination, il doit rester en repos jusqu'à ce que cette détermination soit terminée. Les thermomètres, une fois placés dans l'étuve, ne peuvent en être extraits que lorsqu'on veut préparer une nouvelle expérience. On ne peut donc déterminer le zéro qu'au commencement et à la fin d'une mesure. Sa position devra être calculée pour chaque expérience à l'aide de la Table des dépressions, c'est-à-dire par le procédé précédemment indiqué (p. i63). Il est donc nécessaire d'employer, pour ces mesures, des thermomètres dans lesquels l'état stable soit atteint rapidement.

La température étant mesurée au commencement et à la fin

3lO THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

d'une observation, qui ne dure, en général, que quelques mi* nules, on admet la moyenne des deux lectures.

11 nous reste à indiquer le calcul par lequel les allongements sont déduits de l'observation des franges.

Soient a4, fr|, C|, .. . les pointés des points Â, B, C, . . . à la température /« ; ^2) 62, Cs, . . . ceux des mêmes points à la température ^2*

La moyenne des différences at — 02» ^i — ^a» <^i — <^2) • • •> ou la différence de la moyenne des pointés, donne le déplacement des franges entre ti et ^2* En désignant par y*' le pointé moyen, c'est-à-dire la moyenne des p pointés faits à une même température, on aura

aj -J- 61 H- C| -T- . . .

fjft-T- bi-+- Tj-f-

Le pointé doit subir une correction pour la variation de l'indice de l'air.

Soient /« l'épaisseur de la lame d'air (dans le cas de la mesure de la dilatation du trépied, la longueur des vis) et X4 la longueur d*onde de la lumière jaune dans les conditions de l'expérience ; les rayons interférents ont une différence de marche m^, et

Cette observation doit être réduite à des conditions que l'on adopte comme normales pour tous les pointés, par exemple à o" et à la pression de 760™'". Si la longueur d'onde dans ces conditions est égale à Xq et la différence de marche à m^^ on aura

La différence /??o — m^=f\ — f[ représente la correction à faire subir au pointé moyen y,'. Or, si n^ et /i| représentent les indices de réfraction de l'air dans les conditions normales et dans les conditions de l'expérience, on sait que

Aq /Il

CHAP. VI. — DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIOKiS. 3ll

Les relations précédentes donnent

ou, en désignant par \ la longueur d'onde dans le vide,

/i = /i'-+- ^(no—«i),

puisque

Xo __ I

Or, si Ton désigne par o le coefficient de variation de la quantité /?o — 1 avec la température, on aura

et, pour la réduction à o** et à la pression normale, d^une observation faite à la température /| et sous la pression Hf,

d'où

Variation de V indice de réfraction de Vair. — Les expériences antérieures à celles de M. Benoît n'avaient pas encore fourni, sur la variation de l'indice de l'air avec la température, des données suffisamment exactes pour permettre de réduire avec certitude les observations relatives à la dilatation du trépied de l'appareil Fizeau. C'est pour cela que M. Benoît entreprit de déterminer cette quantité au moyen de l'appareil lui-même. La première étuve fut recouverte par la cloche en verre dont nous avons parlé, et deux séries de mesures corrélatives furent entreprises, l'une sous la pression atmosphérique,, l'autre sous une pression voisine de zéro. A chaque température, les franges étaient déplacées, entre les deux mesures, d'une quantité correspondante à la variation de vitesse de la lumière dans le vide et dans l'air. M. Benoît fit en tout quatre-vingt-trois observations complètes à des températures comprises entre 0° et 80*^. La série dans le vide

3i2 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION.

servit à déterminer la dilatation du trépied, tandis que les mesures dans Tair donnèrent, pour chaque température, les corrections à faire subir aux pointés pour les réduire au vide.

Les deux séries furent calculées séparément et représentées par deux fonctions paraboliques, desquelles on déduisit, par un calcul particulier, la valeur de Tindice de réfraction de l'air à o° et son coefficient de variation.

D'après ces mesures, Findice de réfraction de l'air à o° et sous la pression de 760""* est

TIq = 1 ,0002913,

et le coefficient de variation 8 de la formule

est égal à o,oo3665, c'est-à-dire identique au coefficient de dilatation de l'air. On sait, d'ailleurs, d'après les recherches de M. Mascart^ que la variation de l'indice avec la pression est proportionnelle à la densité du gaz. La réfraction de l'air varie donc, dans tous les cas, comme sa densité.

Les formules précédentes deviennent

/. =/,+ -^-o.oooagaS [i- -^^.^^^^ -.^\-

Or, par une circonstance fortuite, les valeurs numériques des

quantités /i© — i pour l'air et - pour la lumière de la soude sont

presque identiques; déplus, dans Tétude d'un échantillon, la correction n'atteint jamais j|^ de frange; on peut donc écrire, avec une approximation supérieure à celle avec laquelle les corrections doivent être appliquées,

/i=/i^-^i [1— , -f-o,oo3665^, 760J'

Cette simplification ne serait pas permise dans la réduction des mesures relatives au trépied, dans lesquelles la correction dépasse généralement deux franges aux températures élevées.

Calcul de la dilatation. — Occupons-nous d'abord de la dilatation du trépied. Supposons un pointé fait à o*^, et les pointés

CHAP. VI. DÉVELOPPEMEIKTS ET APPLICATIONS. 3l3

réduits à des conditions normales, auxquelles correspond la longueur d'onde X. Nous aurons, en désignant par C une constante inconnue,

mm

Posons

Nous aurons

/i^=/o- + ^««'i^-^oPfî

ou

Adoptons, pour la symétrie des calculs, les notations suivantes

Les équations de condition prennent la forme

X'\'tty'^t\z =/2,

elles sont identiques à celles que nous avons rencontrées dans le calcul des dilatations déterminées au comparateur. Après avoir résolu les équations normales, on calculera a et ^, connaissant j^, x^, fr0 et A*

Soit maintenant à déterminer la dilatation d'un échantillon. Pour éviter toute ambiguïté, désignons, dans ce cas, par Lq, L|, L2, ..., Eq, E{, E2, ... les longueurs communes des trois vis et les épaisseurs de Téchantillon aux températures o, /|, ^3, ...; soient enfin e^^ ei, ^2, ... les épaisseurs correspondantes delà lame

3l4 THERMOMÉTRIE DE PRÉCI8IOJV.

d^air. Nous aurons

eQ= LiQ — Eq = C -h /o " '

c, = L, — E, = G-f-/|-, e, = Lf — Ej = G -h/, - ,

En désignant par a' et P' les coefficients de la formule représentant la dilatation de réchantillon, nous aurons, en introduisant les valeurs de L| et E, dans Texpression de ^i,

/o^nh(Lo«-Eoa')^i + (Lop-EoP')^î = /-,^

ou

îà(Loa -Eo«-) 2(Lo.3-Eop-)

Posons

•>.(Loa — Eo»')

2(Lop-Eop') __^.

les équations de-condition prennent alors la forme ordinaire. On en tire, après avoir résolu le système,

Eo ' ^ Eo

136. Exactitude atteinte dans les mesures de dilatation. — Les mesures de dilatation sont affectées de nombreuses causes d'erreurs. Dans toutes les méthodes qu'il est possible d'imaginer, le manque de constance ou d'uniformité de la température entraîne quelque incertitude dans son évaluation; même dans des expériences bien préparées et exécutées avec soin, il n'est pas rare que cette incertitude atteigne deux ou trois centièmes de degré. Lorsqu'on emploie de bons thermomètres, les erreurs de leurs lectures et de leurs corrections ne doivent pas dépasser quelques millièmes de degré et sont actuellement négligeables.

CHAP. VI. — DÉVELOPPEMENTS ET APPLICATIONS. 3l5

En dehors des causes dMncertitude communes à toutes les méthodes, les deux procédés que nous avons décrits contiennent des erreurs qui leur sont propres, et dont nous allons examiner les principales.

Dans les mesures au comparateur, les erreurs des pointés, augmentées par les déplacements apparents des traits dus à de légers mouvements de la surface de Teau ou à des courants d^air chargé de vapeur d^eau peuvent atteindre fréquemment i\^. Cependant, comme une série complète comprend un certain nombre de mesures, l'erreur résiduelle d'une série dépasse rarement oH*, 5 ou 01^,7. Si Ja mesure complète de la dilatation comprend un nombre suffisant de séries indépendantes, cette erreur résiduelle donne une idée assez exacte de Terreur fortuite de la série, augmentée de l'incertitude qui règne sur les corrections des micromètres. C'est de là que l'on déduit l'erreur probable du résultat.

Il peut, en outre, subsister, dans les mesures, une erreur constante, provenant de la tare du micromètre, c'est-à-dire de la valeur d'un tour de la vis en mesures absolues. L'incertitude du millimètre étalon employé à cette détermination s'ajoute encore à l'erreur des mesures, et reste en entier dans le résultat, quelle que soit son erreur probable. Cette dernière donnera donc un point de départ pour l'évaluation de Tincertitude qui règne dans la différence de deux coefficients mesurés avec le même appareil.

Pour une règle métrique en platine, on peut rendre l'erreur probable d'un coefficient moyen, a-j-^^, inférieure à 3^*00 O" même à ^^j^ de sa valeur, pour tout l'intervalle de ^o degrés environ, dans lequel on opère d'ordinaire. Mais, si on limite à "ï-Q-j^-j,- environ la précision que l'on peut véritablement garantir par des expériences de premier ordre, on se trouvera certainement plus près de la vérité.

Dans l'emploi de la méthode Fizeau, les erreurs relatives des mesures individuelles faites sur un échantillon avec une faible différence de marche sont moindres qu'avec le comparateur ; en effet. Terreur résiduelle d'une série atteint rarement o,o3 frange ou ot*,oi . Les échantillons à étudier ayant une épaisseur de iS"™ à i5""™, et les expériences pouvant être poussées sans difGcultés jusque vers 80**, on se trouve dans des conditions environ deux fois plus favorables que dans les mesures au comparateur de 1™.

3l6 THERMOMÉTRIE DE PRÉCISION

Il est aisé de voir du reste que l'exactitude avec laquelle on isole la part de chaque terme de la formule parabolique est proportionnelle au carré de l'intervalle de température dans lequel on opère.

Mais toutes les mesures dépendent de la détermination de la constante relative au trépied. Comme nous Pavons vu, cette détermination est plus difficile et sensiblement moins précise que celle d'un échantillon. Dans la mesure faite par M. Benoît, Terreur probable minima du coefficient moyen est égale à ^^ environ de ce coefficient. Les erreurs probables des mesures relatives à divers échantillons ne sont pas sensiblement plus fortes. Dans ce cas, l'incertitude de la différence de deux coefficients déterminés avec le même trépied est inférieure à celle que l'on calculerait d'après les erreurs probables relatives à deux échantillons.

L'erreur constante la plus forte, que Ton peut commettre dans CCS mesures, et particulièrement dans celle du trépied, se rapporte à la valeur du millimètre employé pour les mesures, en fonction de la longueur d'onde de la raie D. Les lois physiques simples sur lesquelles repose l'emploi de la méthode sont probablement assez exactes pour n'introduire aucune erreur appréciable.

D'après M. Benoît, l'approximation réelle atteinte dans ses déterminations est de l'ordre de ~^^^\^ à j^.

Afin d'épargner à d'autres observateurs le travail long et très fatigant que nécessite une mesure directe de la dilatation d'un trépied, M. Benoît a déterminé la dilatation du quartz, du bér}4 et du spath d'Islande parallèlement et perpendiculairement à leur axe (voir Table XII). On peut maintenant, à l'aide de ces cristaux, déterminer la dilatation d'un trépied, par une mesure relative, qui peut être faite aisément et sans fatigue. Ce procédé pourra être utilisé avec avantage, jusqu'à Tépoque où des progrès importants auront montré la nécessité de nouvelles mesures absolues.