THÉORÈME DE PONCELET

Si on décompose un corps animé d'un mouvement de rotation en tranches infiniment minces, l'action de la pesanteur sur chaque tranche est au centre de gravité.

Travail développé par la force centriiage. (Fig. 324.) — Supposons que la couronne A tourne sur son centre o et dans un plan horizontal avec une vitesse angulaire co, imaginons qu'une molé-

Fig. 324.

Fig. 32o.

Fig. 326.

cule a de poids p placée en a et entraînée dans le mouvement de rotation puisse glisser sans frottement dans la rainure radiale a6; cette molécule soumise à l'action de la force centrifuge sera poussée dans la rainure, et arrivée en b elle s'échappera suivant une direction bx.

Cela dit, considérons la molécule quand elle parcourt l'élément e, de ab la force centrifuge variable en chaque point de ab, pourra dans ce parcours élémentaire e être considérée comme constante ; elle a pour valeur f =z ww^ x x, x étant la distance du centre de l'élément au centre o. Le travail d'inertie correspondant seraf X e = mu>*c x x; les quantités de travail semblables

seront successivement

f^ z=L WKD* X e" X x", etc.

et le travail total T = wm (ea: + a/ x a?' + c" x a?"). Or la parenthèse, somme des moments simples de la droite ab par rapport à un plan perpendiculaire passant au centre o est égal au moment

de la droite entière ah; c'est-à-dire à (R — r) x ( — J — ) =

donc T = wto I — 5 — j .

CAS d'une rainure quelconque (Fig. 325.)

On obtient la même formule dans le cas d'une rainure quelconque amb. Considérons en effet un élément mn; décrivons Tare mn' et remarquons que nn' ou e n'est autre que la projection de mn sur Tun ou l'autre des rayons om ou on que nous désignerons par X, Le travail de la force centrifuge dans le passage de m an aura donc pour valeur infiniment approchée ma>* x e x x; il en sera de même pour tous les éléments successifs de a en 6 de sorte que Texpression totale du travail sera Tr = {ex + e'x^ + e"x')

TO(D* et comme plus haut Tr =: -^ — (ll^ — r ) .

intensité de la vitesse de sortie

Pour obtenir la vitesse que possède la molécule matérielle arrivée en 6 dans le sens du rayon (fig. 324) ou suivant la tangente bi (ûg. 325) en désignant cette vitesse par u, nous aurons pour la formule des forces vives, comme les deux travaux sont égaux — 2~ ^ J^ (Ra __ r' ); d'où u = eu* (R» ^ r«) d'où u = w v/î^^^'.

Si l'on veut obtenir la vitesse absolue de la molécule à la sortie de la rainure, nous observerons qu'elle est la résultante entre la vitesse de rotation o)Ret u; nous aurons donc : l« dans la figure 324 V» = mwni + w» z=w2]R2j^tu2 (R2 «. r») z= cuH\^ -h c«>*R* — w«r = a>« (2R2 __ r*) o) X /21V'^ — H et 2° dans le cas d'une rainure quelconque (fig. 320) v'' ~ to^R^ + u* it 2wR X u X cos b d'où v = ^ai2Ri -|- u^ :!: 2u)R cos 6. Si dans cette expression la quantité sous la radicale est nulle v est égale à zéro et u = wR, l'angle 6 = o.

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