CL
que ~ ^ , d’où l’on conclura qu’on pourra prendre indistinctement pour log -+- -J les deux va-
leurs suivantes
log = log N
N H — et
avec une erreur moindre que — — ;
et
l’on voit, d’après cela, que l’une et l’autre de ces valeurs devront être considérées comme exactes, du moment où la limite de l’erreur ci-dessus signalée sera moindre que «. Cela donne l’équation
dfc
condition qui sera satisfaite en prenant pour la valeur déduite de l’équation suivante :
• d’où
et avec cette valeur de - , on a exactement
Cela posé, s’il s’agit de déterminer le logarithme du nombre N -f- - compris entre N et N •+■ - , on aura, en vertu du théorème précédent,
mais du moment où - est égal à
■çrj J e P«'S alors
prendre pour valeur exacte de l’une ou l’autre
des quantités u et - /u., la quantité
— logN J 1 ;
,donc aussi, de ce. moment-là, j’aurai exactement îog (n-h^) — iogN= < *i[ log ( N + î) ~ logN ] ; d’où l’on déduit
log fît -h ^ = log N +« ^[log(N-t-^ ) — logfl],
c’est-à-dire qu’on peut en général appliquer à la
différence - une formule de proportionnalité
analogue à celle que nous avons trouvée pour la différence i.
Ce principe peut être fort utile dans la construction des tables de logarithmes.
Passé le nombre \Zd , la loi de proportionnalité peut s’appliquer pour t d*s intervalles plus grands que l’unité. En effet, soient les deux nombres N et N n.
On aura, comme à l’ordinaire,
log (N -h n) — log N
ntlu
Extension de la même loi aux nombres supérieurs à l/d-
La différence entre ces limites est égale à
N ' ”j v + w) * su * t; ( l ue l’ on p ourra prendre
pour valeur de log (N -4- n) — log N l’une ou, l’autre de ces limites , quand n sera tel que cette différence sera inférieure à ju , ce qui donne
n* dft ^ n* d
inégalité qui est satisfaite par la valeur de n déduite de l’équation suivante
ri 1 d
= i; d’où
Supposons maintenant qu’il s’agit d’obtenir le logarithme du nombre N+ô, compris entre N et N 4- n, la différence log (N -t -9) — log N sera évidemment comprise entre les deux limites
et ^ , à la place desquelles je puis mettre
Odu (du ^ *
N-4-n et ~N~'
Or la quantité ô — -~ + "J est aussi com-
prise entre les deux mêmes limites. Je pourrai donc écrire qu’on a
log( N -4- 1) — log N = - [log (N -f- n) — log N] ,
avec une erreur moindre que — quantité
évidemment*plus petite que /u, d’après ce qui précède-
Ainsi la loi de proportionnalité peut s’appliquer, dans toute l’étendue* des tables, pour les logarithmes de tous les nombres compris entre deux autres N et N' qui sont séparés par un intervalle . N
égal
