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ronce par un finale ainsi obtenue sera un nouveau terme de

nombre

quelconque, cette progression dont le rang s’obtiendra en faisant la somme algébrique de tous les indices qui expriment les rangs des termes ajoutés; or, si les termes sur lesquels on opère sont tous égaux, c’est-à-dire si l’on ajoute un certain nombre de fois à lui-mème un terme de la progression, ce sera comme si l’on avait multiplié ce terme par ce nombre ; d’un autre côté, les indices des rangs seront tous égaux entre eux; les ajouter les uns aux autres un certain nombre de fois, ce sera donc multiplier un d’eux par ce nombre , et de ces remarques on conclura :

Que si l’on multiplie par un certain nombre un terme quelconque d’une progression simple par différence, le résultat obtenu sera un nouyeau terme de cette progression dont le rang s’obtiendra en multipliant par ce même nombre l’indice qui marque le rang du terme sur lequel on a opéré.

11 est du reste bien entendu, et la nature de notre démonstration l’indique suffisamment, que le nombre par lequel on multiplie doit être entier, et ne peut jamais être considéré comme fractionnaire.

Il était facile de parvenir par une voie directe au résultat que nous venons d’obtenir. On peut

en effet remarquer que les termes d’une progression simple par différence ne sont autre chose que les divers multiples de la raison de cette progression. Or, répéter un de ces termes un certain nombre de fois, c’est lui donner de nouveaux facteurs sans lui en enlever aucun de ceux qu’il avait déjà; c’est donc le laisser toujours multiple de la même quantité , d’où il suit que le résultat obtenu sera nécessairement un terme de la progression.

Mais, si au lieu d’opérer par voie de multiplication, on opérait par voie de division, il pourrait se faire que le quotient obtenu ne fût pas un terme de la progression. En effet, en exécutant cette opération, on pourrait dépouiller le terme divisé de quelques-uns des facteurs de la raison, et il suffit que cette circonstance soit possible pour qu’on ne puisse plus affirmer que le résultat obtenu demeurera encore un multiple de la raison , condition indispensable pour que ce résultat soit un terme de la progression.

Plusieurs auteurs d’éléments ont avancé dans leurs ouvrages que lorsqu’on multipliait ou qu’o« divisait un terme d’une progression, par un nombre quelconque, on obtenait pour résultat un nouveau terme de la progression; il est évident que ces auteurs se sont laissé guider par une fausse

De la

division d’un terme d’une progression simple par différence par un nombre quelconque.

Définition.

analogie, et ce que je viens de dire prouve qu’énoncé d’une manière générale, le principe précédent n’est pas vrai, qu’il faut en restreindre l’application au seul cas de la multiplication.

§ II. — Progressions par quotient (i).

On donne le nom de progression par quotient à une suite de nombres telle qu’un quelconque d’entre eux contient celui qui le suit, ou est contenu par lui un même nombre de fois. D’après cela, la forme la plus générale sous laquelle des nombres en progression par quotient peuvent être représentés est la suivante :

a, aq, aq >, aq\ aq

(i) Ce qu’on va lire sur les progressions par quotient est calqué terme pour terme sur ce qu’on vient de lire sur les progressions par différence, et cela tient à ce que de part et d’autre tous ces théorèmes sont identiques. L’unité va remplacer le zéro , les quantités négatives et posi-, tives vont disparaître pour faire place aux quantités plus petites ou plus grandes que l’unité ; à l’aide de ces substitutions, il y a analogie complète dans l’exposition des propriétés des deux genres de progressions. Sous ce rapport , il est avantageux , ce me semble , de conserver cette

La quantité q, qui représente le quotient constant entre deux de ces nombres consécutifs, s’appelle la raison de la progression.

Dans le cas où les nombres sont disposés de manière à aller constamment en croissant, c’est-à-dire lorsque q est plus grand que l , on dit que la progression est croissante ; dans le cas , au contraire , où les nombres vont sans cesse en diminuant, c’est-à-dire lorsque q est moindre que i , on dit qu’elle est décroissante.

Il faudrait donc, pour représenter ces deux sortes de progressions, employer les deux symboles suivants :

a , aq , aq », aq 3 ,

même analogie dans les termes , et de reproduire ainsi dans le style l’image fidèle de cette identité que je viens de signaler. On aurait même pu, pour la rendre plus frappante, présenter ces deux textes en regard l’un de l’autre sur la même page divisée en deux colonnes , ainsi que je l’ai pratiqué quelquefois pour certains articles insérés dans les Annales de Mathématiques ; mais je n’insisterai pas plus long-temps sur ces détails qu’il suffit d’avoir signalés , car la lecture de ce qui va suivre en fera suffisamment comprendre toute la portée.

Raison t!e la progression .

Progressions

limitées,

progressions

indéfinies.

pour la progression croissante, et

pour la progression décroissante.

Mais on sait que lorsqu’une vérité est démontrée pour un seul de ces symboles , le premier par exemple , elle F est également pour l’autre. La nature des procédés algébriques est telle , en effet , que les quantités qui entrent dans les résultats obtenus les vérifient également, soit qu’elles y figurent comme plus grandes que l’unité , soit qu’elles y figurent comme plus petites qu’elle; pourvu, d’ailleurs, que ces résultats soient indépendants de toute supposition primitivement faite sur la nature de la grandeur de ces mêmes quantités relativement à l’unité.

Lorsque dans une question particulière on raisonne sur un nombre fini de quantités qui sont en progression par quotient , cette progression a naturellement pour limites la plus grande et la plus petite de ces quantités; toutes les autres \iennent se placer entre celles-là dans le rang que leur grandeur leur assigne. Mais une progression étant ainsi commencée , rien ne s’oppose à ce que l’esprit la conçoive indéfiniment prolongée en dehors de ces limites par une suite de

nouveaux termes déduits les uns des autres , au moyen de la loi à laquelle sont soumis les premiers. Au-delà de ces deux limites , les nouveaux termes formés par la multiplication ou la division successive de la raison iront sans cesse en augmentant d’une part et en diminuant de l’autre, de manière à atteindre les uns l’infini positif, les autres zéro , limites naturelles entre lesquelles se trouvent comprises toutes les progressions par quotient. C’est sous ce point de vue plus large qu’il faut s’accoutumer à considérer ces sortes de séries : un nombre fini de termes formés et disposés en progression n’en est pour ainsi dire que l’ébauche , c’est la seule chose qu’il soit permis d’en voir ; mais le reste doit toujours se penser.

Dans une progression dont le nombre des Rangs des