D termes d une

termes est limité, le rang de ces termes est na- progression, turellement déterminé par la place même qu’ils occupent dans la série : le premier est celui qui est écrit en tête de la progression et à sa gauche ; le dernier , celui qui la termine à droite.

Mais dans la progression considérée comme série indéfinie, et s’étendant depuis zéro jusqu’à l’infini positif, le rang des termes ne saurait plus être déterminé par ce procédé; et il faut, si l’on veut s’entendre , recourir à une convention pour

désigner ces rangs. Pour cela , je remarque que dans une pareille progression il y a à la fois des termes plus grands que l’unité, et des termes plus petits qu’elle. Or c’est au point où s’effectue le passage des uns aux autres qu’il est le plus convenable de commencer à compter les rangs.

Le terme du rang 1 - est donc le premier de ceux qui dépassent l’unité , celui du rang a le deuxième, et ainsi des autres : on dit ensuite que le premier des termes , qui est inférieur à l’unité , occupe le rang — i , le deuxième le rang — a , le troisième le rang — 3 , etc., etc.

Par exemple, si l’on désigne le premier des termes plus grands que l’unité par a, le premier des termes plus petits que l’unité par a! , et la raison par q, voici comment à droite et à gauche de ces termes sera conçue la progression

En conséquence, on dira que

a occupe le rang i , aq le rang a ,

, aq * le rang 3 ,

et que

a' occupe le rang — i ,

le rang — 2, le rang — * 3 ,

et ainsi de suite.

On voit donc qu’en général les termes des rangs n et — n seront respectivement égaux à

aq " -I et

et l’on peut remarquer que leur produit se réduit à a x a' ; d’où l’on conclut que le produit de deux termes dont les rangs ne diffèrent que par le signe , est constant et égal au produit du premier des termes plus grands que 1 par le premier des termes plus petits que 1 . < ‘

Pour l’obiet qui nous occupe , il n’est pas né- Progressions cessaire de considérer les progressions sous leur progressions forme la plus générale ; il nous suffira d’étudier quelques propriétés de celles dans lesquelles a est

égal à l’unité, et par conséquent a' égal à

je donnerai à celles-ci le nom de progressions simples j et aux premières celui de progressions composées. On peut remarquer qu’une progression composée n’est autre chose qu’une progres-

sion simple dont tous les termes ont été multipliés par une même quantité ; ce qui justifie suffisamment les dénominations que nous avons affectées aux unes et aux autres.

Cette sorte de progression s’écrira généralement sous la forme suivante :

- 3 » fl -1 «» ?, q\ q\ q',

Rangs des Ici se présente une observation à faire relati-

termes d'une , ; ,

progression vement au passage des termes qui sont moindres simple. q Ue p un j(^ 4 ceU x qui sont plus grands qu’elle.

Dans les premiers, la quantité q entre toujours comme diviseur ; dans les- seconds, comme multiplicateur : le terme i est le seul qui ne possède la quantité q ni de l’une ni de l’autre de ces deux manières. .

Ce terme ne peut appartenir à la classe de ceux qui sont plus grands que i, puisque, comme eux, il ne dépasse pas l’unité; et, d’un autre côté, il ne peut appartenir à la classe des termes moindres que i, puisque, comme eux, il n’est pas in- . férieur à l’unité.

On voit donc qu’en réalité, il n’appartient spécialement à aucune des deux classes; qu’en conséquence on ne peut donner à son rang ni un indice positif qui l’assimilerait à ceux de la pre- -

mière, ni un indice négatif qui l’assimilerait à ceux de la seconde. Voilà pourquoi nous adopterons le parti de donner à ce terme , seul de son espèce, le rang zéro.

Par suite de cette convention,,

Le terme du rang i sera égal à la raison ;

celui du rang 2 à la 2' puissance de la raison ; ' •,

celui du rang 3 à la 3 e puissance de la raison ;

et généralement,

celui du rang « à la n ieme puissance de la raison.

Le terme du rang — 1 sera égal à 1 divisé par la raison ;

celui du rang — 2 à 1 divisé par la’ 2 e puis, de la raison; 1 ■ celui du rang — 3 à 1 divisé par la 3 e puis, delà raison;

et généralement,

celui du rang — « à 1 divisé par la n iim ‘ puis, de la rais.

On voit donc que dans les progressions simples par quotient, les termes qui occupent des rangs dont les indices ne diffèrent que par le signe donnent pour produit l’ unité. •

Occupons-nous maintenant de déterminer le Uu produit produit de deux termes de rang quelconque d’une nu» de* ring

t . . , * .. quelconque

progression simple par quotient. d’une

Il pourra se présenter deux cas; ou les indices simple pur des rangs de ces deux termes seront de même i uoUentsigne, ou ils seront de signe contraire. '

i rt cas. Soient ± m et rfc n ces indices, le produit des deux termes sera

qu’on peut écrire (m+n) : c’est-à-dire que ce produit est un nouveau terme de la progression qui occupe le rang ±. (m •+■«).

a® cas. Si les indices sont de signe different, il arrivera que l’un d’eux étant ' ± m, l’autre sera n ; le produit des deux termes sera donc

qu’on peut écrire ; et c’est encore un des

termes de la progression dont le rang s’obtient en faisant la somme algébrique des indices qui marquent les rangs dès termes multipliés.

Ainsi, quels que soient les termes dont on s’occupe, leur produit est égal à un nouveau terme de la progression, et la somme des indices de leur rang exprime le rang de ce nouveau terme. -

Du quotient ' Il pourra encore ici se présenter deux cas, suimcs queicon- vant que les indices des rangs des deux termes sur progression lesquels on opéré seront de meme signe ou de

simple par .

v quotient, signe contraire. . <

i cr cas. Soient ± m et ifc n ces indices, lequo-

( ai )

tient de la division des deux termes sera

qu’on peut écrire (*—*).

C’est, comme on voit, un nouveau terme de la progression, dont le rang ± (m — - n) est égal à la différence entre les indices ±met ±: n des rangs des nombres divisés.

2 e cas. Soient ± m et rp n les deux indices, le quotient de la division des deux termes sera

qu’on peut écrire q — c,n et l’on retombe en-

core sur un terme de la progression dont le rang ± est égal à la différence entre les in-

dices ±m et qr n des rangs des nombres divisés.

De là on conclura que, quels que soient les termes dont on s’occupe, leur quotient est égal à un nouveau terme de la progression, et que la diffé-

rence algébrique des indices de leur rang exprime le rang de ce nouveau terme.

Il résulte du premier de ces deux théorèmes que, si cm multiplie entre eux' tant de termes qu’on voudra d’une progression simple par quotient, le produit total ainsi obtenu sera un

De l’élévation aux puissances d’un terme quelconque d’une progression simple par quotient.

( aa J

nouveau terme de cette progression, dont le rang s’obtiendra en faisant la somme algébrique de tous les indices qui expriment les rangs des termes multipliés.

Or si les termes sur lesquels on opère sont tous égaux , c’est-à-dire si l’on multiplie .un certain nombre de fois par lui-même un terme de la progression , ce sera comme si l’on avait élevé ce terme à la puissance du degré marqué par ce nombre; d’un autre côté, les indices des rangs seront tous égaux entre eux ; les ajouter les uns aux autres un certain nombre de fois, ce sera donc multiplier un d’eux par ce nombre, et de ces remarques on conclura

Que, si l’on élève à une certaine puissance un terme quelconque d’une progression simple par quotient, le résultat obtenu sera un nouveau terme de cette progression , dont le rang s’obtiendra en multipliant par le degré de cette puissance l’indice qui marque lè rang du terme sur lequel on a opéré.

Il est du reste bien entendu, et la nature de notre démonstration l’indique suffisamment, que le degré de la puissance en question doit être entier, et ne peut jamais être considéré comme fractionnaire.

Il était facile de parvenir, par une voie directe,

au résultat que nous venons d’obtenir. On peut en effet remarquer que lç$ termes d’une progression simple par quotient fte sont autre chose que l’unité multipliée ou divisée par les diverses puissances entières de la raison, Or, élever un de ces termes à une certaine puissance entière, c’est toujours laisser entier l’exposant primitif de la . raison ; d’où il suit que le résultat obtenu sera nécessairement un terme de la progression.

Mais si au lieu d’élever à une puissance , on Ue l’extracextrait une racine, il pourra se faire que le résul- racines d’u»

1 > 1 terme qnet-

tat obtenu ne soit pas un terme de la progression, conquêd’uno

1 , progression

En effet, en exécutant cette opération, il pourra simple

A • 1 parquotient.

etre nécessaire de diviser 1 exposant qui figure dans le terme sur lequel on opère par un nombre qui ne le laisse plus entier, et il suffit que cette circonstance soit possible pour qu’on, ne puisse plus affirmer que le résultat obtenu conservera, soit comme multiplicateur, soit comme diviseur, une puissance entière de la raison, condition indispensable pour que çe résultat soit un terme de la progression. t , f

Plusieurs auteurs d’éléments ont avancé dans leurs ouvrages que lorsqu’on élevait à une puissance un terme d’une progression parquotient, ou qu’on en extrayait une racine, on obtenait pour résultat un nouveau terme de la progression ; il

est évident que ces auteurs se sont laissé guider par une fausse analogie, et ce que je viens de dire prouve qu’énoncé d’ime manière générale, le principe précédent doit s’appliquer seulement à l’élévation aux puissances.

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