CHAPITRE n

ÉTUDES COMPARATIVES SUR DEUX PROGRESSIONS SIMPLES, L’UNE PAR DIFFÉRENCE, L’AUTRE PAR QUOTIENT. ,

Mettons maintenant en regard deux progrès- Examen sions simples, l’une par différence, l’autre par c °d”dè™x lf quotient, et disposons-les toutes deux de ma- SptcTmi-

, . , , ses en regard

niere que les termes qui, dans chacune, occu- l’une de pent le même rang, se trouvent placés sur la même ligne l’un au-dessus de l’autre, ainsi qu’il suit :

““ y ' ' y " d y O ) d y • id y 3 d y

Il sera maintenant facile de se convaincre, en vertu des théorèmes précédemment établis , et en comptant les rangs comme nous en sommes convenus, que si d’une part on ajoute ou on retranche l’un à l’autre deux termes quelconques de la première, et si de l’autre on miïltiplie ou on divise entre eux les deux termes correspondants de la

Trahsfnrmation dp la multiplication et do la division en addition et en

soustraction.

Transformation de l'élévation aux puissances en multiplication.

seconde, les résultats qu’on obtiendra dans les deux cas seront de nouveaux termes des deux mêmes progressions qui occuperont chacun dans la sienne le même rang.

Et encore , que si l’on multiplie par un certain nombre un terme quelconque de la première progression, et qu’on élève le terme correspondant de la deuxième à une puissance du degré marqué par ce même nombre , les résultats qu’on obtiendra dans les deux cas seront de nouveaux, termes des deux mêmes progressions qui occuperont chacun dans la sienne le même rang.

Il résulte de ces remarques que si les deux progressions ci-dessus étaient indéfiniment prolongées, et si l’on avait à multiplier ou à diviser entre eux deux termes quelconques de la deuxième, il ne serait pas nécessaire, pour connaître le résultat , d’exécuter ces opérations ; on les remplacerait, pour l’obtenir, par une addition ou une soustraction qu’on effectuerait entre les deux termes correspondants de la première : le résultat de cette addition ou de cette soustraction ferait connaître un terme de celle-ci audessous duquel on trouverait le nombre cherché.

On voit pareillement que si l’on devait élever un des termes de la progression par quotient à une puissance, il ne serait pas non plus néces-

saire , pour connaître le résultat, d’effectuer cette opération : pour y suppléer, on multiplierait le terme correspondant de la progression par différence par le degré de la puissance qu’on veut former, et l’on obtiendrait pour produit un terme de cette progression au-dessous duquel se trouverait le résultat cherché. , -

Faisons l’application de ces préceptes à quel- Applications ques exemples (i). exemple.

Soient les deux progressions simples qui suivent :

-6; -5; .—4; -3; -a; — if o; i;

o,oi 56'.! 5 ; o,o3ia5; o,o6a5; 0,ia5; o,a5; .0,5; i; a;

4 ; 8; 16; 3a; 64 > >28; a56; 5ia. ...

i°. On veut multiplier le tçrme 16 de la seconde par le terme o,ia 5 ; on trouve respectivement, dans la première, au-dessus de 16 et de

( 1 ) J’ai besoin de rappeler ici que ce Mémoire est non-seulement un travail academique , mais encore un Traité sur les Logarithmes , qui sera sans doute consulte par les commençants. Soifs ce dernier point de vue , on ne considérera pas comme complètement superflus certains détails que j’aurais épargnés à l’Académie si ce travail n’avait été fait que pour elle.

o, 1 1 » 5, les deux termes 4 et — 3 ; faisant la sommé de ceux-ci, on a pour résultat i ; or i , dans la première progression , est placé au-dessus de a ; d’où l’on conclura que le produit de 16 par o, 1 a5 est égal à a.

a 0 . On veut multiplier o,i5 par o,o6a5. Audessus de ces deux termes on trouve respectivement — 2 et —4 dont la somme est — 6 ; or au-dessous de — 6 est écrit le nombre 0 , 01 56a5 : on dira donc que le produit de o,a5 par o,o6a5 êst égal à o,oi56a5.

3°. On veut diviser 5 12 par 64. Au-dessus de ces deux termes on trouve respectivement 9 et 6 : soustrayant le second du preniier, on a 3 pour reste; or au-dessous de 3 on trouve 8 : le quotient de 5ia par 64 est donc égal à 8 .

4°. On veut diviser o,o3i25 par o,a5. Audessus de ces deux termes on trouve respectivement — 5 et —2 : soustrayant le second du premier, on a pour reste — 3 ; or au-dessous de — 3

on trouve le noriibre 0 , 1 25 : le quotient cherché est donc égal à o, ta5.

5°. On veut élever 4 à la troisième puissance. Au-dessus de 4 on trouve le terme 2 : multipliant ce -terme par le degré de la puissance qu’on veut obtenir, on a; pour produit 6 ; or au-dessous de

6 est écrit 64; d’où il suit que la troisième puissance de 4 est égale à 64-

6°. On veut élever o,i25 à la deuxième puissance. Au-dessus de o, 1 25 je trouve le terme — 3 : multipliant ce terme par le nombre 2 , qui exprime le degré de la puissance qu’on veut obtenir, on a pour produit —6; or au-dessous de — 6 est écrit o,oi 56a5 : on dira donc que la deuxième puissance de o,i25 est égale à o,oi5625.

On voit, par ces exemples, avec quelle facilité on peut, au moyen de ces deux progressions, changer,

i° Les multiplications et divisions en additions et soustractions;

2 °. Les élévations aux puissances en multiplications.

Une seule des six opérations fondamentales de l’arithmétique ne peut être directement abrégée par ce procédé, c’est l’extraction des racines; et nous savons déjà que cela tient à ce qu’en extrayant une racine d’un terme de la progression par quotient, le résultat peut ne pas être un nouveau terme de cette progression. Toutefois, on > verra bientôt que pour cette opération , malgré / l’insuffisance théorique que nous avons constatée , on peut encore introduire dans la pratique

Résumé.

la même abréviation que pour les trois autres. Utilité de la Revenons à nos deux progressions. On vient d’une pro- de voir quels immenses avantages elles offrent

gression 4 °

simpio ppr pour simplifier les calculs arithmétiques; mais

quotient ren - 4 4

fermant, dans une première remarque se présente à l’esprit , dapproitima- c’est que ces avantages sont limités à quelques

tion assignée, 1 . ? ,

tous les nombres seulement, a ceux qui font partie de la

nombres pos- 1 • .

sibics. progression par quotient , et que des qu on voudra opérer sur des nombres autres que ceux-là , il faudra en revenir aux procédés ordinaires de la multiplication , de la division et de l’élévation aux puissances.

Si donc on voulait faire servir ce genre d’abréviations à la plus grande quantité de nombres possible , il faudrait choisir, parmi toutes les progressions simples par quotient, celle qui peut contenir le plus de nombres, ou, en d’autres termes, celle dont la raison est la plus petite; or d’une part cette raison ne peut être une fraction proprement dite, puisque dans ce cas il n’y aurait dans la progression que des fractions proprement dites , c’est-à-dire les seuls nombres compris entre zéro et l’unité ; et d’autre part on ne saurait admettre l’unité , car alors tous les termes seraient égaux à i , et la progression ne serait plus d’aucun secours; il faut donc prendre pour raison de la progression un nombre fractionnaire plus

grand que i , mais d’ailleurs aussi rapproché que possible de l’unité.

Je vais montrer qu’en agissant ainsi, il sera possible de former une progression simple par quotient telle qu’il n’existe pas un seul des nombres compris entre zéro et l’infini positif, tant entiers que fractionnaires, qui ne puisse être considéré comme appartenant à cette progression, avec tel degré d’approximation qu’on pourra desirér ; c’est ce que je prouverai facilement après avoir établi le lemme suivant:

Soit l’identité

' + ïr = '

dans laquelle je suppose que — est une fraction

proprement dite.

Si ~ est une nouvelle fraction proprement dite, il est clair que le produit ( i -f- j ^ ~ sera plus grand que donc, si l’on ajoute aux deux mem-

bres de l’identité ci-dessus ces deux quantités inégales , on obtiendra l’inégalité suivante :

La possibilité d’une semblable progression s’appuie sur la démonstration élémentaire de ce principe, que

est moindre que .

Si j est une troisième fraction proprement

dite, on se convaincra de même que le produit ( i + 4- ^ est plus grand que Ajou-

tant donc ces deux quantités inégales aux deux membres de la précédente inégalité, et réduisant, on en conclura l’inégalité suivante:

En général , si cette propriété subsiste pour un nombre n — i de fractions, de telle sorte qu’on ait

<fi+

je dis qu’elle existera aussi pour un nombre n.

Il est évident, en effet, que la nouvelle frac-

tion j sera moindre que le produit

l’inégalité précédente subsistera donc toujours, si

l’on ajoute — à son premier membre , et le produit

ci-dessus au second : exécutant donc ces additions, et réduisant en un seul les deux termes du

second membre , il vient

ce qui démontre qu’en effet la propriété ci-dessus sera vraie pour n fractions, si déjà elle l’est pour n — i . Or nous en avons démontré la vérité pour deux et pour trois; il s’ensuit donc qu’elle est générale.

Cela posé, supposons que toutes les fractions ci-dessus sont égales entre elles , et représentons-

les par - ; dans ce cas , le premier membre de l’inégalité précédente deviendra , et le

second membre prendra la forme yi -t- ; on

aura donc, comme nous l’avons annoncé, le théorème suivant :

(i) Il est facile de prouver que cette proposition est encore vraie lorsque l - est négatif.

En effet , prenons l’identité suivante

Détermination de la raison de la progression cherchée.

Ce résultat étant ainsi constaté y revenons à la détermination de la progression par quotient ; la raison de cette progression , d’après ce que nous

avons déjà dit, doit être de la forme i avec

la condition que ^ est une très petite fraction.

Or je vais d’abord montrer qu’on pourra toujours trouver, dans cette progression, des termes dont la valeur sera supérieure à celle d’un nombre quelconque P , quelque grand d’ailleurs

ia quantité ~ est plus grande que le produit ( i — y-) 7- : 'A’a \ K X J k x

donc , en retranchant ces quantités aux deux membres de

l’identité ci-dessus, on obtiendra l’inégalité

et en répétant le même raisonnement que dans le texte , on arrivera au résultat suivant :

Supposant donc que toutes les fractions sont égales entre

elles, et qu’on les représente par cette inégalité se change en celle-ci :

C’est ce que nous voulions démontrer.

que soit ce nombre , et quelque petite que soit la fraction

Cette condition est facile à exprimer; en effet, la forme générale du terme du rang n est ^ i , il faudra donc prouver qu’on peut avoir

Mais puisque i •+■ n~ d est moindre que

on aura bien satisfait à la condition çi-dessus, en posant l’égalité suivante ,

de laquelle on déduit n = (P — \ )d.

Donc, quelle que soit la fraction si l’on prend

pour n la valeur (P — i )d, on sera sûr que le terme du rang n de la progression sera supérieur à P.

Mainténant, si ^ est la fraction qui limite le degré d’approximation qu’on veut obtenir, il faut chercher quelle sera la valeur de ^ à l’aide

de laquelle on sera sûr de trouver dans la pro-

gression un terme qui ne diffère de P que d’une quantité moindre que

Il est évident que cette condition sera satisfaite si la différence entre deux termes consécutifs

quelconques de la progression est moindre que

ce qui revient à dire que, quel que soit n , il faudra satisfaire à l’inégalité suivante,

qu’on peut écrire ainsi,

Mais si P est le plus grand de tous les nombres sur lesquels on veut opérer, la plus grande valeur que pourra acquérir f 1 -t- ^ ^ sera égale à

P ^ ; or, si dans ce cas cette valeur est égale à ^ ,

on sera bien sûr que pour toutes les autres valeurs de n la condition ci-dessus sera satisfaite. Posons donc

on en déduit ^ ^ ; ce qui

montre que la rai-

son de la progression cherchée doit avoir pour valeur i 4-

Si donc on forme tant de progressions simples par quotient qu’on voudra, en prenant pour raison de ces progressions une quantité inférieure

ou tout au plus égale à i + on sera certain

d’abord que ces progressions jouiront de cette propriété , que la différence entre deux de leurs termes consécutifs quelconques sera moindre que

et, en second lieu, que le terme du rang

(P — i) PKsera supérieur à la valeur du nombre P.

Yoilà pour ce qui concerne les nombres compris entre l’unité et P.

Occupons-nous maintenant de ceux qui sont contenus entre o et i , et voyons si pour ceux-ci la valeur précédemment trouvée pour la raison de la progression satisfait à des conditions analogues. Et d’abord, la différence entre deux termes

consécutifs sera-t-elle moindre que ?

En d’autres termes,

et

étant deux nombres consécutifs , aurn-t-on l'iné-

galité suivante ,

Cette proposition est évidente ; car on peut écrire cette inégalité comme il suit ,

et il est clair qu’avec la valeur ~ pour le premier membre sera constamment moindre que ±.

En second lieu, avec la même valeur de y aura-t-il un terme de la progression moindre

que le nombre ^ , quelque petit que soit ce nombre?

Si — n est le r^ng de ce terme, on devra avoir

mais

is ( i -+- étant plus grand que cette

inégalité sera satisfaite si Ton pose

d’où l’on tire n = (Q — i)d.

Ainsi, le terme du rang — (Q— i )d, ou

— ( Q — i ) PK , est moindre que

Nous pouvons donc affirmer que la progression par quotient simple, dont la raison est

1 , contient au nombre de ses termes tous

rl\.

les nombres possibles compris depuis zéro jusqu’à P, avec une approximation au moins égale à la

fraction

Si donc on dispose les uns à la suite des autres les termes de cette progression , et qu’on écrive au-dessus d’eux les termes de même rang d’une progression simple par différence , on aura par ce moyen une table complète qui servira à transformer respectivement , pour tous les nombres et avec une approximation ^ , les multiplications, divisions et élévations aux puissances en additions, soustractions et multiplications.

Mais j’ajoute qu’on pourra encore, en faisant Transforma-

tioo de l’extractioo des racines eu division.

usage de ces deux progressions , changer les ex-> tractions de racines en divisions.

En effet, soit un terme quelconque

de la progression par quotient, sa racine du degré m sera

Si - est entier et égal k p, on en conclura que

cette racine est le terme du rang p de la progression par quotient.

Or si /u est la raison de la progression par différence , le terme du rang n sera n/u , et si l’on divise ce terme par m, il viendra pour quotient mais^ étant entier et égal k p, on en

conclura que ce quotient est le terme du rang p de la progression par différence.

D’où l’on voit que dans ce cas l’extraction des racines d’une part , et la division de l’autre , conduisent à des termes qui occupent chacun le même rang dans sa progression.

Mais si - n’est pas entier, le résultat ne sera plus un terme de la progression ; dans ce cas ,

TV

voici les observations qu’on pourra faire : si l’on appelle p le nombre entier inférieur à £ , et le

plus voisin de cette quantité , il est clair que la valeur de la racine extraite sera comprise entre

et fi ■+•— J* , c’est-à-dire entre les termes des rangs p et p-h i .

D’un autre côté, dans la progression par différence , après avoir divisé nju par m , on obtiendra

un quotient - /u qui ne sera pas non plus un

terme de la progression, mais qui sera compris entre les deux termes consécutifs des rangs p et p -(- i .

Ainsi, dans le cas actuel , si nous n’arrivons à aucun des termes des deux progressions , nous remarquons du moins qu’il existe cette coïncidence entre les deux résultats obtenus, que la valeur de chacun est comprise dans chaque progression entre deux termes consécutifs qui occupent de part et d’autre les mêmes rangs.

Or comme ( i

diffèrent en-

tre eux de moins de ~ , à plus forte raison diffé-

reront-ils d’une quantité moindre que ~ de la racine cherchée : d’oû il suit qu’en restant dans

les limites de l’approximation voulue, on peut indistinctement prendre pour valeur de cette ra-

cine, ou

(' +î)' ou (■

iy+- "*) •

D’ailleurs , dans la progression par différence , la division de rifji par m nous a précisément donné un quotient compris entre les termes des rangs p et p -+- 1 de cette progression ; et de là on conclura que, si l’on veut extraire une racine d’un degré quelconque d’un des termes de la progression par quotient, il suffira, pour connaître le résultat , de diviser le terme correspondant de la progression par différence par le degré de cette racine, et de voir entre quels termes consécutifs de cette progression se trouve comprise la valeur de ce quotient ; les termes placés immédiatement au-dessous de ceux-ci dans la progression par quotient , pourront , eu égard

au degré d’approximation ^ , être indistinctement pris pour la racine cherchée.

Conclusion. Il résulte de ce qui précède , que nous sommes maintenant parvenus à asseoir toutes les bases d’un procédé au moyen duquel les opérations de l’arithmétique qui exigent le plus de longueur et de complication, peuvent être remplacées par celles qui sont d’une exécution à la fois plus courte et plus facile.

Nos études comparatives sur les deux progressions simples nous amènent donc à conclure que, par le secours de ces deux progressions, et en faisant usage, pour la raison de la progression par quotient, des déterminations ci-dessus obtenues , on pourra successivement transformer, pour tous les nombres possibles, tant eh tiers que fractionnaires ,

i°. La multiplication en addition ;

2 °. La division en soustraction ;

3°. L’élévation aux puissances en multiplica-

tion ;

4°* L’extraction des racines en division.

Définition.