SECTION PREMIÈRE

Divers systèmes de logarithmes .

Lorsqu’ en regard des termes de la progression par quotient, telle que nous venons de la déterminer, on place les termes de même rang d’une progression par différence , on dit que les termes de cette dernière progression sont les logarithmes des nombres qui leur correspondent dans la progression par quotient.

Or, comme nous n’avons encore rien spécifié sur le choix de la raison de la progression par différence, il s’ensuit que le logarithme d’un nombre n’est pas une quantité fixe et invariable ; ce logarithme , au contraire , changera de valeur suivant qu’on fera visage de telle ou telle autre progression par différence. Entrons dans quelques détails sur ce sujet.

On a pu s’assurer, par ce qui précède , que le Lo choix choix de la progression par quotient n’est nulle- sion par dif-

fërence 6st

ment indifférent. La nature même du problème à arbitraire, résoudre nous a conduit à la détermination numérique de la raison de cette progression. Mais il n’en est pas de même de la progression par différence, sa raison peut être arbitrairement choisie : il suffit, pour s’en convaincre, de remarquer que, si dans la progression par quotient la valeur numérique des termes est d’une indispensable nécessité , c’est le rang seulemerft de ces termes dans la progression par différence qui a de l’importance. Dans la progression par quotient il fallait faire figurer, avec une approximation assignée , tous les nombres possibles compris entre zéro et P , et dès-lors la valeur de la raison ne pouvait plus être arbitraire ; dans la progrès-, sion par différence il fallait seulement s’occuper du rang des termes, et dans ce cas leur valeur absolue n’était soumise à aucune condition.

Les considérations qui précèdent prouvent donc d cs difféqu’il y a une infinité de systèmes de logarithmes, mes^iocà- Ils dépendent chacun du choix qu’on a fait de la deieuTuse. progression par différence ; et comme celle-ci est complètement déterminée une fois qu’on a choisi la raison , on pourrait dire que cette raison sert de base à chaque système. Par conséquent , si l’on

adopte successivement pour valeur de la raison les quantités /u., /u' , fx ', .... on obtiendra chaque fois un nouveau système de logarithmes, doutât, /u', /u.",. . . . seraient réputées les bases.

Cette manière de concevoir et de définir la base d’un système de logarithmes est celle qui se présente le plus rationnellement à l’esprit, celle à laquelle on est le plus naturellement conduit en suivant la série d’idées que nous avons exposée jusqu’ici. Toutefois, ce u’est point à la raison de la progression par différence qu’on doit donner le nom de base du système (i), et dès-lors il est indispensable de présenter à ce sujet quelques explications.

D’après les développements ci-dessus exposés sur les progressions par différence, les divers termes de ces progressions , à partir de celui du rang zéro qui est nul , vont sans cesse en augmentant, et leur valeur a pour limite l’infini positif. Ces progressions, suivant les suppositions diverses qu’on aura pu faire sur leur raison , pourront, au nombre de leurs termes, contenir ou ne pas contenir l’unité. Admettons d’abord

(i) Voir, au chapitre 4, dans quel sens et dans quel cas il serait possible d’entendre que p est la base d’an système.

que la première circonstance a lieu, et supposons que dans cette progression un des termes est égal à l’unité. Si p est le rang de ce terme, le terme de même rang dans la progression par quo-

tient sera représente par ; or c est a ce-

lui-ci qu’on donne le nom de base du système. Mais quelle est la valeur de p ?

Il est facile de l’obtenir : en effet , /u étant la raison de la progression, le logarithme de

(i+-j sera égal à p/u : or , dans le cas actuel , on suppose que p/n est égal à i ; on déduira de là que p = -, et que la base du système a pour

valeur

On voit donc que généralement, lorsque la raison de la progression par différence est connue , la base du système se trouve arrêtée, et que,

pour l’obtenir, il faut élever +0 à la puissance du degré qu’on obtient en divisant l’unité par cette raison.

Tant que la raison / u est exprimée par une fraction dont le numérateur est l’unité et le dénominateur un nombre entier, comme |, on est sûr

que l’on trouvera toujours au nombre de seâ termes l’unité, et l’on voit que le rang de ce terme sera égal à b. Mais si cette raison est de la

forme ^ , et si cette fraction , plus grande ou

plus petite que i , est irréductible, jamais on ne pourra , en la multipliant par un nombre entier , la rendre exactement égale à i : il n’y aurait donc pas moyen , dans ce cas , de savoir ce qu’il faut entendre par la base du système.

Toutefois on concevra qu’il y a toujours deux

termes consécutifs, p.” et (p-+- i)^ , entre lesquels l’unité est comprise ; or dans la progression par quotient ces deux termes correspondent aux deux suivants:

(' + 'd) et (‘

Donc, si au lieu de prendre pour base le nombre qui correspond à i , on prenait celui qui correspond & p. ^ ou à (p-\- i)jj on devrait dire que

cette base est (i dans le premier cas, et

h-^Y dans le second.

Or comme i est en réalité compris entre

p ^ et (p-\- i)|, il faudrait aussi en réalité, pour conserver l’analogie, admettre pour base un nombre compris entre + -Çj ■

Mais comme on se borne, dans l’évaluation des nombres, à l’approximation et que les deux termes ci-dessus diffèrent entre eux d’une quantité moindre que ^ , à plus forte raison la base cherchée différera-t-elle de l’un et de l’autre de moins de On voit donc que, dans la limite d’approximation que nous nous sommes imposée,

on pourra indistinctement dire que ( i-t- -) ou f i -f- est la base du système en question.

D’ailleurs, dans la même limite d’approxima-

• fl j) «

tion , on pourra poser p ^ = p/u= i ; ci ou, comme précédemment, on déduit /> = -•

Nous dirons donc, en résumé, que la base d’un système de logarithmes est égale à celui des termes de la progression par quotient qu’on

forme en élevant à.- là puissance du degré

marqué par le quotient qu’on obtient en divisant

l’unité par la raison de la progression par différence ; sauf à substituer , dans la pratique , à ce quotient le nombre entier le plus rapproché de lui , soit au-dessus , soit au-dessous de sa valeur.

. Cette démonstration s’applique aussi bien

au cas où ^ est plus grand que i qu’à celui où cette quantité est moindre que l’unité; mais, dans le premier cas,j^ a pour valeur c’est-à-

dire une fraction proprement dite, ce qui prouve que les nombres entiers les plus voisins de cettè quantité au-dessus ou au-dessous de sa valeur sont alors toujours égaux à zéro et à l’unité : ainsi, pour tous ces systèmes de logarithmes et dans notre degré d’approximation , on peut in -

distinctement prendre pour base i oui +

En résumé , si la raison de la progression par différence est égale à i , la base du système sera

i si la raison est plus grande que i , la base

sera moindre que i 4- ^ , et comprise entre i 4- ~ et i.

Enfin, si la raison est moindre que i, la base sera plus grande que i 4- ~ , et comprise entre

i 4 - - et l’infini positif. <

Soit un nombre quelconque N. Si l’on sup- Relation qui

^ existe entre

pose que n est le rang du terme de la progression les îogarhh-

1 , . , mes des nom

par quotient qui est égala ce nombre, on aura bres écrits

dans un système et lès

/ I \" logarithmes

N — ( I -+- j I ; des mêmes

\ a / nombres

écrits dans

et si /u est la raison de la progression par diffé- système!' rence, le logarithme de ce nombre sera n/u.

Convenons de représenter à l’avenir par les indices

îo g^W> log^'N), logj,»(N) , —

les logarithmes d’un nombre quelconque N fournis par les progressions qui ont successivement pour raison /u, ,u', u!' . : . . En vertu de cette convention, nous écrirons

,o M N ) = nfl -

Si l’on avait employé la raison /u.', on aurait eu

Or, si l’on divise ces deux équations l’une par l’autre, on trouve

. log^.(N)

et de là on conclut t

et comme cette relation ne dépend plus du rang n qu’occupe le nombre N, il s’ensuit qu’elle s’appliquera aux logarithmes de tous les nombres possibles.

De là on déduit le principe suivant :

Les logarithmes des nombres écrits dans un système quelconque sont égaux aux logarithmes des mêmes nombres écrits dans un autre système multipliés par une quantité constante. Cette quantité constante est égale au rapport inverse des raisons des deux progressions par différence qui donnent naissance à ces deux systèmes.'

Ce résultat peut être encore présenté sous une autre forme , et c’est celle qui est le plus fréquemment employée, parce qu’au lieu des deux raisons f. t! et /a, qui caractérisent les deux systèmes , on y fait entrer la valeur de la base telle que nous l’avons définie précédemment.

Reprenons l’équation ci-dessus

lo y W

Cette équation prouve que le rapport entre les

logarithmes d’un même nombre écrits dans deux systèmes différents est constant pour tous les nombres. Il suffira donc, pour le connaître, de savoir pour un seul cas seulement à quoi est égal

•og/W . * : i°g,,(N)'

Or, appelons b' la base du système fourni par fx ; d’après la définition que nous avons donnée de b', on devra avoir

Si donc on applique à b' la proposition précédente, on trouvera

remplaçant donc, dans l’équation générale, — par

cette valeur, elle devient

et de là on conclut

l 0 V (N) = lo *t (N) -

En conséquence, si l’on veut obtenir tous les

logarithmes du système dont la base est b' à l’aide des logarithmes du premier système, il suffira de diviser ceux-ci par le logarithme de la base b' pris dans ce même premier système.

Ce théorème fait voir qu’il suffit de calculer un seul système de logarithmes; à l’aile de celuilà, on obtiendra tous les autres en divfsant les valeurs des logarithmes qu’il contient par un même nombre. On pourra même, si on le préfère, substituer la multiplication à la division. Il suffira, pour cela, de calculer une fois pour toutes avec telle approximation qu’on le désirera la valeur

de |, ' ( g l Çb') ’ e * mu lhplier successivement tous

, les logarithmes par cette valeur.

SECTION II e .

Propriétés des logarithmes par rapport aux opérations de l'arithmétique.

ÏJS Soient deux nombres N et N', qui occupent rftbmm de respectivement les rangs n et n[ de la progression bres'est'égaie P ar quotient ; si fx est la raison de la progression rUhmfdu par différence, on- aura

produit ou du quotient

do ces deux log (N) = lift et log (N’) ” n'f* ;

nombres.

d’où, en ajoutant et en soustrayant membre à membre, on déduira les deux équations

log (N) -4- log(N') = (h -+-«')/“> log (N) — log (N' ) = (« — *>'•

Mais, en vertu des théorèmes déjà démontrés dans le chapitre premier, les rangs respectifs de N

N . N' et de sont n -4- n' et n — n' ; on aura N

donc

log (N. N') = («-+- n')f*,

,0 g (^,) ={n — n')fi.

Comparant donc ces deux équations aüx deux

précédentes, on en déduit celles-ci ,

log N H- log N' = log(rCN'),

• log N — log If = log

ce qui prouve que la somme des logarithmes de deux nombres est égale au logarithme du produit de ces nombres, et que la différence des logarithmes des deux nombres est égale au logarithme du quotient de ces deux nombres : il est bien entendu que le logarithme soustrait appartient an nombre qui sert de diviseur.

Le logarithme d’une puissanc e ou d’une racine quelconque d’un nombre est égal au produitouau quotient du logarithme decenombre par le degré de cette puissance eu de cette racine.

Soit le nombre N occupant le rang n dans la progression par quotient; si l’on désigne par fx. la raison de la progression par différence, on aura

lo^N) = npt.

Si l’on élève N à la puissance 9, on aura pour résultat un terme de la progression dont le rang sera n9", par conséquent on pourra écrire

log (N 6 ) = Onp,

Et si l’on compare cette équation avec la précédente, on aura le résultat suivant :

log(N 6 ) = 6 log(N);

ce qui prouve que le logarithme d’une puissance quelconque d’un nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par le degré de la puissance.

Si l’on extrait de N la racine 9 , on aura pour résultat un terme, de la progression par quotient

dont le rang sera ~ ; par conséquent on pourra écrire

l°g (t/N ) = j fi. .

Et si l’on compare cette équation avec la pre-

mière , on en déduit le résultat suivant , log(v^N) =

ce qui prouve que le logarithme d’une racine quelconque d’un nombre est égal au quotient du logarithme de ce nombre par le degré de la racine extraite.

SECTION III e .

Propriétés des nombres et de leurs logarithmes résultant de l’adoption d’une limite d’approximation constante dans l’évaluation des nombres. ■*

Soient N et N' deux termes de la progression Dans la propar quotient dont les rangs sont n et n' : ces Quotient FeT termes peuvent etre quelconques; mais, comme consécutives je veux qu’ils soient toujours équidistants, je équiduTnis dois supposer que la différeqee n — n' des indices cesse*" en de leur rang est une quantité constante ; je la au e mentant suppose égale à a.

On aura

par conséquent, la différence entre ces deux ter-

mes sera donnée par l’équation

qui devient, en réduisant, ou encore

Cette différence est donc égale au produit de

, deux facteurs; mais l’un d’eux — 1 J

est constant, et l’autre N' augmente sans cesse à mesure qu’on avance dans la progression.

11 suit donc de là que les différences des termes équidistants sont d’autant plus grandes , que les valeurs des termes employés le sont elles-mêmes davantage.

Valeur de la Dans le cas où n — ri devient égal à l’unité,

différence D

entre les termes sur lesquels on opère sont deux ter-

deux termes 1 1

consécutifs , c 1 . .• /

quelconques mes consecutus; alors le facteur ( i

de la

P^quotUm. se réduit à et l’on trouve que la valeur de la différence entre le terme N et celui qui le suit

immédiatement doit être égale à N ^,ou, en mettant pour d sa valeur, ^

Dans le chapitre deuxième nous avons prouvé qu’en faisant usage, pour la progression par quotient, de la raison i ■+• les différences entre deux termes consécutifs de cette progression seraient toujours moindres que

Le théorème précédent nous montre non-seülement qu’il en est ainsi, mais il exprime encore

de combien cette différence est moindre que On voit qu’en général , pour en connaître la valeur, il faudra multiplier ^ par le rapport du

nombre N, qui est celui sur lequel on opère , au nombre P qui représente le plus grand de tous ceux dont on a voulu obtenir les logarithmes.

Pour le cas de N = i cette différence est égale à ^ ou à ^ : et en effet , les deux nombres con-

sécutifs étant alors i et

leur différence

se réduit à Pour le cas N = P, cette différence

devient ^ ; c’est alors qu’elle atteint sapins grande

valeur. Enfin, pour toutes les valeurs de N inférieures à l’unité, non-seulement cette différence

est moindre que mais elle prend des valeurs

qui sont même plus petites que

Nous venons de voir que la différence entre le

Combien de ' . 1

rang» faut-ii terme N et le terme suivant de la progression par

compter , à N *

terme que" quotient est égale à — ^ , et que les différences

conque N', “

pour arrivCT consécutives antérieures sont moindres qu’elle ; il

à un second *

terme N, , tel su it de là qu’il en faudra un nombre supérieur

que la dîne- * r

n a — pour que leur somme soit égalé a

D’un autre côté , la différence entre le terme

N' et le suivant sera égale à — et comme les

différences consécutives qui suivront celle-là, en allant vers N , seront plus grandes qu’elle , il s’ensuit qu’il en faudra certainement moins

de — pour que leur somme soit égale à — .

Il résulte de là que la valeur du nombre de rangs demandé est comprise entre les deux li- P P

mites et — , , ou, en mettant pour N' sa va-

leur N — — , entre les deux quantités et .

Lorsque N=P, c’est-à-dire à la fin de la pro-

ronce N— N soit

égale à

pression, ces deux limites deviennent égales à i et à

, c’est-à-dire que le nombre des rangs

compris entre N et N' est dans ce cas égal à i , et c’est ce que nous savions d’avance. >

Lorsque N = i c’est-à-dire au commen-

cement de la progression , ces dçux limites devien-

nent P et . Généralement ces deux limites

sont inégales, et leur différence est