PP P
Tant que cette différence sera supérieure à l’unité, il ne sera pas permis de prendre, pour le nombre cherché , l’une ou l’autre de ces limites ; mais dès l’instant que cette différence sera égale à l’unité, on pourra indistinctement prendre l’une ou l’autre pour le nombre cherché ; car le nombre exprimant des rangs ne peut être une fraction:, or, en négligeant la partie fractionnaire, et en ayant égard au sens de chaque limite, on retombe dans les deux cas sur le même nombre entier.
Et comme cette différence diminue sans cesse avec N , il s’ensuit qu’à partir de la valeur de N ,
qui la rend égale à i , on pourra dire que - exprime le nombre de termes qu’il faut remonter avant N , pour en trouver un tel que , soustrait de N , on obtienne ~ pour reste (*). Pour savoir à partir de quelle valeur de N cette
(*) Il peut paraître étrange, au premier abord, que le nombre de termes qui, dans la progression par quotient, est compris entre deux autres dont la valeur absolue diffère
. i . , . , P de -, soit égal à - ,
et ne dépende point en apparence de
la quantité R. Pour faire disparaître ce qu’il peut y avoir de douteux à ce sujet, il ne faut pas perdre de vue que le théorème, dont je viens de rappeler l’énoncé, n’est vrai
que pour la progression dont la raison est i -+- , et ne
pourrait plus s’appliquer à toute autre. Or, à l’aide de cette remarque , on voit tout de suite que par le fait le nombre en question dépend essentiellement de K , sinon quant à sa valeur absolue, du moins quant à l’usage qu’on en fait. Cette valeur n’est applicable que tout autant qu’elle sera employée à compter des termes dans une progression plutôt que dans unè autre , dans une progression où la valeur de chacun de ces termes, relativement à son rang, est une conséquence immédiate et inévitable de la quantité R.
Que si , au lieu de faire usage de la progression par quotient, dont la raison est i -t- , on en prenait toute autre
riv
avant i -+- pour raison , on remarquera d’abord qu’il ne se-
propriété a lieu, il faut prendre N tel que la condition
KN[N--
soit satisfaite.
rait plus vrai de dire que la différence entre deux termes consécutifs est ; cette différence , dans ce cas , est égale à N
En second lieu , on remarquera que N ^ étant la différence
entre un terme quelconque N et le suivant, et toutes les autres différences consécutives étant plus grandes qu’elle , si x est le
nombre qu’il en faut compter pour arriver de N à N.-+- ~ , on
aura
x'N 3 ^ et x/n -4- ^ d’où il résulte que x
est
compris entre et
■ ; et alors il devient appa-
rent que ces limites dépendent de R. On trouve pour leur
différence
; et de là on conclut qu’à partir du
nombre ^ \/è , pour lequel cette différence est égale
à l’unité , on peut admettre que — représente le nombre de rangs qu’il faut compter depuis le nombre N , dans la progression dont la raison est «4- 4, pour arri-
Or la quantité N étant plus grande que
( N “ È.) ( N — ou ( N — S.) * ^ su ffi ra 5 pour rem-
plir la condition ci-dessus , de satisfaire à l’égalité suivante :
extrayant la racine carrée , il vient
v/ï=N-i,d-où "=;+%/!.
Ainsi, pour tous les nombres N supérieurs à ^ -t- 4/^ , il faudra remonter un nombre de
ver à un second terme dont la valeur absolue dépasse celle
de N de la quantité .
A l’aide de ces détails, on concevra maintenant que le nombre de termes cherché , lorsqu’il s’agit d’une progression quelconque, n’est nullement indépendant de K , et que si, dans l’espèce dont nous nous occupons, l’expression de ce nombre ne contient pas K , il est toujours soumis à la valeur de cette quantité par l’assujétissement où l’on est de ne faire usage de ce nombre que pour compter des termes d’une progression dont la raison dépend essentiellement de K.
vangs égal à ? pour arriver dans la progression
par quotient à un second terme tel , que celui-ci ,
soustrait de N , donne pour différence ~ :
Pour donner une idée de la marche que suivent les valeurs de ces deux limites depuis le commencement de la progression jusqu’au nom-
brc V* , je vais en faire l’application à un exemple particulier. Je supposerai que la valeur de P est égale à iooooo, et que la valeur de 1
est yoïïô : avec ces données on formera le tableau Suivant :
Des calculs contenus dans ce tableau , il res* soft que c’est pour le nombre 7 que la différence entre les deux limites devient égale à 1 : or c’est en effet ce qu’on trouve en appliquant la règle ci-dessus, puisque cette circonstance doit se manifester pour le nombre y/j^ qui, dans le cas actuel , est égal à \/ 5 c > , ce qui répond à très peu près au nombre 7.
D’ailleurs , le calcul numérique du tableau cidessus doit toujours conduire à un nombre un
' peu moindre qiie y/? ; car cette dernière est une
limite algébrique, et l’on, sait que, dans la détermination de ce genre de limites., on sacrifie toujours un peu d’exactitude à la forme.
a quelle Dans tout ce qui précède nous avons toujours pioiimation satisfait à la condition d’évaluer les nombres fuaûon des avec une approximation limitée par la frac-
logarithmes f 1 - ,
l'oipproxima 6° n jr j les deux propositions qui précèdent tion-iadop- prouvent que la progression par quotient que
Taxation des nous avons adoptée satisfait surabondamment nombres? ^ cette condition, puisque, passé le nombre
^ -h y/^, il faut compter ? rangs entre deux
termes pour que la différence entre ces deux termes soit égale à - ; \
11 suit de là que les - termes correspondants
à ces ÿ rangs dans la progression par quotient ,
sont complètement inutiles, eu égard au degré d’approximation adopté , et que l’un quelconque d’entre eux peut, dans ce degré d’approximation, les représenter tous indistinctement; il suit encore de là que les divers logarithmes de ces mêmes nombres peuvent aussi être indistinctement pris les uns pour les autres , pourvu qu’on ne
sorte pas des limites de ces - rangs.
Or ceci nous donne un moyen simple de connaître , dans l’évaluation des logarithmes , le degré d’approximation qi^ doit correspondre à celui que nous avons 4bpté pour les nombres.
Nous venons de voir que si l’on prend un nombre quelconque N , il faudra compter avant
lui^ rangs pour arriver à un terme N' tel, qu’on ait
le terme N' est donc le dernier de ceux immédia-
tement inférieurs à N qui peuvent être, considérés comme égaux à N avec l’approximation
Or si N' peut être qonsidéré comme égal à N , il faudra bien aussi, pour être conséquent, que l’on puisse considérer logN' comme égal à logN: donc étant arrivé au nombre N, la limite de ce qu’on pourra négliger dans l’évaluation du logarithme de N sera égale à logN — logN'.
Cela posé, si n est. le rang du terme N , on aura
i«i / logN=»p;'
mais, d’après ce qui précède, la différence entre le rang de N' et celui de N est égale à ^ : d’où il
suit que le rang de N' est égal à n — - ; on aura donc -, * ' i '
logN' = ( « — n7 ’
et l’on en déduira
logN - logN' =
ce qui apprend que, eu égard à l’approximation ^ dans l’évaluation des nombres , on pourra ,
dans celie du logarithme de N, négliger la quan-
«il *■•(*>
A la limite des tables où N=P, la quantité négligeable est égale à /x : c’est le cas où elle est la plus petite possible. Or, si (x est une fraction décimale moindre que l’unité et précédée avant sa partie significative de 11 zéros, on voit qu’il sera inutile, vers la fin des tables, de calculer les lo-
(*) Les observations de la note précédente ( voir page 62 ) conservent toute leur force, pour écarter une objection analogue à celle qui est combattue dans cette note, et dont l’objet est identique.
Il s’agit d’expliquer comment la limite d’approximation dans l’évaluation des logarithmes correspondant à celle ~
adoptée pour les nombres est représentée par — ft , ce qui ,. .
du moins pour la forme, la rend indépendante de K.
Pour se rendre compte de ce fait, il suffit de remarquer
que n’est la quantité négligeable dans l’évaluation des
logarithmes que lorsqu’on est arrivé au logarithme de N, c’est-à-dire lorsque la valeur absolue des logarithmes a atteint la quantité nu. Or n dépend essentiellement de K-, et changerait de valeur avec lui : ce n’est donc pas, si l’on veut, la limite d’approximation qui, en elle-même, dépend de K, mais c’est encore, comme précédemment, l’usage de cette limite qui est subordonné à la valeur de K, puisque cet usage ne peut s’opérer qu’à partir d’une certaine quantité dont la valeur se détermine par celle de K .
garithmes avec plus de n chiffres décimaux, le dans notre limite d’approximation, pouvant être fautif de toute la valeur du premier chiffre significatif de fx.
On voit aussi que, pour le nombre to ooo, et dans la supposition que P = i oo ooo , la partie négligeable dans les logarithmes étant io /te', il est inutile de chercher les logarithmes de i o ooo et audessous avec plus de n — i chiffres décimaux.
Pour le nombre 1000 et au-dessous, il suffira de n — a chiffres décimaux, pour iooet au-dessous de n — 3 , et pour xo de n— 4 .
Il résulte de ces considérations, que lorsque l’approximation dans les nombres doit être constante, celle qui lui correspond pour les logarithmes est variable, et que, dans ce cas, le. nombre de décimales admis dans l’évaluation des logarithmes doit augmenter avec la grandeur des nombres auxquels ces logarithmes appartiennent. C’est ordinairement le contraire qui arrive dans les tables : on y suppose constante l’approximation dans les logarithmes , et on les insère tous dans les tables avec le même nombre dé chiffres décimaux. Dans ce cas, c’est l’approximation dans les nombres qui est variable. , Je traiterai tout-à-l’heure cette question envisagée sous ce point de vue , avec tous les détails con- venables. Je continue maintenant ce qui est re-
latif au cas où l’approximation dans Fappréciation des nombres reste constante.
Soient N — i et N deux nombres consécutifs quelconques de la suite naturelle , et proposonsnous de déterminer combien il y a de termes compris entre ces deux-là dans la progression par quotient. Pour cela, j’observe que la différence entre N — i et le terme qui le suit immédiatement
dans la progression est égale à — — ■ ^ ; et comme
toutes les autres différences pareilles comprises entre N — i et N seront plus grandes que celle-ci , il s’ensuit que si x est leur nombre, on aura nécessairement
D’un autre côté , la différence entre le nombre IN et le terme qui le suit immédiatement dans la
progression par quotient est. égale à p Or,
toutes les différences pareilles comprises entre N — i et N sont nécessairement plus petites que celles-ci ; il suit donc de là que si n est leur nombre , on devra avoir
et de là on déduit que le nombre de termes
Recherche du nombre de termes compris dans la procession parquotient entre deux nombres consécutifs quelconques de la suite naturelle.
compris depuis N — i inclusivement , jusqués et y compris celui qui précède immédiatement le
nombre N , est contenu entre les limites - K et
De la loi que suivent les différences des logarithmes de deux nombres consécutifs quelconques de la suite naturelle.
Le théorème que nous venons de démontrer prouve que le nombre de termes compris entre
N — i et N a pour limites - K et ^ t K : il suit
de là que si n est le rang du terme N , celui du
terme N — i sera compris entre n — w K et P
K; d’où d’on déduira
log (N— J )
et, par suite,
log(N) — )°g(N— i)
Tant que la différence entre ces deux limites n’aura pas atteint le degré de petitesse dont nous avons assigné la valeur pour l’évaluation approximative des logarithmes, la différence des
deux logarithmes en question sera distincte de chacune de ces deux limites, et l’on ne pourra pas prendre l’une ou l’autre d’elles pour sa valeur. Ôr, pour déterminer si cette circonstance peut avoir lieu, c’est-à-dire s’il y a des valeurs de N pour lesquelles, dans les degrés d’approximation convenus, la quantité log (N) — log(N — i) peut être réputée égale indistinctement ou à,
— - — K/U, ou à - Ktt, formons d’abord cette diffé-
rence : on trouve qu’elle est égale à ^
Mais nous avons montré que pour le nombre N la quantité négligeable dans l’évaluation des
logarithmes était égale à - yu : il suit de là que la
différence ci-dessus sera négligeable à partir du moment ou sa valeur, qui diminue sans cesse
avec N , aura atteint la quantité - /u. Pour cela, il faut évidemment que a l’ unité ,
ce qui donne R = N — i .
Ainsi, à partir de cette valeur de N — i et pour toutes les autres supérieures à celle-là, la différence des logarithmes de deux nombres consécutifs de la suite naturelle aura indistinctement
'pour valeur K/c et y ^ K/x.
A punir Je quel nombre deux différences consécutives entre les logarithmes de trois nombres consécutifs de la suite naturelle peuvent-elles être considérées comme égales ? #
Soient maintenant trois nombres consécutifs quelconques de la suite naturelle que je représenterai par N — i , N et "N-+- 1 ; il résulte du théorème précédent qu’en comparant N — i et N, et en supposant nos trois nombres supérieurs à K , on aura
k>g (N) — log (N — i) = Ké* = | i
de plus, en comparant N et N ■+■ i , on aura
log (N + i ) — log (N) = ^ K,« = üff-
Or on voit, d’après ces deux équations, que les deux premiers membres pouvant être chacun
considéré comme égal à - R,«, doivent par conséquent être égaux entre eux, et que l’on doit avoir
log (N -+- i j — log (N) — log (N) — log (N — i j ;
et comme la seule condition nécessaire pour cela est que les trois nombres soient supérieurs à R, on en déduira que c’est à partir du moment où N est égal à R que la circonstance désignée ci-déssns doit se manifester.
Au surplus, pour faire bien voir la solidarité
qui existe entre Le théorèine précédent et celui-ci, nous allons traiter la question qui nous occupe par un procédé direct.
Supposons donc qu’il s’agit de déterminer à partir de quel nombre commencera l’équation
suivante :
log (N -H i ) — log (N) = log (N) — - log (N — i ) ;
en vertu de principes déjà démontrés, cette condition devient, après avoir tout fait passer dans le second membre ,
log
= log
1 + nîit-J - °-
Il ne s’agit donc plus maintenant que de savoir à partir de quel terme le logarithme de i
pourra être considéré comme nul , ou du moins comme plus petit que la quantité qu’il est permis de négliger dans l’évaluation des logarithmes lorsqu’on arrive aux trois nombres N — i , N et Nh- i ; or la moindre quantité qu’on puisse alors négli-
ger étant écrivons qu on a
lo g (
PI’— i
Si présentement on désigne par x le degré de la puissance à laquelle il faut élever ^i+ ^ J
pour obtenir (i ( j, on pourra écrire
et il suit de là que x/x serait le logarithme de i -+- j | ; mais parce que ce logarithme doit être
moindre que — «, il faudra bien qu’on ait
" JC I
Or la quantité, i -f- ^—y - étant plus petite que le
second membre de cette inégalité, il suffira pour qu’elle soit satisfaite de poser
Mettant dans cette équation pour d sa valeur PK. , supprimant ensuite le facteur P dans les deux termes de la fraction où il se trouve, il vient.
de laquelle on tire , comme précédemment , N — i=K.
Cette coïncidence entre les résultats obtenus par deux procédés d’investigation si différents l’un de l’autre, en même temps qu’elle satisfait l’esprit, est de nature à montrer que les principes sur lesquels nous nous ‘sommes appuyés dans le cours de ce Mémoire n’ont point été faussés dans les applications que nous en avons faites jusqu’à présent. Je m’abstiendrais d’upe semblable remarque sur un sujet d’analyse ordinaire où les conséquences se . déduisent assez facilement les unes des autres, lorsqu’on opère sur la véritable valeur des quantités mises en usage. Mais il n’en est pas de même , à beaucoup près, lorsque, ne pouvant raisonner sur cette véritable valeur, on est sans cesse obligé de se tenir à côté d’elle et de la remplacer par une approximation dont le degré pris en considération dans les procédés employés, doit constamment apporter un correctif à la rigueur du raisonnement. Il est certain que dans ce cas on est exposé à tomber plus facilement dans le fâux , et c’est peut-être à cette appréhension de commettre des erreurs dans ce genre de supputations qu’il faut attribuer les retards que l’étude élémentaire de la théorie des logarithmes a éprouvés jusqu’à
ce jour. Au reste, en présentant ces observations, je puis les appuyer de la sanction de l’expérience: il est tel théorème de ce Mémoire au sujet duquel, je l’avoue, je suis tqmbé dès le début dans plusieurs méprises; il en est d’autres dont la démonstration a exigé plus de quatre mois d’études, et enfin les divers aperçus comparatifs entre l’approximation adoptée pour les nombres et l’approximation correspondante dans les logarithmes, ne se sont nettement dessinés qu’à la suite de deux années de travail. 1
Peut-être après la lecture de ce Mémoire , aura-t-on quelque peine à admettre sans restriction ce que j’avance ici; il semblera que l’ordre des matières est naturel , que les détails sont simples, que leur exposition est à peu près ce qu’elle devait être , de sorte que ce travail paraîtra avoir exigé peu de temps et être le résultat d’une application ordinaire ; et cependant il n’y a pas moins de quatre ans aujourd’hui que les premières bases en ont été jetées, que le plan d’ensemble en a été formé. Au reste , si telle devait être la nature des observations que sa lecture fera naître, je ne saurais m’en plaindre, car la simplicité dans les moyens, la convenance dans l’exposition, sont le premier mérite d’un ouvrage didactique. . ' •
Soit le nombre N -+- 1 compris entre les deux
nombres en tiers N et N + i , dans lequel ~ est une
fraction proprement dite , réductible ou irréductible, et procédons à la recherche du logarithme de ce nombre.
Si le nombre des termes compris dans la pro-
gression par quotient entre N etN -J- ^étaitconnu, et si on le désignait par 6 , il est évident que l’on
Démonstration de la loi de proportionnalité»
l’aide de laquelle on détermine les logarithmes de tous les nombres fractionnaires avec le secours des logarithmes des nombres entiers.
aurait
log -+- Çj = log N -H 6/i .
Cherchons donc à déterminer G. Or nous savons déjà que la différence entre le terme N et celui
qui le suit immédiatement est égale à et comme toutes les autres différences consécutives entre N et N -+- ^ sont plus grandes que la première, il s’ensuit que si 9 est leur nombre, on devra avoir
PK <4 . • •
D’un autre côté la différence entre le terme N -+- 1 et celui qui le suit immédiatement dans la pro-
gression par quotient, est égalé a — ^; et
comme toutes les différences consécutives qui la
précèdent en treN et N-+- “ doivent être moindres
qu’elle , il s’ensuit qu’on devra avoir
On déduit de ces deux inégalités que le nombre B de termes compris entre N et N -4- est plus grand
que i * et p ius P etit q ue J | K ? et si r on
prend pour ce nombre une de ces limites, l’erreur qu’on commettra sera moindre que leur difa PK
férence
b N(K+i; On aura donc
, 0 s( N + s) =logN+ j!
JN + i
ÏS 1 ^'
. i a Pts./*
avec une erreur moindre que ^ N
Or, commenous avons déjà prouvé quela valeur
V , • PK
de log(N-+-i)— logN est comprise entre
et— u, à plus forte raison l’erreur sera-t-elle N 1 '
moindre que la quantité ci-dessus énoncée, si l’on
adopte pour le logarithme de N ^ la valeur suivante ,
Iog ^ = log N -+- ^ j^log (N 4- i) — log nJ.
11 ne reste plus qu’à savoir à partir de quel nombre l’erreur commise en adoptant cette valeur sera de la classe de celles qui répondent à notre degré d’approximation. Or, comme la quantité négligeable dans l’évaluation des logarithmes est
égale à /«lorsqu’on arrive au nombreN-t-i,
il s’ensuit qu’il faudra qu’on ait
a PK ^ P b N(N + i) f< ^ N-hl 1 ’*’
ou bien que j ^ soit moindre que i . Or, la plus
grande valeur de ^ étant l’unité, on voit que la
formule ci-dessus pourra être adoptée comme exacte, eu égard à notre degré d’approximation à partir de la valeur N = K ; ce qui établit une relation remarquable entre ce théorème et le précédent.
On a pu remarquer que, dans la série des derniers théorèmes que nous venons de démontrer, le nombre N = K se présente sans cesse comme
Remarque sur le rôle que joue lo nombre K dans cette théorie.
la limite à partir de laquelle on peut appliquer les règles dont on fait ordinairement usage dans les calculs logarithmiques, sans s’écarter du degré d’approximation convenu pour l’évaluation des nombres.
Il s’ensuit que, quand on suppose, comme nous l’avons fait ici, que c’est l’approximation par les nombres qui reste constante , la valeur de ce nombre est un régulateur à l’aide duquel on sera tout de suite fixé sur la légitimité de l’application des théorèmes ci-dessus à tel ou tel nombre; et, par exemple, si les tables, au lieu d’être écrites, comme on le fait d’ordinaire, dans l’hypothèse d’une approximation constante pour les logarithmes, étaient formées dans le système d’une approximation constante pour les nombres , on reconnaîtrait, par une simple inspection, à partir de quel nombre N les différences consécutives des logarithmes consécutifs de la suite naturelle deviennent égales, et l’on en conclurait
immédiatement que - représente, pour ces tables, la limite d’approximation constante adoptée pour l’évaluation des nombres.
Mais les tables ne sont point formées dans l’hypothèse dont il est ici question , et par conséquent je ne m’arrêterai pas plus long-temps sur
les considérations de ce genre; par le même motif, j’omettrai de développer quelques aperçus qui se rapportent à la loi de proportionnalité, et qui, quoique curieux en théorie, peuvent être passés sous silence, puisqu’ils sont sans utilité pratique : d’ailleurs, ces aperçus trouveront leurs analogues dans la section suivante, où je les ai traités avec tous les détails convenables, et cela suffira pour donner idée de ceux que j’aurais pu présenter ici.
