SECTION IV

Propriétés des nombres et de leurs logarithmes résultant de l’adoption d’une limite d' approximation constante dans l'évaluation des logarithmes.

L’exposé qu’on vient de lire rend un compte Préambule, complet des circonstances principales de la détermination des logarithmes, lorsque la valeur de ceux-ci doit correspondre à une limite fixe et invariable dans l’ approximation des nombres; j’ai déjà eu occasion de faire remarquer qu’à cette approximation constante pour les nombres correspond une limite d’approximation variable dans celle des logarithmes, et j’en ai donné la valeur.

Celte manière d’envisager Ja question n’est pas celle qu’on a mise en usage dans la pratique. Les tables de logarithmes contiennent ceux-ci avec un nombre constant de décimales , de sorte qu’ils sont tous calculés et inscrits avec une limite fixe d’approximation ; cette limite est égale à une demiunité de l’ordre décimal qui suivrait immédiatement celui auquel on s’arrête.

Par exemple, dans les tables de Callet, tous les logarithmes étant écrits avec sept décimales, la limite de l’approximation avec laquelle les logarithmes sont calculés est égale pour tous à la quantité

0,000 ooo o 5 .

En général, cette limite étant représentée par J', étudions toutes les conséquences qui en dérivent, soit pour la composition des tables , soit pour l’approximation variable qui lui correspond dans l’évaluation des nombres.

Je ne reviendrai pas ici sur la démonstration de certains principes qui, dans ce cas comme dans l’autre, sont indispensables pour traiter cette question. Je me bornerai à les rappeler.

i°. Dans la progression par quotient, les différences consécutives de termes équidistants vont sans cesse en augmentant ;

a 0 . La valeur de la différence entre le terme N et celui qui le suit immédiatement est égale

arN d’

3°. Toutes les différences des termes consécutifs compris entre N et N' sont plus grandes que

N ^ et moindres que N'

4°. D’où il suit que leur nombre ou le nombre

de termes qui existent dans la progression par

quotient entre N et N', est plus grand que N> d

et moindre que — - — a.

Cela posé, pour connaître la valeur de l’approxi- ®“^ c „ r °j e e mation dans les nombres qui correspond à la limite d’approximation J' adoptée pour les loga-

n l pondant il

rithmes, il faut évidemment, su on appelle -cette i’ ap pr<*> ma -

* tion cons-

valeur quand on est arrivé au nombre N , il faut, pJ'J^oca-

>. • » rithmes.

dis-je , qu on ait

log

log N < J'.

Or, en vertu du dernier des quatre principes que je viens de rappeler, le nombre de termes

compris entre N et N + ^ est plus grand que

- * ^ d et moindre que d.

La valeur de log ^ — logN , est d’après

cela plus petite que si donc on veut que

cette quantité soit aussi moindre que , il n’y a qu’à égaler ensemble-^, a et J'; on en tirera pour

-la valeur suivante - =^-. Au commencement

a cl a [a

des tables N étant égal à i, la valeur de ^ devient

ce qui apprend qu’alors une différence égale

à eT , dans la valeur des logarithmes , répond à une

différence égale à — dans celle des nombres. A

la fin des tables N étant égal à P, la valeur de

^ devient ce qui apprend qu’alors la même

différence cf dans la valeur des logarithmes répoml à une différence dans les nombres qui est P fois plus grande qu’auparavant ; en général l’approximation est proportionnelle au nombre même dont on s’occupe et le coefficient constant de cette

proportion est égal a .

Or si l’on appelle ^ la valeur de ^ à la fin des tables, il viendra

- *' dft

Mais dans le chapitre II de ce traité nous avons prouvé que pour que le nombre P pût être calculé à l’aide de la progression par quotient, dont

la raison est 1 -+- ^ avec une approximation égale à ^7 , il fallait*que ^ fut égal à ^.Mettant cette va-

leur dans l’équation précédente , on aura - = i ,

ce qui apprend que la raison de la progression par différence est précisément égale à la quantité qu’on néglige dans l’appréciation des logarithmes, ou pour mieux dire, puisqu’il ne s’agit ici que de limites et non de quantités absolues, cette relation apprend que la raison de la progression par différence ne peut pas être plus grande que J .

. D’après cela , remplaçant dans la fraction - par i , nous dirons que pour le nombre N la valeur de l’approximation est tout au

moins égale à ce qui est complètement d’accord

avec le second principe ci-dessus énoncé , qui apprend que la différence entre le terme N et celui qui le suit immédiatement dans la progression

par quotient, est égale à -.

Cooséquen- De cette discussion il ressort que si repré-

ces relatives *

des raisons sente T approximation sur laquelle on veut comppro C res- ter dans les nombres quand on arrive au nomsions. jj re j a ra i son de i a progression par quotient

pourra être i -+- et pour tout autre nombre N,

cette approximation sera égale à N —

Et si u est la raison de la progression par différence, cette quantité fj. représentera l’approximation constante qui dans les logarithmes correspond aux approximations variables ci-dessus déterminées pour les nombres.

a partir de Je vais maintenant traiter, pour le cas qui nous occupe , les questions dont j’ai donné la solution

rences consé- i i *.* > n •.*! *

cutives entre clans la supposition ou 1 approximation des nommes'deTroîs bres est constante.

nombrescon-

séciuifs de la Cherchons d abord combien il y a de termes

suite natn- , . . . •

reiio peu- de la progression compris entre deux nombres

vent-elies

êtreconsidé- consécutifs quelconques de la suite naturelle.

récs comme

égales? Soient N et N ■+• i ces deux nombres; en vertu du quatrième principe ci-dessus rappelé, le nom-

bre cherché sera plus grand que et moindre

q ue |;

Et l’on en conclura que l’on doit avoir

log(N+.)-logN

Tant que la différence entre ces limites sera plus grande que cf ou /jl, il ne sera pas permis de prendre l’une ou l’autre pourvaleur de log(N-b i) — Iog N ; mais dès l’instant que cette différence sera égale à f/., on pourra indistinctement les prendre pour cette valeur. Si donc on veut savoir à partir de quel nombre cette circonstance se manifeste, il faut écrire que fx. est plus grand que la différence entre ces deux limites; ce qui donne

NfN+i)^, 0 " N(N i + i ) ^ ’

condition qui est satisfaite en prenant pour valeur de N la quantité \/d.

Dans les tables de Callet P =100000; de plus on trouve que le logarithme de P est égal

à 5 ,ooo 000 o , et que celui de P -+-

1 15 îoono

est égal

à 5,00000004991; ces deux logarithmes diffèrent donc à très peu près de la quantité qu’ôn a prise pour limite d’approximation , d’où il suit

que dans ces tables on a à très peu près — , = ‘

et qu’en conséquence la quantité d est égale à

1 OOO OOO OOO • > | • « q /y t*

j-yg , qui se réduit a o 090 boa.

Ainsi, c’est à partir du nombre \/ 86g565a = 2g4g

que l’on peut prendre l’une ou l’autre des limites ci-dessus déterminées pour valeur de

log (N+i) — log N. - •

Or, si l’on a

lo g (N-f-i) — IogN = ^

à plus forte raison aura-t-on aussi

log ( N -t- 2 ) — log (N 4 - 1 ) = A* =

et puisque chacune de ces diiférences est égale à. /u, il s’ensuit qu’elles seront égales entre

elles, et qu’on aura

log(N-f-i) — log N = log(N+a) — log(N;+i).

C’est donc encore à partir du nombre 2949 que deux différences consécutives entre les logarithmes de trois nombres consécutifs de la suite naturelle peuvent être considérées comme égales*

Si au lieu de considérer deux nombres N et N+i différant entre eux d’une unité, on considère les deux nombres N et N + y différant

d’une quantité fractionnaire, on se convaincra aisément que, dans ce cas, l’on doit avoir

l°g ( N -f- t ) — log N

Démonstration de la loi de propor- .

tionnalité h l'aide de laquelle on détermina les logarithmes do tous les nombres fractionnaires arec le seul secours des logarithmes des nombres entiers.

d’où l’on conclura

log ( N

ï) = 'og*

avec une erreur moindre que

dft

Or, comme nous avons déjà prouvé que.

log (N + 1) log N est compris entre et

à plus forte raison l’erreur sera-t-elle moindre que la quantité ci-dessus, si. l’on adopte pour logarithme de N -+- ^ la valeur suivante ,

log^N + |^ =logN + ^ [log(N-f-i) — logN];

l’erreur commise sera donc inférieure à

a du

èN(N+i) r

Extension de la loi de pro* portionnalité aux

nombres inférieurs & \/d.

et, par conséquent, à partir du nombre 2949, elle sera moindre que la quantité négligeable dans l’évaluation des logarithmes.

Cela prouve donc qu’à partir de ce nombre, on peut, dans les tables de Callet, admettre en toute confiance la loi de proportionnalité pour l’évaluation des logarithmes fractionnaires.

Maintenant il est facile de concevoir que si avant le nombre \/d il n’est pas permis d’appliquer la loi de proportionnalité dans l’intervalle compris entre deux nombres différant entre eux d’une unité comme N et N -+- 1 , il sera cependant possible d’en faire encore l’application aux nom-

bres N et N + ^, pourvu que la différence

fit

qui sépare ces deux nombres soit moindre que l’unité, et prenne une valeur conforme à celle du nombre N lui-même. Or pour détermi-

ner cette valeur de ^ , rappelons-nous qu’en vertu

du quatrième principe, le nombre de termes de la progression par quotient compris entre N et

N -+- - est plus grand que , et plus petit