CINQUIÈME PROBLÈME
Denûc réservoirs A et B (fig. 8, pi. XVIII), à niveaux constants^ sont réunis par une conduite qjlindriqae et rectiligne^ composée de deux parties de diamètres différents do e< di se rianis»anJt au point 0, où Von
veut obtenir une pression représentée par la colonne piésométriqae h • On demande de calculer : V les longueurs X© et X< des deux portions de €^tte conduite pour que les volumes d'eau fournis par seconde par les
deux réservoirs soient entre eux dans le rapport^ ; 2° la cote du
sommet de la colonne piésorrhétrique au point par rapport au plan de comparaison XX'. — On verra ce que la solution générale devient en y
faisant-^zizl et da=d< . — Pour simplifier^ on négligera la perte de
charge due à l'effet de V ajutage cylindrique aux deux extrémités de la conduite; ce qui revient à supposer que ces extrémités sont parfaitement raccordées avec les parois des réservoirs.
Nous traiterons d'abord le problème d'une façon générale, puis nous étudierons les simplifications qui se présentent dans certains cas particuliers.
Les deux relations sur lesquelles on peut se baser pour résoudre ce problème sont : 1*^ l'égalité des pressions de chaque côté de la section en O; 2° l'équation du mouvement permanent uniforme dans l'un des deux tronçons Xq ou h de la conduite.
Désignons par % et u^ les vitesses moyennes dans les conduites X^ et X^, de diamètres do et di, par Qq et Q^ les débits par seconde correspondants et par Z la cote du point O.
Par rapport au réservoir A, la hauteur piésométrique h au point O est donnée par la relation :
d^oû:
2g do
Par rapport au réservoir B, cette même hauteur est donnée par la relation :
En égalant ces deux valeurs de h, on obtient :
d'où:
Zo^Z^^^^""^-^^^
tto^ ^tt4»
Remarquons qu'en pratiqueles termes —^-et 5— sont toujours très
petits comparativement aux autres et que, d'ailleurs, il sont de signes contraires et diffèrent peu l'un de l'autre ; on peut donc les négliger ou
les supposer égaux; ce qui revient au même. L'équation précédente peut donc, sans erreur sensible, s'écrire plus simplement:
Zo~Z^—:J^{aUfi+buJ)+-U.au^+bu^*)=o. (16)
Posons ^-|- Xi^L (quantité donnée) ; il en résulte X4=L— Xo > en outre, d'après l'énoncé, on doit avoir:
Qo m Tzdo* 77=— oa •— — 1*0
en posant :
(Iq n (/a* n
En remplaçant, dans l'équation (16), X^ et !*< par leurs valeurs en fonction de XÔ et de uo, on obtient :
Zo— Zi T^(awo+6i/o")+-7 (a(pUo+6© V) — T-^a^Uo+6*'wo')==^- (17)
Cette équation renferme encore les deux inconnues Xo et u^ : pour en éliminer une, il faut recourir à l'équation du mouvement permanent uniforme dans la conduite Xo. C'est l'équation (102) (*) qui se résume à celle établie en commençant pour en tirer la valeur de h ; on a donc :
4Xo , , , A **«
Remarquons que la conduite étant rectiligne et par conséquent à pente uniforme, on a :
Zo— Z::iZo-yo+(yo— z;=Zo-t/o-h (yo— y I ),-".
il en résulte :
Ào \^'^~^<^^o+buo') JzzA-Zo+yo+Y-*;
uJ si nojs négligeons le terme~-à cause de son peu d'importance et afin
de simplifier les calculs, nous tirons :
(*) Voir rintroduction de la Série D, Hydraulique appliquée.
En remplaçant Xo par cette valeur dans l'équation (17) et en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de uo» on obtient finalement:
^^ lefcyL
— H« [^(Z,-yo-W+^'^- (Zo— y.— A)]
- (Zo-Z.)(^)
Cette équation du 4« degré s'abaisse d'un degré quand Zo=Z< ou quand yo=yif c'esirà-dire lorsque le niveau de l'eau est le même dans les deux réservoirs ou si la conduite est horizontale. Nous reviendrons plus loin sur les cas particuliers de ce problème.
Résolution des équations (18) et (19). — De Téquation (19), résolue par approximations successives, on tire la valeur de i*o que Ton reporte dans l'équation (18) pour obtenir Xo.
Connaissant Uo et X^, on peut calculer toutes les autres quantités, savoir ui, X<, Qo etQ, et vérifier les calculs par la relation-^ qui doit
être satisfaite.
La cote du sommet de la colonne piésométrique en O peut se calculer puisqu'on s'est imposé, pour ce point, la valeur de h et que la cote Z de ce point a pour valeur (voir page 36) :
7., (ya—yù\ ù — yo ', •
Application numérique du cas général, — Donnons-nous : L^.OOO
m mètres, d,=0^,750, rf<=0~,500, — 2,Zo = 40°»,00,Z,=35«,00,yo=15°»,00
j/,=:12«,00, h=IO°,00.
Un remplaçant les lettres par leurs valeurs numériques et en effectuant les calculs, l'équation (19) devient:
0,032698««V0-^^704uo^—O,08191tto^—0,0037254tio— 0,003=0.
La cinquième approximation donne tto=l'"5709 et la sixième Uo= 1,57089 ; nous adoptons cette dernière valeur. Il en résulte :
X«=3636",90 ; d'où X^ =5000— 3636,90=1 363», 10 et tt<=(pt/o=l'»,76713. La vérification dos résultats obtenus ci-dessus se fait comme suit:
L'équation (102) (*) appliquée entre le réservoir B et le point O, comme nous l'avons fait entre A et 0, donne :
Z< — Vi — h
Si, pour chaque portion de la conduite, nous calculons le débit par seconde, nous obtenons :
Pour la conduite de A en 0, Qo=:=^^Xtto =: O^^-fid 395
Pour la conduite de B en O, Q^zz—xw» =: ,34698
Débit total en O, Qo+Qi. . , = 1 ,04093
T ^w Qo 0,69395 ^ . . ^.
Le rapport-=--=— — — =2, aussi approximativement qu'il convient en pratique.
Cas particuliers. — !• Supposons do^dt et — =1, ce qui donne o--=:l. L'équation (19) devient :
Cette équation se résqut comme l'équation générale (19), c'est-à-dire par approximations successives.
m 2«Soitrfo=di,-— =1, Zo=Zi et yo=y<. L'équation (19) se réduit à :
Application numérique du S' cas particulier . — Prenons : L=:4000'» d = rf<=0,50, Zo=Z<=Zr=40«, y.^y^rzlO-' et ^==10». ' "
En résolvant la dernière des équations précédentes, on trouve u = l'»,87052 ; il en résulte Xo-2000«,064, soit 2000 mètres en nombre rond
ou l^=x^=z— . Ce résultat concorde avec les données de ce cas particulier où les deux réservoirs sont placés dans les mêmes conditions. On a donc UQ=Ui et :
Qo+0«==2Qo3:-lp-uonO«'S735par seconde.
SIXIEME PROBLÈME Un réservoir A (fig. 9, pi. XVIII), dans leqiwl le niveau de Veau est maintenu comiamment à la cote de 20,^00 aa-dsssus du plan de cornparatson XX , ahniente une conduite cylindrique BCD dont le diamètre
(•) Voir l'introduction de la série D, Hydraulique appliquée.
intérieur est de 0'",250; sacliant que le développement de cette conduite est de 2200 mètres pour BC et de IQOO mètres pour CD et que les cotes des points C et D au-dessus du plan XX' sont respectivement 15", 00 et 5",00, on demande de déterminer quel doit être le débit pour que le sommet de la colonne piésométrique en C soit à h^z=zl"'fiO au-dessus de ce point. En second lieu^ on se propose de calculer le diamètre de cette conduite pour une dépense de 30 litres par seconde^ avec la condition qvey dans la section C, la pression soit égale à la pression atmosphérique. On déterminera dans les deux cas la cote du sommet de la colonne piésométrique en D, à Vextrémité de la conduite.
Remarque. — Si Ton trace simultanément, par rapport au même plan de comparaison, le profil en long d'une conduite et la ligne passant par les sommets des colonnes piésométriques aux divers points de cette conduite, on aura deux lignes correspondant au régime que Ton veut établir.
Dans ces conditions, il peut se présenter, comme en C pour la conduite considérée, un point haut où l'air dissous dans l'eau tendra à s'accumuler. Il y a alors deux cas â distinguer :
1« La ligne des sommets des colonnes piésométriques est, en tous les points, plus élevée que le profil delà conduite, par suite la pression du liquide est partout supérieure à la pression atmosphérique; si, pour une cause quelconque, l'air s'accumule en ce point haut, l'écoulement n'est pas arrêté complètement, mais le régime permanent, tel que nous l'avons supposé établi, n'existe plus, et pour qu'il se rétablisse il faut placer au point considéré un appareil purgeur permettant à l'air renlermé dans la conduite de s'échapper dans l'atmosphère. Ce cas se présente dans certaines conduites de refoulement, c'est-à-dire dans les tuyaux par lesquels les pompes des machines élévatoires refoulent l'eau dans le réservoir de distribution.
29 La ligne des sommets des colonnes piésométriques passe, en certains points, au-dessous du profil de la conduite ; il en résulte qu'en ces points la pression du liquide estinférieure à la pression atmosphérique; par suite, l'air dissous dans l'eau tend à se dégager pour se rassembler aux pointsdontils'agit;c'estce qui alieudans les siphons et dans quelques conduites de distribution mal établies et destinées à franchir 1ns points culminants du réseau de la canalisation : ce dégagement d'air arrête l'écoulement.
S'il s'agit d'un siphon, le régime ne peut être rétabli qu'à l'aide d'un moyen mécanique analogue à une pompe permettant d'enlever l'air à mesure qu'il se dégage.
S'il s'agit d'une conduite de distribution dont tous les points sont, par conséquent, en contre-bas du niveau de l'eau dans le réservoir, le régime est intermittent ; l'écoulement de l'eau se trouve diminué par suite du dégagement de l'air aux points considérés de la conduite ; de ce fait résulte une diminution dans le débit et la rupture de la colonne liquide, c'est-à-dire que près et au-delà des points culminants, le tuyau n'est plus complètement rempli par le liquide. Il faut absolument éviter d'établir une conduite de distribution dans ces conditions.
Le problème que nous avons à résoudre nous impose précisément, comme condition de fonctionnement, que la pression au point G soit égale à la pression atmosphérique ou qu'elle lui soit supérieure.
l^ Calcul du débit de la conduite, pour que le sommet de la colonne piéso^
métrique sott Z|-|-hi au point 0. — Il fout appliquer l'équation (102) (*) entre le niveau N dans le réservoir et la section en C. Dans cette équation, nous avons uçpzo, po=pa (pression atmosphérique) ; Ui=u (vitesse
4L dans la conduite): P4zzpa+5/ii; C=—,-(«M-^w^» ^^ étant la longueur de
de BC et d son diamètre ; ^a^-^r- ; enfin toutes les autres pertes de
charge sont nulles.
L'équation (102) devient donc :
d'où:
