log. (g

La résolution de cette équation se fera, comme pour l'équation (10), par approximations successives, en posant, comme première approximation :

LogYQ^-Q^-"^^) =iog. (9j=:9n!^) :^.

Dans cette expression, Q'4 se compose de la somme algébrique de trois quantités, savoir : 1* le débit par seconde de la conduite G lorsque le niveau de l'eau dans le réservoir B est dans sa position moyenne ; 2° le débit constant par seconde de la seconde source, qui se déverse directement dans le réservoir; ces deux quantités sont positives et de leur somme on doit retrancher : 3^ la quantité d'eau dont le réservoir se remplirait par seconde si son remplissage se faisait d'une façon uniforme durant la seconde période.

Remarque sur l'application de l'éqùaiion; (10). Dans le calcul des valenrs successives de Q3, la première approximation donne*Q3<Q'3 ; il faut alors remplacer au dénominateur Q3 par un nombre Q"3 supérieur à Q'3 ; on obtiendra une deuxième approximation ; si la valeur qu'elle fournit est supérieure àQ"3,il faudra, pour une troisième opération, remplacer an dénominateur Q3, par une valeur Q '3 comprise entre Q"3 et Q'3, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on trouve pour Q3 la valeur adoptée au dénominateur.

Applicaiion. — D'après les données du problème, on a: û=500"> ;

Tz XO 25* <ù= ^ — =0™S0 19088; Lr^2400'-; Qa=0™%020 par seconde; 1 =

12 heures=43,200"; b* 0=0,000507+^^5^^^^ ir:0,00055876.

Les valeurs extrêmes Uo et u^ de la vitesse sont obtenues par l'équation:

Zo— Z4+y

=\/ 1 JLb, ' 2^" d

dans laquelle il faut faire successivement z^ — ^z<-}-v=:15" — 12«»=3* pour tto et zc— zi-|-y=15™— 12"+3"=6« pour u^ . Cherchons en même temps

la valeur u^ de u ( correspondant à z© — z^-|----=4",50 ) nécessaire pour

le calcul des valeurs approximatives. Q'3 et Q'4 à introduire dans les équations (10) et (13).

Les valeurs numériques sont :

«o=d0,3734798 ; tt4=O,5281802 et «'=0,4574176 ; «u =:0«%02245343.

Pour trouver Q'3 etQ'4, nous savons que le réservoir fournit, en

12 heures ou 43.2(K) secondes, un volume de ÛX3=500X3=1500"% soit

en moyenne, par seconde=-7—r— -=0,03472222=0 Ay.

Première période, pendant le jour et par seconde : Q'8=Q-|-Q A y +0)1* =0,020-H),03472222-f0,022 453 43=0,07717585.

Deuxième période, pendant la nuit et par seconde : Q'4=:Q2— Û Ay+<«>i*'=0,020— 0,03472222+0,02245343=0,00773121 .

Toutes Ias quantités entrant dans les équations (10) et (13) étant connues, on peut passer au calcul de Q3 et de Q., par approximations successives ; on obtient ainsi :

Première période correspondant aux 12 heures de jour; les calculs donnent :

2qnoK«Ki / 007717565— 0,020— 0,01833 315\ ' ' ^^1,0.07717565—0,020—0,02592699/

(*) Voir la l" Introduction de la série D, Ui/drauliqu» appliquée, p. <J8.

d'après ce qui a été dit précédemment on a bien Q3<Q*3 ; ce qui indique que la valeur moyenne Q*3 adoptée comme première approximation est trop faible.

Prenant pour un deuxième calcul Q"3=z0,0774, on déduit de l'équation (10) Q3=0,07752522 . Ceci nous indique que la valeur prise pour Q3 est trop forte : on peut donc dire que Q3 est compris entre Q'3 et Q"3, c'està-dire entre 0,07717565 et 0,0774. Pour faire une nouvelle approximatix)n, prenons Q'"3=z:0,07721 ; cela donne Q3=0,07721297, valeur un peu trop forte.

Enfin en prenant pour une nouvelle approximation Q'*'3zz:0,0772054jOn en déduit Q3=0«'S0772054.

Ce résultat peut être admis comme exact.

Deuxième période correspondant aux 12 heures de nuit; les calculs donnent :

<M0^85log.^ o,OOT73121 0,(12-0,01833316^

Cette équation se résout par approximations successives, en prenant, pour calculer le terme logarithmique, la valeur Q'4 indiquée précédemment.

Nous sommes ainsi conduit, après plusieurs approximations, à prendre Q' •'4 =0,00748703, qui donne :

valeur que l'on peut admettre comme exacte.

3** Volume d'eau fourni en 24 heures par le réservoir A à niveau constant. Le réservoir A doit fournir au réservoir B, par l'intermédiaire de la conduite C, l'eau débitée par l'oriflce D, moins la quantité d'eau reçue de la seconde source. L'orifice D débite, pendant les 12 heures de jour, Q3T et pendant les 12 heures de nuit Q4T ; soit en 24 heures :

T(Qâ+Q4)==43200"(Q3+Q4).

La seconde source fournit, pendant chaque période de 12 heures,

Q2T, soit 2Q2T en 24 heures.

En appelant Q le débit du réservoir A en 24 heures, on a donc :

En remplaçant, dans cette dernière équation, les quantités connues par leurs valeurs, on trouve :

Ce volume d'eau étant fourni par la conduite C, on voit, en se reportiint aux équations (8 bis et 11), que l'on peut poser :

fQidl-^fQidt^Q=l930mcA9S.7.

Cas particulier. — ^ Si l'on suppose h=.0 (fig. 4, pi. XVIII), on a, d'après l'équation :

8ER. IX, HTO. APP. PROJ. N'' I. 3

Zo— Zi+y

et en y faisant hzzy :

Zq— *Z<

Cela indique un débit constant Qi par seconde pour la conduite C, et comme Qa et Qa sont constants, on a immédiatement :

Q3=Q4=Q,+Qo.

Il est évident, d'ailleurs, que la condition de remplissage et de vidange du réservoir n'existant plus, on se trouve dans l'un des cas déjà traités, puisqu'alors on a affaire aune conduite cylindrique réunissant deux réservoirs à niveaux constants.

2f* Supposons maintenant:

Zo=:Zi, sans supposer h=0.

Cela revient à dire qu'au commencement de la 1»*« période les niveaux de Teau sont les mêmes dans les deux réservoirs A et B ; on a donc alors Uo=^0 et les équations (10) et (13) sont remplacées respectivement par les équations suivantes :

Q^ ^ iJ-4-Q,. (14)

^ VQs— Q2— o>«i/ et

tait

Qi—Qî

La valeur de u^ se déduit de l'équation :

La résolution des équations (14) et (15) se fait à l'aide des mêmes procédés que celle des équations (10 et (13).