COTE DO SOMMET
de la oolonne piésométrique
' au dessus du plan de comparaison
VALBDB DE
COTE UV SOMMET
de la colonne piésomélriqae
au-dessus du plan de comparaison
Les résultats contenus dans ce tableau ont été obtenus à l'aide de l'équation qui donne &,. en fonction de cfo» ^«» Q et X; d^ a été obtenu, pour chaque point, en se basant sur la conicité de la conduite.
La courbe représentant les valeurs des ordonnées piésométriques esttracéesur la pi. XVIII, flg. 2; on peut remarquer combien la hauteur
(*) Voir rintroduction de la série D, Hydraulique appliquée.
baisse rapidement à mesure que Ton se rapproche de l'extrémité B» dont le diamètre est moitié de celui à l'origine A de la conduite.
Troisième partie da problème. — Il s'agit de remplacer la conduite conique par une série de conduites cylindriques, placées bout à bout mais non raccordées, présentant les dimensions adoptées dans le commerce et donnant en B la même dépense par seconde et le même niveau piésométrique que la conduite à diamètre constant. La conduite cherchée se trouve dans les mêmes conditions que la conduite cylindrique; on a donc :
Q^m.c. ^0205; Zo=2Q^,00; z=10«,00; A=30— 26=4.
Soient u^, u^, wj... Un (fig. 3, pi. XVIII) les vitesses dans les diverses parties cylindriques de diamètres d^, d^, tf^... (/„ qu'il faut calculer pour satisfaire aux conditions de l'énoncé.
Comme le problème» ainsi posé, est indéterminé, il faut faire un certain nombre de suppositions à chacune desquelles correspondra une solution, puis comparer les résultats au point de vue économique ; certaines conditions auxiliaires permettent de lever les indéterminations.
La condition d'employer seulement des conduites existant dans le commerce ne permet pas de résoudre exactement le problème à moins que de laisser les longueurs facultatives pour les divers éléments de la conduite.
La solution que nous allons indiquer est donc générale et devra être appliquée convenablement à chaque cas particulier.
Solution générale. — Il faut appliquer l'équation générale (102) (*), dans
laquelle on posera, comme dans le cas précédents :p^i~pa-{-^h ' ^
Vi^Pa^ Les pertes de charges sont de deux natures : l'* celles dues aux changements brusques de section, que nous supposerons toujours être (les diminutions, car dans la pratique, les plus gros diamètres se trouvent à l'origine de la conduite ; 2" les pertes dues au frottement dans chaque portion cylindrique de la conduite.
On a, relativement à ces deux pertes de charge, les relations suivantes :
1 tti 1 u^
pour une diminution brusque de la section (**) <y«=:--— - = - îpour
4X le frottement dans chaque portion cylindrique de la conduite - (au+btfl).
] /équation générale devient donc, en faisant passer tous les termes dans le premier membre :
ou, en développant :
(*) Voir la 1'* introduction de la série D, Hydraulique appliquée, (**) Voir l'introduction 4e la série 0> Hydraulique appliquée, p. 61.
» Ea simplifiant, en posant E=:h+z^—z (charge totale), et en remarquant
qu'en général u= -c=r=— , on obtiendra une équation qui renfermera •
comme inconnues les valeurs de^f et de X» c'estrà-dire les diamètres et les, longueurs.
Cette équation générale est :
Les quantités variables étant X et d, le problème ne sera déterminé que lorsqu'on connaîtra toutes ces quantités moins deux; en effet, on a lu relation LinSX, et, en y joignant l'équation (4) précédente, on voit que Ton pourra calculer un diamètre et une longueurs! Ton connaît toutes les autres quantités analogues et la longueur totale.
Application. — Le cas considéré, dont les données sont exposées plus haut, consiste à établir une conduite pour laquelle le tuyau extrême a 0"',090 de diamètre, afin que la hauteur piésométrique et la vitesse à l'extrémité soient les mêmes que dans le cas de la conduite conique.
L'ensemble de la conduite sera composé de portions cylindriques dont les diamètres sont choisis parmi ceux adoptés dans le commerce; ces diamètres sont :
do:=zO^,2QO;di=zO^,\7b; d,z=0^,\bO; rf3=0°»,125 ; et rf^inO^.OOO. Nous supposons, en outre, que l'on s'impose la condition X^=:X2=:X3ji:
h- En sorte que l'on a : ^—h — 4X< ou X^= ^ .
L'équation générale précédente donne donc alors, en remplaçant X^ par L— 4X, :
-: V do^ ^d^d^^^^d/^^/^ ^ \ do^ ' d,^ ' d./ ' d^^ ' rf,V
Dans les mêmes conditions que celles du problème, mais pour un nombre quelconque (n+1) de diamètres, on aurait :
Xo^^L< — Tt^if
et
w 4 ^(J^mJlu. , 1 , 3 ^ L/16aQ 646Qn
*-16aQ/ n , I , 1 , , 1 \ , 64bQ» / n , 1 , 1 , 1\ (5)
La valeur de X4=86",748 donne, dans le cas particulier considéré, pour valeur de X, :
Xo=L— 4X,=500» —4X86» ,748= 1 53° ,008.
Ordonnées des niveaux piésomé triques. — Nous nous proposons de calculer ces ordonnées aux extrémités de chaque portion de conduite; il sera possible de déterminer l'ordonnée en un point quelconque intermédiaire, puisque, pour chaque conduite, la ligne qui relie les sommets de ces ordonnées est une ligne droite, comme dans le premier cas traité, car la vitesse u est constante pour chaque portion cylindrique.
En A, la perte de charge due à l'ajutage est :
A l'origine de la conduite de diamètre di, la somme des pertes do charge y compris Ao» sera :
A,=^o+— +V(«t^)+*'**^o)=0-,011+0'",404+0»,020=0'»405. 4q ' do
De même, à l'origine de chacune des conduites suivantes, on a :
A2=:/*,+^i+V-(au<+6u«2)=0,495+0,535+0,036=:l-,OOG, 4g dt
/i ~/i L -1+ V (au.+b u.,2)= 1 ,066-1-1 ,133-K),073^2« ,272, 4 g d.2
Â4zzA,+ ^'44^\att3+6i*3^)=z:2,272+2,780+0,265=5™317.
A l'extrémité de la conduite d^, la perte de pression due au frottement donne pour hauteur piésométrique :
^jj:^A^4.^(auj4-6tt,a)=:5,317+14,152=19°^,469.
En y ajoutant la perte de charge due à l'écoulement de l'eau à l'ex-
U^a trémité B, c'est-à-dire -^ =:0'",530, on a bien la somme des pertes de
charge 19">,469+0-,530=ri9.999, soit 20"i=:H:=A+Zo— Z (charge totale donnée).
On peut maintenant écrire les valeurs des ordonnées piésométriques qui, en chacun des points considérés, sont respectivement égales à :
H— /lo, H—ht , H-T-Aa. . . H— An .
On a ainsi les nombres du tableau suivant, dans lequel sont inscrites les ordonnées piésométriques à l'origine et à l'extrémité de chaque portion cylindrique de la conduite.
La fig. 3 de la pi. XYIII représente la ifgne passant par les sommets des colonnes piésométriques pour tous les points de la conduite ; cette ligne présente un ressaut à chaque changement de diamètre, ainsi que le montrent les cotes du tableau suivant.
DIAMKTnE
COTEDUSOMMKT
Dl LA. COLONNE PIÊSOMÉTHIQUB
an -des SU S d u plan de comparaison
A l'extrémité
A rorip^ine
LONOLEUR
de la conduite
Remarque. — Dans la résolution d'un problème analogue à celui que nous menons de discuter, on évitera tout tâtonnement dans la déterniination des diamètres, en substituant d'abord à ce problème le second cas précédemment traité, c'est-à-dire en supposant qu'il s'agit d'établir une conduite conique ; on se donnera le rapport que l'on veut avoir entre les diamètres des deux sections extrêmes de la conduite, et on obtiendra immédiatement ces diamètres à l'aide de l'équation (3) et du rapport adopté.
Ces diamètres extrêmes (/© et dn étant connus, on remplacera dn diamètre de la portion de conduite cylindrique aboutissant en B (fig. 3, pi. XVIII), par celui du commerce immédiatement supérieur et l'on adoptera pour les autres portions de la conduiie tous les diamètres du commerce compris entre celui admis pour d» et la valeur calculée pour rfo, de telle sorte que le plus grand diamètre choisi soit celui du commerce immédiatement inférieur à cfo.
On connaît alors les diamètres et il ne reste plus qu'à appliquer l'équation (5) pour calculer la longueur de chacune des n portions égales de la conduite, qui, on l'a vu, se compose des n-f-l portions des diamètres différents rfo»^o^2»^3-"-^«-
La longueur Iq de la portion de diamètre d^ se déduira de la relation :
Qtmlrième partie du problème. — Il s'agit ici de déterminer le diamètre à donner à une conduite cylindrique, de section constante, de 500 mètres de longueur, telle que la dépense par seconde soit de 250 litres. Cette conduite est placée dans les mêmes conditions que celle de la fig. 1 de la pi. XVIII; mais on s'impose que le sommet de la colonne piésométrique en B soit à la cote de 20",00 au-dessus du plan de comparaison KN'.
On a donc alors : p,j=:pa+AS — '^^ ; pour obtenir la pression p^ il faut tenir compte de la hauteur de la colonne piésométrique à l'extrémité qui est de 20'",00— (*^+^Y en sorte que p^=pa+( 20,00-z
ui'i\ 4L
- —^8 ; le frottement dans la conduite est exprimé par î;=-j(ai4-l-6iA*) .
Eq remaï^quant que le diamètre étant constant, on a :
tioinM^ et — =1=^-.
L*équation générale (102) devient donc :
en posant A+^^o— 20,00=H et remplaçant i»o en fonction de d et de Q, on obtient :
d'où
„^, lOaLQ^^ 4Q\ G4feLQ3
Dans le cas présent on a : L=500™ et Q=0»,250 ; en résolvant cette équation du cinquième degré par approximations successives et en
prenant d'abord Hd^= ^^ ^^ ; on tire d=0«,37r36.
En remplaçant, dans cette même équation, d et d^ par cette première valeur, on en déduit (1=0,37382; une nouvelle substitution analogue à la précédente donne enfin :
e/rrO"» ,37392, soit 0^,371.
Il en résulte :
Les pertes de charge dans la conduite sont :
;=:3- {au+bu^)=9^ ,868, d
On en peut donc déduire, comme vérification, quelle est la hauteur de la colonne piésométrique à l'extrémité B; cette hauteur est donnée par :
h+zo-^z^ — (aM-L6M2)-- =:4°» +26^ -10™ -9"» ,808 -0^ ,1321^10'» rf — 4g
en nombre rond, valeur que Ton devait obtenir et qui est imposée par l'énoncé.
