TROISIÈME PROBLÈME
Urh réservoir A (fig. 6 et 7, pi. XVIII), dans lequel le niveau de Veau est maintenu à la cote 20",00 au-dessus du plan de comparaison, alimente xuw conduite maîtresse BC; de cette conduite partent des con^ duites secondaires ou d'érogation Ce, Dd, Ee, Ff, dont on connaît les cotes des extrémités au-dessus du plan de comparaison^ ainsi que les longueurs; on s' impose la double condition : P que la hauteur piésomé" trique en chacun des points c, d, e, f, et G soit de 3 mètres; 2? que chaque conduite fournisse^ en chacun de ces mêm^s points, un débit de 20 litres, par seconde. — On demande de calculer: P le diamètre à donnera chaque portion de la conduite maîtresse; 2" la hauteur piésométrique au point de départ des conduites secondaires. On tiendra compte dans les calculs des changements brusques de section et de direction. '
Ce problème comporte un grand nombre de solutions dont nous ne prendrons que celles correspondant aux diamètres employés dans le commerce. Les sommets dos colonnes piésométriques, aux extrémités des conduites secondaires, se trouvant à des niveaux différents, nous étudierons d'abord la conduite qui doit aboutir au point le plus élevé, c'est-à-dire au point e.
Conduite BCDEè. — Ainsi, dans le cas présent, nous allons considérer l'ensemble BCDEe comme formant une conduite à diamètres et débits variables sur son parcours, abstraction faite des conduites secondaires Ce et Drf, précédant la.conduite secondaire Ee qui termine le tronçon considéré.
Sur la flg. 6 de la pi. XVIII, nous avons adopté les notations suivantes :
Zo = Zb, cote du point B;
hi, hauteur du niveau de l'eau dans le réservoir A au-dessus du point B ;
Z = Zc, cote du point e ;
Ag, hauteur du niveau piésométrîque en c au dessus de ce point; c'est la charge effective imposée en ce point par l'énoncé ;
ttj, vitesse moyenne dans la conduite BC ;
«2, vitesse moyenne dans la conduite CD;
1*3, vitesse moyenne dans la conduite DE ;
i/g, vitesse moyenne dans la conduite Ee ;
14 PARTIE DIDAC5TIQUB
q, débit par seconde de Tune quelconque des conduites secondaires et au point G; Q^, = 5 ^, débit de la conduite BC ; Q2, =4 q, débit de la conduite CD ; Q3 = 3 9, débit de la conduite DE; Qs = q, débit de la conduite Ee :
X|, longueur de la conduite BC ; Ai, longueur de la conduite CD ; X39 longueur de la conduite DE ; Xs, longueur de la conduite Ee ; di, diamètre de la conduite BG; (^2> diamètre de la conduite CD ; ^3, diamètre de la conduite DE ; dg, diamètre de la conduite Ee ;
Il faut appliquer à l'ensemble BCDEc considéré l'équation (102) (*), en remarquant que, dans le cas qui nous occupe ici, on a :
Les pertes de charge à considérer sont:
1"* L pertes dues au frottement dans les diverses portions de l'ensemble considéré :
29 ^aj pertes dues à l'ajutage en B et aux diminutions de section aux points C et D,
3*" iidp perte due au changement brusque de direction au point E.
Enûn^ remarqons que dTe, ^c &t&r sont nulles.
L'équation (102)' devient donc :
en y posant /||-j-Zb— (A8+2r)=H (charge totale entre le réservoir A et le point e), cette équation peut s'écrire :
La conduite BCDEc se composant de portions cylindriquesde diamètres et de débits différents, on a :
+ — (att3+6w3^)+-r'(att8+K^).
Les pertes de charge exprimées par jt « sont donnés par l'équation
(*) Voir rintroductioQ de la série D, Hydraulique appltçuée*
(95) (*) dans laquelle il faut remplacer S Vo^ par ui^+tty+Wa- ; de>télle
sorte que <5?a=-T-(t*r'*+w/+tt3^«
Le changement de direction au point E a lieu à angle droit, sans raecordement ; d'après les expériences de Bélanger et Genieys, la perte de chargé qui en résulte est exprimée, aussi approximatiyenxent que
possible, par 8d= ^^ .
Il en résulte finalement l'équation :
dans laquelle il faut remplacer les vitesses en fonction des débits et des diamètres en posant :
4Q<. -. 4Qi 4Q3 . 4Q8
* Tid^^ Tzd^^ Tcrfjâ * Ttrfgâ
Nous obtenons ainsi Téquation suivante :
4 / Qi^ Q,^ Q3-> , W \ 16a /X^Q^ X^Q, X3Q3 XgQs X
646/X,Q,a ^aQ^a X3Q32 , X«Qgî\ [— ^'
t346/A<Q,a AaQ^a AaQa^ XsQg»\ TTa \ rf,- rf/ "*" (/a-' "T" ^^5 /
Cette équation est du 5® degré et à quatre variables di, d^yd^^^d^; il y a donc indétermination. L'indétermination ne peut disparaître que si Ton se donne les rapports entre l'une quelconque des quatre inconnues et les trois autres ; mais il convient de remarquer que si l'on prend arbitrairement ces rapports, on s'expose à des incompar tibilités et, par conséquent, à trouver des solutions impossibles, ne satisfaisant pas aux conditions de l'énoncé. La méthode l'a plus simple et la plus rationnelle pour faire disparaître l'indétermination consiste à s'imposer la condition que la vitesse moyenne soit la même dans toute l'étendue de la conduite, c'est-à-dire u(=^U2'=u:p=u^ ; d'où il résulte que les diamètres des portions de cette conduite sont proportionnels aux racines carrées des débits correspondants.
L'avant-derniôre équation ci-dessus devient, avec cette hypothèse :
«- ^ -^ (rf; + ^ + 7, + 77-'+^-<^>=''-
Dans cette équation, ^4==^^, et, en vertu de la condition imposée ci« dessus. «f^</.V/| '^^^% -"^Vl
(*) Voir l'introduction de la série D, Hydraulique appliquée»
d'où :
J^ 1 /?r- 1 1 /TT 1 1
-=-i/^ -=-i/SL et -=-i/^ ^a d^ V Q^' «^3 ^< V Q3 ^ ^<V Qs
Il en résulte, en remplaçant w^, 1/2,. «^3 et d», en fonction dé d^, et en ordonnant par rapport aux puissances décroissantes de di :
Pour généraliser l'équation (7) et l'appliquer au cas où la conduite BCDEe comporterait n tronçons, de longueurs diamètres et débits différents, il sulflt de remarquer que le coefficient 44 du terme en rf< provient du facteur algébrique (u^'-j-tta'+ua'+O» dans lequel on a fait t/4=tt2=w3=t*8 ; de telle sorte que 44=4x11 et, qu'en général, ce coefficient est de la forme 4 (n+î). L'équation (7) prend donc la forme générale suivante :
+à,VQ2Q3...q« Jv/ 777^^- 1*^**
— ^^^Tx«+(X3v/Q3Qi...Q«+X3V^Q2Q»Q3...Q«+X VQ2Q3QoQ6...Q;,+
» W2W3...W/ÏJ
Cette équation est du cinquième degré et ne renferme qu'une inconnue di dont la valeur se calculera par approximations successives.
Appliquons cette équation générale ou l'équation (7), ce qui est la même chose, au cas particulier de la conduite BCDEe. Nous avons, en remplaçant d'abord les débits par leurs valeurs en fonction de q (débit de chacune des conduites secondaires):
Hdr— ^[x,+(xV2W-rV¥.-R«v'ï59')\/j^.]rf.'
nooq'. Kmbq'r ' ' • — '~^'
' 1000 Vf" / \ /T~i
HYDRiLULIQUE APPLIQUEE 17
nji, SOaq r , (XaV34-2X3+2XgV^3) v/Ï5-[ ^^^ :r L 6 J
1 lOO^*^ 16006 ^' f , , (X2>/3+2X3+3X8x/3) y^ïô'
Jf^c*
j006£r iX2>/3+2X3+3X8v/3)v/l5l Tc* L 6 J
Si Dons remplaçons alors les quantités connues par leurs valeurs, cette même équation deviendra finalement, en se rappelant que H=17 -1-3— (13-f 3)=4 et que 9=0,020,X4=:1250,Xa=800,XB=550 et X«=1240 :
4d4»— 0,049544rf/-O,0045454rf4— 0,127ft=il>; ou :
Cette dernière équation, résolue par approximations successives, en négligeant pour la première les termes en d^^ et en dt, donne finalement i<4=0*,514.
Il en résulte soccessivement pour les diamètres des autres parties de la conduite BGDEe :
ciari0,514y gi=i)»,4597,
d3=:0,514y girO ,398, rf8=0,514y gZzO ,230.
Les résultats qui précèdent ssrtisfont aux conditions de l'énoncé, mais, en pratique, il faut s'en tenir aux dimensions adoptées par l'industrie ; il en i>6solte que nous prendrons :
di =30'»,500 correspondant à ti< =30™,509 rfj=0 ,450 — i*arz0 ,503
d^znO ,400 — u,=30 ,478
rfgrriO ,250 — ^8=0 ,408.
Dans ces conditions, les pertes de charge entre les points B et e seront :
Frottement dans la conduite BC= ^^ f ax0,500+6x0,509^ )=0",990
Frottement dans la conduite CD= ^ ( ax0,503+6x0,503'' j ==0 ,089
Frottement dans la conduite DE=^~^^/^ax0,478-j-6x0,478^\ =tK> ,488
Frottement dans la conduite E e== ■ 1 ax0,408+6x0,408^ 1=1 ,289
Valeur de *a=l/'ô;5Ô9^+53œ'+0T47?^ -0 ,019
., , , ^ 3xO,408^ . Q 026
Valeur de (Vrf II: ^ • ^^* ^^
Total des pertes de charge rr3«,501
SÂB. D. HTD. APP. 2
tandis qu'on dispose d'une charge effective H=4" ,00.
Puisque nous disposons encore d'une charge effective supplémentaire de 4°», 00—3™, 50 1=0" ,499, nous pouvons nous proposer de calculer les pertes de charge qui se produiront si nous réduisons à à 0"^,350, au lieu de 0^,400, le diamètre du tuyau DB; dans cette hypothèse nous aurons ii3«:0™,624.
Les pertes de charge entre les points B et e seront dès lors i
Frottement dans la conduite BO • • . • r . . . • . . r:O»,O0Û
Frottement dan» la conduite OD •' =0 ,689
Frottement dans la conduite DB= ■ ( ax0,624-f 6x0,624 j=0 ,919
Frottement dans la Conduite Ee =1 ;SdO
Valeur de *a=jfô;5Ô9^+Ô^^4^]^^ «=0 ,023
Valeurde*d :rz O ,026
Total des pertes de charge =:3™,936
Nous devons donc, par raison d'économie dans la dépense d'installation, adopter définitivement les diamètres suivants :
rf<=0«,500, rfa-0 ,4W, ^3=0 ,350, ^4=0 ,250.
Conduite EFf. — En second lieu« nous nous occuperons de la portion de conduite EF/'(flg. 6, pi. XVIII), parce que le point f est à une altitude plus élevée et est plus éloigné du réservoir A que le point G; comme précédemment, les diamètres à adopter définitivement sont ceux que l'on trouve dans l'industrie et qui se rapprocheront le plus des résultats que fournira le calcul.
Nous adopterons les notations suivantes :
Ze, cote du point E ;
A3, hauteur du sommet de la colonne piésométrique au-dessus du point E et immédiatement avant l'origine de la conduite EF ;
Z/, cote du point f;
kg, hauteur du niveau piésométrique en /au-dessus de ce point ; c'est la charge effective imposée en ce point par l'énoncé ;
1^1, vitesse moyenne dans la conduite EF ;
11g, vitesse moyenne dans la conduite Ff;
Qi^2q, débit de la conduite EF ;
Q9=^, débit de la conduite Vf;
X4, longueur de la conduite EF;
X9, longueur de la conduite F/";
£^4, diamètre de la conduite EF ;
CI9, diamètre de la conduite F/.
Il faut appliquer à l'ensemble EF/* l'équation générale (7 bis) (*), dans laquelle nous ferons ^1=^4, Q«— Q», Qi»=Q9, h'^hy X«— X9 etn=2.
(*) Voir page 16,
HYDRAtLÏQtB APPLIQUÉE 19
Qaaût à H| ta valear est :
H=Z.+A3— (Z/+/ifl>=:ïl 1-+A3— 14.
ou
La valeur de A» s'obticadra en retranchant, de la différence de cote entre le point Ë et le niveau de Teau dans le réservoir» la somme des pertes de charge depuis ce réservoir jusqu'à l'extrémité Ë de la conduite D£; ces pertes de charge comprennent : l"" C» frottement de l'eau dans la conduite BCDE ; 2» ^a.
En nous reportant, aux calculs relatifs à la portion de conduite BCDEe, nous voyons que :
i:^:iO-,990-K)#689+0«,919r:2«,508, et que :
8 ai=0",023 ;
donc :
A^=(;20«— llj-^2,5d84^,023)i=6«,379 ; et :
L'équation (7 bis) devient :
En remplaçant les lettres par leurs valeurs, on obtient : 8,379rf4»--«),0115473rf,*-^,(K)0BGW4--0,01l83:î3ï);
rf4»--O,(XM8958rf/-O,00017W4— 0,008601=0.
En résolvant cette équation par approximations successives, on trouve:
rf:jrr0«,330 ; d'où:
Nous adopterons donc (f4— 0,350 et di=0«,225; Il en résultera :
wX0,35* 4X0,020 ^ ^^
7cX0,225 Les pertes de charge entre les points E et / seront donc :
Frottement dans la conduite EP=^^^rax0»41O+6>^i4rôM-l>û,086 Frottement dans la conduite P /=^^[ox0,503+6x0i5^^^ =2 ,270
Valeurde*.=:^ =0 >004
T7 I ^ V 3xO,50aF ^ /) Q30
Valeur de 4f rf = —TT- — • ..♦...♦ =u ,\wv
Total des pertes de charge =3 ,399
tandis que là charge effective dont on peut disposer n'est que de 3"^, 370; mais la différence entre ces deux nombres est si minime que nous pouvons, en pratique, la négliger et adopter définitivement les valeurs choisies pour d^ et c^.
Conduite FG. — Pour en terminer avec la conduite-maîtresse, nous n'avons plus qu*à déterminer le diamètre de la portion FG (flg. 6, pi. XYIII); nous adopterons les notations suivantes :
Zf cote du point F ;
A4 hauteur du sommet de la colonne piésométrigue au-dessus du point F et immédiatement avant l'origine de la conduite FG;
Zg cote du point G;
Al, hauteur du niveau piésométrique en G, au-dessus de ce point; c'est la charge effective imposée en ce point par l'énoncé;
%, vitesse moyenne dans la conduite FG ;
Q5=9 débit de cette conduite;
X5 longueur de la conduite FG ;
dj^ diamètre de cette conduite.
Il faut appliquer ici l'équation (7 bit), en y faisant rf|=<^, Q4=Q5» Q^inO, ><iT±k^, X^nO et n=l ; il faut remarquer que le facteur (w+T) dans le terme en ^4 se réduit à (n+1), puisque *rf— 0, attendu qu'il n'y a pas de changement de direction.
La valeur de H est :
H=Zr+A4— (Z3+A5)=12+A4— 13=Â4— 1».
La valeur de A4 s'obtiendra en retranchant, de la différence de cotes entre le point F et le niveau de l'eau dans le réservoir, la somme des pertes de charge depuis ce réservoir jusqu'à l'origine de la conduite FG ; ces pertes de charge comprennent : I^ C» frottement de l'eau dans la conduite BCDEF ; 2" *«.
En nous reportant aux calculs faits précédemment, nous voyons que :
et que :
donc :
L'équation (7 bis) devient :
En remplaçant les lettres par leurs valeurs, on obtient :
3;380tf,'—0,0011d83<^*—0,0000991725(iB— 0.0006138=0 ; d'où:
(t,»— 0,000364366rf,*— O,000030153d,-O,000186625=0. Cette équation, résolue par approximations successives, donne d^:s
0<B,182; à cette valeur correspond «,= — ' ■=Q*ja9.
uX0,182*
HYDRAUUQUE APPLIQUEE 21
Les pertes de charge entre les points F et G soront donc :
Frottement dans la conduite FG= ^— /axO,76G-f6xOjS5^ j =3» ,274
Yale\xTde&a=:9îI^ =0 ,013
Total des pertes de charge =3"» 389
C'est la vérification de la résolution de l'équation précédente ; or le diamètre de 0°^,182 n'existe pas dans l'industrie; il est compris entre les diamètres ordinaires 0»»,180 et 0".190 ; il faudra donc adopter l'un de ceux-ci; mais avec c^z:::0™,180, on n'aura pas en G là charge effective imposée, tandis qu'en prenant rfs— 0",190, cette charge sera notablement supérieure à celle demandée et la dépense d'installation sera sensiblement plus grande; en effet, le prix d'une conduite est sensi«blement proportionnel au produit de son diamètre par sa longueur ; avec fife»:i=0,182, on a X5flfc=:0,182x680ii:123,76, tandis qu'en prenant ^5=0"», 190, Xj^^mO, 19x680=129,2.
On pourra concilier l'économie et la condition imposée en ce qui concerne la charge effective en G, çn remplaçant la conduite FG de diamètre uniforme d^ par deux portions de fongueurs l^ et X'^s, telles que X'5-f-^"5zrX5, dont la première (celle partant de F), aura un diamètre (^5= 0,190 et dont le diamètre de la seconde sera rf"3Z30-,180. Les longueurs X', et X'^s se calculeront, comme nous l'avons vu dans la résolution du premier problème, au moyen de l'équation (5).
En adoptant un diamètre uniforme de 0",190, on a :
xX0,19^ Les pertes de charge entre les points F et G seront donc :
Frottement dans la conduite FG=^^ ("0X0,706+6x07706^ ) =2«,658
Valeur de ^ .J^ . . .:=0 ,013
Total des pertes de charge. . . . rz2'",671
Conduite Ce. — Le diamètre de cette conduite secondaire se calculera exactement comme celui de la conduite FG. Nous adopterons les notations suivantes, eh nous rappelant que l'érogaUon produite par la conduite Go se fait sur la conduite BC, c'est-à-dire immédiatement avant Torigine de la conduite CD, savoir :
Zc cote du point G ;
A2 hauteur du niveau piésométrique au-dessus du point G et immédiatement à l'origine de la conduite CD ;
Ze cote du point c ;
Ae hauteur du niveau piésométrique en c, au-dessus de ce poiut ; c'est la charge effective imposée en ce point par l'énoncé ;
22 PARTIE PIDAOTIQUE
K« vitesse moyeni^e dans la conduite Ce ;
Qf;=zq débit de la conduite Ce ;
X6= longueur de la conduite ;
dt diamètre de la conduite Ce.
Il faut encore appliquer ici l'équation (7 bis), en y faisant cTi^rfc,
Qi=Qc. Q/i^=0, X^zzXc, XnimO et nzzil et tenir compte de ce qu'il y a un changement brusque de direction en C.
La valeur de H est :
HzzZc + /i^— (Z.-f-/ifi);=13+Aa-.15=:^j— 2.
La valeur de As s'obtiendra en retranchant de la difTérence de cotes entre le point C et le niveau de l'eau dans le réservoir, la somme des pertes de charge depuis ce réservoir jusqu'à l'origine de la conduite Ce ; ces pertes de charge comprennent : l"" C frottement de l'eau dane la conduite BC ; 2^ <y«.
Ç— 0»,990et ara=:^^=0*,007;
donc !
A,zz20— 13^0,99(H-0,007)=8-,003 ;
par conséquent :
4,003rf,n rf, -^d, -r--^0.
En remplaçant les lettres par leurs valeurs, on obtient :
4,0003^6'— 0,00185030(f6*—0,00013223cfc—0,0009478=:0; d'où :
d.»—0,00046254rfc*--0.000033032(f«— 0,00023693=0.
Cette équation, résolue par approximations successives, donne flfc=rO",102; nous adopterons le diamètre de 0™,200* qu'on trouve dans l'industrie ; il en résultera :
icx0,20*
. Les partM d« charge entre le» points C et c seront don« :
Frottement dans la conduite Cc=:^~^ ( ax0,037+6x(l>,637^ )^:i=3w, 1 97
Tr 1 A . 3x0,637* __A Afto
Valeur de érrf= ^ — ^ ^''o-
mrrras
Total des pertes de charge. • » . .3"»259
. Tandis que la charge effective dont on dispose est de 4''t003, «— On pourrait, comme pour la conduite FG, remplacer la conduite Ce» de
diamètre uniforme, par un tuyau formé de deux tronçons de diamètres différents d\—0"',200 et d\<b^,l92f dont les longueurs )<\ et X"g soient telles que X'c+X''=A6.
Conduite D (î. -^ La marche à suivre pour calculer le diamètre de cette conduite est exactement la même que pour la conduite Ce.
Nous adoptons les j^otations suivantes (ûg. 6 et 7, pi. XYIII) :
Zd cote du point D ;
^3 hauteur du niveau piésométrique en D, au-dessus de ce point et immédiatement avant l'origine de la conduite DE;
Zrf cote du point d;
^7 hauteur du niveau piésométrique en d, au-dessus de ce point ; c'est la charge effèoUve imposée en ce point par l'énoncé ;
% vitesse moyenjie dans la conduite Dd;
QT^srq débit de cette conduite ;
X7 longueur de la conduite Dd;
dj diamètre de cette conduite.
Il faut appliquer l'équation (7 bis), en y faisant d^zzdj, Q|=Q7, Qj»=:0, \=Xj, X^=0, n=:l et tenir compte de ce qu'il y a un changement brusque de direction en D.
La valeur de H est :
H=Zd+/i3— (Zd+A7)=14'»+/i3— le-zzAg— 2.
La valeur de ^3 s'obtient en retranchant, de la diflérence de cotes entre le point D et le niveau de l'eau dans le réservoir A, les pertes de charge depuis ce réservoir jusqu'à l'origine de la conduite Dd; ces pertes de charge comprennent : l^ K frottement de l'eau dans la conduite BCD ; 2° 8a.
En nous reportant aux calculs précédents^ nous savons que :
et que :
*««— (o,509^+0,503^A nO-,013.
Donc :
A3= JO— 14— (l ,679+0,0l3)n=4-,308 ;
par conséquent :
L'équation (7 bis) devient donc :
En remplaçant les lettres par leurs valeurs, on obtient :
2,308rf75 o,0020794rf/—0,00013223if7— 0,00106512=0;
d'où:
rfT»-X),0000009d7*— 0,00005729^7— 0,00046382=0.
Cette équation, résolue par approximations successives, donne cfy— 0",221. Nous adopterons donc le diamètre de 0"",225 qui se trouve dans l'industrie. Il en résulte t
icX0,225'
Les pertes de charge entre les points D et aT seront donc :
Frottement dans la condalte Bd^^z
/aX0,503+6x0,503^^ =2-,030
Valeur de * d =
Total des pertes de charge. , » • .=2",000
tandis que la charge effective dont on dispose est de 2'",308. On pourrait donc, à la rigueur, pour profiter de rexcédantde0'",239, remplacer la conduite Dd, de diamètre uniforme rfyzr:0",225, par un tuyau formé de deux tronçons de diamètres différents (r7~0'»,225 et cr'7i=0",200 et dont les longueurs XV et X^ soient telles que XV+^^t^Xt.
Nous pouvons récapituler les résultats obtenus dans le tableau suivant :
