rr'XSinp

n' désignant le nombre des aubes et v leur épaisseur.

Au point m ainsi obtenu, on trace une droite faisant avec la circonférence Tangle p=20^ et une seconde droite parallèle à la première et distante de l'épaisseur t de l'aube (e'=0in»007) ; on obtient ainsi le point m'.

La face convexe de l'aube doit être tangente en a à la direction de w et se raccorder avec la droite passant en m\

Théoriquement, la face concave de l'aube devrait être tangente en a à la direction de w et Taube présenterait ainsi, à son origine, nne

Jiartie très aigiîe qui n'aurait aucune solidité. En pratique, le premier lément de la face concave de l'aube doit faire un angle de 10* enriron avec la direction de w, à laquelle il est raccordé par un arrondi ; la face concave de l'aube se raccorde à la droite aboutissant au point m.

C'est en ce point que Ton construit sur les deux directions de w' et de v' le parallélogramme dont la diagonale donne la vitesse absolue de sortie V, en grandeur et en direction.

Pour construire ce parallélogramme, il faut connaître les grandeurs de v' et dé w'.

On a :

t;'=:vX;7=5m,717x ~r^ ir7™,071

Pour le cas où la turbine tourne plongée de 0",170 dans l'eau d'aval, on a théoriquement :

Mais il faut, "en pratique, tenir compte de la perte de charge due au frottement de l'eau dans les canaux formés par les aubes de la couronne mobile. Cette perte de charge C L est donnée par la ^lation générale :

dans laquelle ( est la perte de charge par mètre courant et L la Ion* gueur développée de l'aube.

X est le périmètre tnouilléi O la section de la reine d'eau et » la vitesse moyenne.

On àtira une approximation suffisante en prenant pour jr et O les dimensions moyennes entre les sections d'entrée et de sortie de l'un des canaux et en ne tenant pas compte des évents ménagés derrière chacune des aubes et qui assurent à la turbine, lorsqu'elle n'est pas immergée^ la marche par libre déviation.

HâDRAULIQUE APPLIQUEE 309

Pour la section d'entrée, nous avons :

0^2!2<2-^?2!!?ÎLxOM41 =0,013085

Pour la section d6 sortie» noas avons :

Û= /^?î2^5ZZxsin2(y— 0~,007JxO»»,313

',007 jxo»»,;

ou :

Û-0iii,0323x0,313-0,0101I,

X=2(0^0a23+0,ei3)=0,e906.

La moyenne des sections extrêmes est :

et la moyenne des pérliUèttés mouillés :

Nous prendrons :

tt=wrr5«,568, >4 -0,0004.

La flg. 3« de la planche XXVIII donne Lr:0-,252. Donc :

!:L.=2i^^^XO,0004X^=0-,157.

Il faut, dans la valeur de w' que nous av^ons reproduite plus haut, introduire cette perte de charge» en écrivant :

Or :

W=5'°,566 : t)'==7,Ô7l et t)=5m,7lt.

Donc:

ou :

w'*zr.45,215037 ; d'où:

Pour le cas où la turbine n*est pas immergée, la vitesse relative de sortie w' est donnée par l'équation :

en tenant compte de la perte de charge due au frottement de Teau contre les aubes.

La turbine marchant alors pav libre dévialioUf le périmètre mouillé se trouve réduit; bien que la section ne change pas.

On a, comme plus haut, pour la moyenne des sections:

Dans la section d'entrée, on a :

X=2x0,0928+0, 14 1=0,3266, et dans la section de sortie :

^-2x0,03234-0,313ir:0,3776.

La moyenne :

Il en résulte :

Par conséquent:

w''::=5,566 +12,788Xl,354+2^(0in,150— 0,094)

ou :

w'2=49,394028 ; d'où :

Il convient maintenant de vérifier les dimensions de la couronne mobile an point de Tue du volume d'eau que cette couronne pourra réellement dépenser par seconde.

Il fc.ut alors reprendre l'équation (343), en y faisant «n'=l, ce qui donne :

{a) pour le cas des hautes eaux :

Q= \ ( 2itX0°»,877sin2O>— 48x0"î,007 jx0,313x6'«,724=i0'°s640.

Il en résulte :

(6) pour le cas de l'étiage :

Q=^(2itX0m,877sin20«— 48xO",007)xO",313x7"',a3=0"»S682.

d'où :

Il semble résulter de là que la valeur de 6'=0m,313 est exagérée et notablement supérle «re à celle qui convient pour assurer la marche de la turbine par libre déviation ; mais il convient de remarquer que, par suite de la courbure de la circonférence extérieure de la couronne mobile, la plus petite distance qui sépare deux aubes consécutives à leur partie inférieure est moindre que :

27ux0,877xsin20o ^ ^^^ ^ ^

et qu'elle n'est, d'après la fig. 3« de la planche XXVIII, que de 0m,0285. Il en résulte que :

pour les hautes eaux :

pour l'étiage.

. SERIE D. HYD. APP. 26

De telle sorte qu'en réalité la valeur de 6' n'est pas exagérée.

Nous possédons toutes les données nécessaires pour calculer V et en conclure le rendement théorique de la turbine.

La valeur de Y' se déduit de Téquation (297) (*)

Dans les hautes eaux, nous aurons :

V'*=:6,724-t-7,071— 2x0,724x7,071xcos20«n5,849499'

et:

A rétiage :

V* = 7,03+7,071— 2x7,03x7,071xcos20orz5,990002,

et :

On voit qu'à Tétiage, la condition w=v' est sensiblement rempliei mais qu'il n'en est pas de même dans les hautes eaux ; cela provient, en partie, de ce que la vitesse de la turbine est constante (bien que la chute varie), mais surtout de la perte de charge due au frottement de l'eau Contre les aubes.

La chute utilisée par la turbine, déduction faite de la perte de charge résultant du frottement de l'eau dans le tuyau qui vient du bief d'amont est :

dans les hautes eaux,

à l'étiage,

Le rendement théorique de la turbine est donné par l'équation (299) qu'il faut écrire ici :

(*) Consulter la 5* Introduction de la série D, Hydraulique appliquée.

HYDRAULIQUE APPLIQUÉE Dans les hautes eaux :

A rétiage :

Oa voit que ce rendement est sensiblement constant- Le rendement réel ou pratique peut être pris égal à ;

soit 0,75 en nombre rond, aussi bien dans les hautes eaux au'à l'étiage. ^

Le travail effectif disponible sur la couronne mobile sera donc avec le débit de 500 litres par seconde :

En hautes eaux :

par seconde, ou :

0,75x500'^8X4'",85=1818ï'em,75,

=24eli,25:

A l'étiage :

par seconde,

0,75x500*^»X5»",OOzr.l875»^ëm,

----^1120 en.

5.— Dimensions de la section d*entpée de l*eau dans i^lnjectenr*

En raison de la hauteur disponible entre la circonférence intérieure du segment de couronne directrice et Taxe de la turbine, nous ne

pouvons conserver, à la section d'origine de Tinjecteur, la forme circulaire, avec un diamètre rie 0",800, comme celui dn tuyau venant da bief d'amont.

Ainsi que cela se pratique généralement, on remplace cette section circulaire par une section elliptique équivalente.

Désignons par a le demi-grand axe horizontal de l'ellipse et par 6 son demi-petit axe vertical, nous poserons :

et, en gosant :

ira6=:7rX0,40^ (*)

il vient :

Nous aurons donc

et:

2a=rl-,128,

Comme l'indiquent les fig. let2Jb la planche 'XXIX, on raccorde cette section elliptique avec la section d'entrée du segment de couronne directrice, par des parois courbes au moyen desquelles la section de l'injecteur va en décroissant progressivement.

La section elliptique d'entrée de Teau dans l'injecteur est raccprdée (voir fig. S, pi. XXIX), avec la section circulaire du tuyau d'amenée par un'ajutage conique dont la longueur doit être au moins égale au diamètre intérieur du tuyau cylindrique.

Cet ajutage conique s'exécute souvent en tôle de fer deOm,003à 0™,004 (répaisseur ; toutefois pour les diamètres de 0'°,250 et au-dessous, il vaut mieux le faire en fonte.

I 6. — Dimension* <lo« orfpanea de la tunblne, an puint de vao de ionr résistance oux force* auxciuelie* lis sont soumis.

Epaisseur du tuyau d'amenée, en tôle, — En consultant la flg. 2« de la planche XXVIII, on voit que la partie inférieure de ce tuyau supporte

{*) La sarface d'nne ellipse a pour \aleur nab»

une preeâion intérieure effective correspondant à une colonne d'eau do 4™, 85 de hauteur. En raison de son diamètre intérieur et de la courbure qu'il faut donner à la tôle, celle-ci ne doit pas avoir une épaisseur moindre que 0'°,004. La tension par unité de section, à laquelle elle aura à résister, se calcule en appliquant l'équation (132) de la 2* Introduction de la Série A, Résistance des matériaux^ dans laquelle il faut faire :

Il en résulte :

Epaisseur de la paroi de Vinjedeur en fonte. — Cette épaisseur est déterminée surtout par la nécessité d'obtenir à la fonderie une pièce saine, c'est-à-dire sans soufflure et pour laquelle le retrait s'effectue bien sans tension trop grande résultant d'un refroidissement trop brusque de la fonte.

En raison des dimensions de l'injecteur, on ne peut, en pratiqua, compter sur une épaisseur moindre que 0",015.

Dans ces conditions, la piè«e en question ayant à résister à la même pression intérieure et effective que le tuyau cylindrique, la tension de la fonte, par unité de section, se déduira de la formule rappelée ci-dessus et dans laquelle il faut faire :

et:

(p'p)-4850 kg.

Il en résulte:

^='-^■-=182360 kg.

Epaisseur des aubes en tôle du segment de couronne fixe. -— Il faut considérer l'aube placée sur la verticale du centre ; elle doit résister à la pression d'une colonne d'eau de 4",85 de hauteur, s'exer* çant sur la partie Intérieure de cette aube.

Les aubes du segment de couronne directrice s'exécutent en tôle et elles sont rapportées entre les joues latérales de ce segment, qui comporte 14 orifices, ain^l que nous l'ayons dit et, par conséquent, 13 aubes en tôle.

Quand le segment de couronne directrice est fondu, puis tourné extérieurement et intérieurement, on divise les deux circonférences conformément à l'épure (voir flg. 3% pi. XXVIII) ; ensuite, au moyen d'un calibre ou gabarit reproduisant exactement la forme des aubes d'après cette épure, on trace leur emplacement sur la face intérieure de chacune des deux joues; puis, au moyen d'un bec-d'àue, dont le

tranchant a une largeur égale à l'épaisseur des aubes, on creuse, en suivant les lignes tracées au gabarit, des rainures ou saignées de 0'«,003 à 0°^,004 de profondeur.

Dans de la tôle douce, on découpe les aubes suivant leur développement sur un plan, puis, au moyen d'un marteau ou d'un maillet on les enfonce dans les rainures de la couronne fixe où elles prennent la courbure voulue.

Il faut donc que la tôle ne soit pas trop épaisse afin qu'elle ne présente pas une raideur trop grande ; mais il faut aussi que son épaisseur soit suffisante pour qu'elle résiste au cintrage sans se gercer ou se fendre.

En raison de la largeur (0^,141) comprise entre les deux joues de la couronne fixe, il convient de donner O'°,003 d'épaisseur aux aubes en tôle.

La tension par unité de section à laquelle ces aubes auront à résister se déduit des considérations suivantes :

Prenons, à la partie inférieure de l'aube située sur la verticale du centre, une bande de 0»",010 de largeur et considérons-la comme reposant sur deux appuis de niveau ; cette bande supporte une charge transversale et uniformément répartie qui a pour valeur:

Le moment fléchissant est :

6,84X0'",141 ^,^^. [jLiiz =0,120o55.

Il en résulte :

vu.

relation dans laquelle il faut faire :

„=0-.0015.I=:2:iil^^.

Il en résulte :

«•'^^X«:p:570.000Kg.

Epaisseur des auhes de la couronne mobile. — L'épaisseur des aubes de la couronne mobile, comme celle des aubes de la directrice, se fixe surtout par des considérations pratiques résultant princi[>alement des nécessités de fonderie, mais il convient néanmoins de toujours se rendre compte de la tension à laquelle ces aubes seront soumises.

Ainsi que nous l'avons dit, elles sont fondues avec la couroune, excepté cependant pour les turbines de très petit diamètre (0",400 et au-dessous), pour lesquelles on préfère souvent fondre les aubes à part et les ajuster et assembler entre les joues, qui sont alors indépendantes Tune de l'autre et ne sont reliées que par les goujons rivés qui les assemblent aux aubes rapportées.

Dans le cas qui nous occupe, les aubes sont fondues avec les joues de la couronne mobile et, en raison de la largeur (0'",313) de cette couronne, à la sortie de ses orifices, nous ne pouvons donner aux aubes moins de 0'",007 d'épaisseur.

Il faut encore considérer ici une bande de 0",010 de largeur, et, pour calculer la pression à laquelle est soumise cette bande, il faut examiner deux cas :

(à) Au début de la mise en train, la turbine étant immobile, la pression exercée par l'eau contre les aubes peut se calculer, avec une approximation suffisante pour la pratique, au moyen de l'équation (151), (*) duns laquelle il faut faire p=- l'angle de la vitesse relative w

avec la verticale, ol—Yiv.

Dans cette équation, û est la section de la veine d'eau qui sort de la couronne ûxki et vieut frapper contre une aube de la couronne mobile; cette section correspond, au maximum, à l'intervalle de deux

aubes consécutives de cette couronne, c'est-à-dire à -t~ de la circon-

férence.

Le rayon extérieur du segment de couronne directrice étant de 0m,707, la section considérée a pour valeur:

û=0nM4l(-^"';Q^^'"'-0,0Q3).

et comme a=30*, il en résulte :

Û:rz0m2,000133.

P exprime le poids du liquide contenu entre deux aubes consécutives; c'est le poids d'un volume d'eau égal à-— de la capacité inté-

rieure de la couronne mobile, déduction faite de la place prise par les aubes.

Si nous considérons la section transversale et intérieure de la couronne mobile comme un trapèze de 0",170 de hauteur et dont les deux bases sont respectivement 0°»,141 et 0'^,313, la capacité totale et intérieure de cette couronne est égale à la surface du trapèze multipUée par la circonférence que décrit son centre de gravité autour de l'axe de la turbine.

Pour trouver la position du centre de gravité du trapèze en question, partageons ce trapèze (voir fig. 2, pi. XXIX), en tranches infiniment minces et parallèles à ses bases ; soit y la largeur d'une de ces iranches,»^ sa hauteur etxsa distanceà l'axe de rotation. En prenant les

(*) 2* Introduction de la série D, Hydraulique appliquée, p. 112,

moments par rapport à cet axe, la distance de cet axe au centre de gravité rsera :

x=i0,707 — ^ ^- — ^XO», 170.

Il faut remplacer y en fonction de x et des deux bases du trapèze. A l'inspection de la figure, on voit que :

ou:

y=l,0n7ar— 0,574.

fjpn0,877 (1,0117a:— 0,574)a?(/a?

t/ am0,707

ou :

J^x=:0,877 rwz=:Q,\

xVa?— 14,874 . / xdx

?-.0.877 Xrr

Les valeurs de9 intégrales indéfinies sont :

et — -:l—

(*) La ênrhee de Tane des tranohes est yXdx et boq mumaot par rapport i l'axe est ysdx.

(") Dans le cours de cet ouvrage, nous avoas, par des procédés élémeattirei| démontré la valeur de fx^dx et celle de Jxdx, pour ceux de nos lecteurs qui ignorent le calcul infinitésimal.

Il en résulte» en faisant successivement :

ar=0,707 et x=0,877 :

Et enfin :

La surface du trapèze :

Le volume correspondant à-— delà capacité totale et intérieure

de la couronne mobile est donc :

Il faut en retrancher le volume occupé par une aube, dont le développement est de 00^,252, la largeur moyenne :

et l'épaisseur moyenne 0'°,008 ; ce volume est :

Le poids P de Teau contenue entre deux aubes est donc :

Nous avons trouvé que Tangle de v et de te est de 119*6' ; il en résulte que celui de vo avec la verticale :

L'angle de V et de k; est de 3(>>54' • Enfin :

L'équation (151) rappelée plus haut donne donc, pour la pression de l'eau contre une aube, au début de la mise en marche :

R=3k,60x Sin29o6-f4xl000»^î^x0,0{)6l33x4°»,85 sin 30<'54,

ou :

Cette pression s*exerce sur la surface de l'aube qui est de :

0,252x0-,227=0«^S0572 ; de telle sorte que la pression par unité de surface est :

La charge transversale uniformément répartie et agissant sur la bande extérieure de 0"*,010 de largeur et de 0™,007 d'épaisseur, est

Nous» avons:

I 0,0lxQ,0Q7 «■" 6

et:

3,44XQ,313 , |x= =0,1346.

La tension de la fonte par unité de section est donc :

6X0,1346 .aAOïaryr

R= ^=1.648.165 kg.

Cette tension peut être admise parce qu'elle n'est pas permanente et que, d'ailleurs, le procédé que nous avons adopté pour la calculer donne toute sécurité dans la pratique.

(6) Lorsque la turbine a acquis sa vitesse de régime, la pression que supportent les aubes résulte : P du poids de l'eau qu'elles contiennent, 2« de la force tangentielle correspondant au travail effectif recueilli sur ces aubes.

Nonis avons vu, à la fin du paragraphe 4 de ce chapitre, que ce travail est, au maximum, de 1875*^g™ pur seconde. La moyenne des valeurs de v et de v' est :

La force tangentielle appliquée à la circonférence moyenne et correspondant au travail effectif est donc :

Comme la turbine ne reçoit Teau que sur -— (ie sa circonférence,

cette force tangentielle est répartie seulement sur 9 aubes ; elle est donc, pour chacune d'elles :

Le poids deTeau contenue entre deux aubes consécutives est de 3^k,60-

La pression totale exercée sur une aube est la résultante de la force tangentielle, que Ton peut considérer comme étant horizontale et du poids de l'eau ; elle a pour valeur :

Nous voyons que c'est à la mise en train que les aubes de lacpuronne mobile ont à résister à la pression la plus grande; lorsque la turbine a acquis sa vitesse de régime, la tension de la fonte, pour les extrémités extérieures des aubes, est réduite à :

39 Qf)