QUATRIÈME PROBLÈME
On donne deux réservoirs ketB f&g, 10, pi. XVTII) reliés par une conduite cylindrique C de 0™,250 de diamètre intérieur et de 2400 mètres de dév^ppement, raccordée aux parois du réservoir A. et ne présentant que aes coudes dont la résistance peut être négligée. Le réservoir A est alimenté par une source à débit constant; le niveau constant N de Veau dans ce réservoir est à la cote de 15 mètres audessus du plan de comparaison. Le réservoir B est alimenté tout à la fois par le réservoir A, au moyen de la conduite G et par une source y arrivant directement au niveau Ni situé à 13 mètres en contre-haut du même plan dé comparaison; cette seconde source fournit 20 litres par seœnck. L'aire de la section horizontale du réservoir B est de 500 mètres carrés. De 6 heures du matin à 6 heures du soir, la conduite D, partant du réservoir B, dépense un volume d'eau tel que le niveau dans ce réservoir descend, pendant ces 12 heures, jusqu'en NV, to différenae de hauteur des niveaux N< et N'i, étant de 3 niètres. On demande de calculer: l^la dépense constante, par seconde, de la conduite D, pétulant la période comprise entre 6 heures du matin et 6 heures du soir; 2^ à combien cette dépense doit être réduite pendant les 12 heures de nuit, pour qu'àQ heures du matin le niveau N'< soit revenu en N^-S* te volume a eau fourni en 24 heures par le réservoir A à niveau constant.
Considérons successivement les périodes de jour et de nuit*
Première période. — Le réservoir B, étant rempli le matin, se vide
fiartiellement pendant les 12 heures du jour, tout en recevant l'eau de a seconde source et celle de la conduite C.
D*aprôs renoncé, il est évident que. le débit total par l'oriâce D, pour la période de jour, est égal à la somme des volumes d'eau fournis par
HYDRAUUQUB APPUgUHE 37
Im denx souroes et par la réservoir B lui-même. Cette relation permet de poser une première équation.
En désigaant par Q^ la dépense oonatante par seconde de l'orlflce D et par T le nombre de secoados dont se comporte la période de jour (Tiz:12»»x3600=43200"), le volume total sortant du réservoir D pendant la première période est Q3T.
Si Q2 exprime le débit constant, par seconde, de la seconde source (celle qui se déverse directement dans le réservoir 6)» le volume d*eau total fourni par cette source, pendant cette mémo période, sst Q|T.
Le débit de la conduite C varie à chaque instant, puisque le niveau varie dans le réservoir B; désignons parQi sa dépense, rapportée à l'unité de temps, à un instant quelconque de la période ; pendant un temps très petit il, le débit- par cette conduite sera Q*dL
Le débit de la conduite pendant la période sera donc donné par la somme des produits Q^dl, c'est-à-dire par :
fcitdi
Bnân le niveau de l'eau baissant d'une hauteur hs^,QO mètres dans le réservoir dont la section horizontale est Q=i500 mètres carrés, le volume d'eau fourni, pendant la période, par le résepvoir B sera ûAzi:50Qx3zrl5t)0 mètres cubes.
La première relation précédemment énoncée peut donc s'écrire :
Q:iT=Q^T+ fQidl+Qh. (8)
De cette équation, on pourra tirer la valeur de Q3, lorsqu'on aura
calculé la valeur de TintégraleTOicfi, puisque toutes les autres quan-
tités sont connues.
Pour un temps infiniment petit dt de la première période, le niveau de l'eau dans le réservoir B descend d'une quantité infiniment petite dy (en appelant y la quantité dont le niveau daus le réservoir B a baissé depuis le commencement de la période jusqu'à Tintant que Ton considère); le réservoir s'est donc vidé de Qdy pendant le temps di ; en outre, Torifice D dépense Q^dt; la conduite fournit Qidt et la seconde source fournit Q^dl.
Donc, pour un temps infiniment petit, l'équation (8) donne:
Q^dl=iQ^dl-\-Qidl-{-Qdy , (S bis)
d'où
Soit (D la section de la conduite G et u la vitesse dans cette conduite à l'instant eensidéré ; il en- résulte que Qi^=mu, %
Donc:
Les yariableB y et « tont liées entre elles par réqaatioii du mouvement permanent dans la conduite G.
Appliquons donc Téquation (102) de Tintrodaction {hf/dratUique appliquée)^ depuis le niveau de Teau dans le réservoir A jusqu'au niveau correspondant à y dans le réservoir B.
Dans cette équation» on a :
p^=LPi=pa (pression atmosphérique) ;
«o=r:0 (vitesse négligeable dans le réservoir A) ;
tf4=:0 (vitesse négligeable dans le réservoir B);
u, vitesse variable de Teau dans la conduite G ;
^a perte de charge due à l'origine de la conduite =0| puisque l'origine de la conduite est raccordée aux parois du réservoir ;
<y« perte de charge due à l'élargissement brusque de section au point où la conduite G débouche dans le réservoir B ;
puisque u^irO ;
( s=— -V, en évaluant le frottement dans la conduite c par la formule monôme de Darcy afin de simplifier les calculs (^. Le coefficient b\ a pour valeur :
L'équation (102) devient, en y introduisant les valeurs précédentes ;
d'où
on en déduit> en diflérentiant les deux nombres :
<*y=Wu(lt-?^j*i) O.
En remplaçant dy par cette valeur dans l'équation (9), on a :
(*) Voir la l** introduction de la série D^ Hydraulique appliquée^ p. 70. (**) Voir la l** introduction de la série D, Hydraulique appliquée^ p. 68.
(***) Gonsulter les Traiiét de calcul infinitésimal et les exemples de même ordre développés dans cet ouvrage*
il faut iDtéj?rer les deux membres de cette équation par rapport à l et par rapport à u; t est compris entre les limites t'=o et t"ii:12^x3600"= 43200'' ; quant à u, sa valeur déduite de la relation établie plus haut» est:
"Vf
4IA 2g^ d
De cette équation, on tirera u» et v^, c'est-à-dire les valeurs extrêmes do tt pour la période considérée (celle du jour). Donc, l'intégrale cherchée est :
j — Q2 — <ott
t=0 Un
ce qui revient à :
1 , 8L6 A r * licTu
pour intégrer, posons :
d'où
ou
!=Q3— Qâ— ût>tt (*) ; rrz — iùdu
dx
et
Qg— Qa— ^
L'intégrale devient, par substitution de ces valeurs :
^q/ 1 .8L6A A-(Q3— Qr-
équation que l'on peut écrire :
En intégrant entre les limites et l*emplaçant s par sa valeur^ on a réquation :
û/1 ,8LiAr , ,^ ^,, ./Q3— Qi— «•♦A T n
(*) Cet artifice de calcal constitue ce qu'on nomme un changement devariabU; il pennet de remplacer la dîÉérentîelle à intégrer par une différentielle eonnue, intégrée précédemment. (Consulter les traités spéciaux.)
{**) Log* indique qu'il s agit ici de logarithmes népériens; on sait d'ailleurs q«e i)our avoir le logarithme népArien d'un nombre, il suiffît de multiplier son logarithme vulgaire par le module M=:2,<j02585.
âO PARTIE DIDACTIQUE
de laquelle il faut tirer Q$.
On peut la mettre flous la forme :
co(t/<— «o)H — , ^,, , =(Q3~Q2)log.{ -^-— ^ ),
ou:
iog'/93i:Sîrf^)
a)(tt,— tto)+
Dans cette dernière équation, le numérateur est connu et peut être calculé ; on en déduit la valeur de Q3 par des approximations successives en posant d'abord :
/Q3— Qa— wttoV / Q3— Q2— <^Uo \ ,
Dans cette expression, Q'3 se compose de trois parties : P le débit par seconde de la conduite G lorsque le niveau de l'eau dans le réservoir B est dans sa position moyenne ; 29 le débit constant de la source qui se déverse directement dans ce réservoir ; 3° la quantité d'eau fournie par seconde par ce réservoir, en supposant que le volume total dont 11 se vide en 12 heures soit dépensé uniformément.
Deuxième période. — Le réservoir B s'étant vidé d'une certaine quantité pendant le jour doit se remplir de cette même quantité pendant un temps égal :
T:=12 heures^ 12X3600=43200".
L'énoncé du problème montre que le débit total, pendant cette seconde période, par l'ori&ce D, est égal a la somme des débits de la seconde source et de la conduite G diminuée du volume d'eau qu'emmagasine le réservoir pour se remplir.
Les quantités qui composent le second membre de l'égalité ainsi
définie sont Qi T, Qh et fQ^àt, comme pour la l^ période.
Boit Q4 le débit constant par seconde de l'oriâce D. L'équatioa de laquelle on tirera la valeur de Q4 sera donc 1
Q4T=0,T+ fdt di~~ûh. (11)
On pôut» en faisant les mêmes remarques et en prenant les mêmes notations que ^ur la P* période,, poser pour un temps infiniment
petit cf(:
— ûrfy:^Qirf<— Q^^— Q,d<. (12)
En comparant cette équation avec son analogue de la I*"* période, on remarque qu'abstraction faite du signe de ûrfv, elle renferme les mêmes quantités ; aussi nous traiterons cette seconde période comme la première, en faisant usage des mêmes transformations. On a donc :
Qï— Qâ~wtt puis :
^g'^ d ) J Q4— Qa— <ou
En intégrant entre les limites qui sont ici inverses de celles de la première période, il vient :
û /l , SLb^\ [■ ^ ., ^ /^ /^ M^^ Q4 — Q2 — ^^0'
enfin :
/l , 8LèA
d'où l'on tire :
iùQt, — ^Mo>
Qi= Qi—
Q4— Qa— "taïlll \
ou :
