CHAPITRE PREMIER

DU PAEALI.éLOORAMM E DBS FORCES.

La mécanique est une partie des mathématiques, qui a pour objet les lois de l'équilibre et du mouvement des corps , soit en raison de forces qui les sollicitent, soit en raison de leur position , on bien , enfin, en raison des forces naturelles de la pesanteur. Nous avons déjà parlé de cette propriété générale des corps au chapitre 2 du Livre II , tome U, page 13 et suivantes. Nous avons dit qu'un solide quelconque, suspendu par un fil assez fort pour le soutenir, le tend selon une direction verticale ou perpendiculaire à l'horizon.

Nous ajouterons que la direction de ce fil peut être détournée par un autre qui tire le corps perpendiculairement ou obliquement à cette di* rection, figures 1, Sf et 3, planche CLXVL

Lorsqu'un corps suspendu par un fil est éloigné de la direction verticale par un autre fil ou puissance horizontale DE, fig. i, cette puissance ne peut augmenter ni diminuer Tefiort de la pesanteur du corps ; mais il est facile de concevoir que le premier fil, en prenant la direction AD, aura à soutenir, outre le poids du corps, l'eflbrt de la puissance qui l'éloigné de la direction verticale AB.

Si l'on prolonge la direction de la puissance horizontale jusqu'à la rencontre de la verticale, que suivrait le premier fil s'il n'était pas détourné par le second , on aura un triangle ADB, dont les côtés exprimeront le rapport du poids avec l'efibrt des deux fils dans le cas de lequilibre; c'est-à-dire qu'en prenant AB pour l'expression du poids, AD exprimera l'efibrt du fil attaché au point A, et BD celui de la puissance horizontale qui éloigne le corps de la verticale AB.

On peut encore connaître ces difierens efforts en portant sur la verticale DH une grandeur quelconque DF pour représenter le poids du corps. àSi , du point F, on mène les parallèles FI , F G à la direction des fils , leurs sfforts seront indiqués par les lignes ID DG, en sorte que les trois côtés

du triangle DGF, semblable au triangle ADB, exprimeront le rapport du poids aux deux puissances appliquées aux fils.

Supposant le poids de 3o livres, si d'après une échelle de parties égales on porte 3o parties de D en F, on trouvera DG de 21 livres pour TefiFort de la puissance horizontale DE, et 35 pour l'effort oblique ID.

Si le poids, au lieu d'être de 30 livres était de 100, on trouverait la valeur des puissances DG et ID,par les proportions 30:21 ;: 100 :x, X désignant l'effort DG, sa valeur donnée par c^tte proportion est

et la seconde proportion 30 : 35 :: 1 00 : jr , y désignant Tefiort ID, dont la valeur sera

35x1oo .^.

Lorsqu'on connaît la valeur de l'angle A D H formé par l'oblique A D avec la verticale D H, on peut trouver le même résultat en prenant D F pour sinus total ; alors IF = DG devient la tangente qui se trouve dans ce cas-ci de 35 degrés, et ID la sécante, ce qui donne

DF : DI : IF::sin. tôt. : tang.35 : séc. 35.

Si l'on prend ID pour sinus total , on aura

IP : IF : FD :: sin. tôt. : tang.35 : sin. 55

n faut remarquer que, par l'opération que nous avons indiquée ( à la page 5, dernier alinéa ), on forme une figure DIFG, à laquelle on donne le nom de parallélogramme des forces, parce que la diagonale DF peut toujours exprimer une puissance mixte susceptible de, faire équilibre à deux autres FI, FG représentées par deux de ses côtés contigus IF, FG, ou les suppléer.

Au lieu de deux puissances qui tirent, on peut en supposer deux aur très qui agissent, en poussant de E en D et de A en D, figure i. Si Ton prend la verticale DF pour exprimer le poids , et qu'on tire , comme ci-devant, les parallèles FG et FI aux directions des puissances, les côtés GD et DI du parallélogramme DGF! exprimeront les forces avec lesquelles ces puissances agissent relativement à DF pour soutenir le corps; comme FI = GD, le poids et les deux puissances qui le soutiennent pourront être représentés dans le cas d'équilibre, par les trois côtés du triangle rectangle DFI; de sorte que si l'on désigne le poids du corps par H , la puissance qui pousse de G en D par E, et celle qui agit de I en D par P, on aura la proportion H • E : P •• DP : FI : ID,

ou, SI Ton prend DF pour sinus total » comme ce sinus est à la tangente (le Fangle FDI et à sa sécante.

Lorsque le corps suspendu est détourné de la direction verticale par une puissance GB plus élevée que le corps , Figure 2, il en résulte que les puissances obliques Afi et BC soutiennent , indépendamment des efforts latéraux y chacune une partie du poids de ce corps.

Pour trouver le rapport de ces parties avec le poids total , on portera sur la verticale élevée du centre du corps B, une grandeur quelconque BD pour exprimer son poids, et on formera le parallélogramme DEBF, dont les côtés EB, BF, exprimeront les efforts obliques des puissances  etc. Ces lignes pouvant être considérées comme les diagonales des parallélogrammes rectangles LETB, BHFM, se décomposent chacune en deux efforts , dont un vertical soutient le corps , et 1 autre horizontal Téloigne des verticales AO, CQ. Ainsi , IB exprimera Feffort vertical , ou la partie du poids que soutient la puissance EB, et HB celle soutenue par lautre puissance BF : comme ces deux efforts agissent dans le même sens, ils doivent s'additionner, et leur somme doit représenter le poids DB. En effet, IB étant égal à HD, il en résulte que BH +BI=:BI+n).

Quant aux efforts horizontaux indiqués par LB et BM, comme ils sont égaux et directement opposés, ils se détruisent.

n suit de ce qui vient d'être dit, que tous les efforts obliques peuvent se décomposer en deux antres , dont un vertical et l'autre horizontal , en prenant leur direction pour la diagonale d'un parallélogramme rectangle.

Relativement à leur rapport et à leur évaluation , on les trouvera facilement par le moyen d'une échelle , si la figure est tracée exactement, ou par le calcul trigonométrique , si l'on connaît les angles ABD , DBG , que forment les directions AB, BG avec la verticale BD , en prenant successivement pour sinus total les diagonales BD, BE et BF.

Dans la Figure 5, le poids, au lieu d'être suspendu par des fils qui agissent en tirant, est soutenu par des puissances qui sont censées agir en poussant; mais comme cette disposition ne change rien au système des puissances, on peut appliquer à cette Figure tout ee qui vient d'être dit pour la précédente. 11 n'y a d'autre différence qu'en ce que le parallélogramme des forces se trouve audessous du poids , au lieu d*étre en dessus. Ainsi ID + IB = BD , exprime la somme des efforts verticaux qui soutiennent le poids > et MB et BL, les efforts horizontaux qui se détruisent en agissant en sens contraire.

Dans les deux Figures précédentes , la. direction des puissances qui agissent en tirant ou en poussant ^ pour soutenir le poids, forme un angle aigu ; dans celles représentées par les Figures 3 et 6 , les directions forment un angle obtus; d*où il résulte que dans la Figure 3 la puissance C qui tire pour éloigner le poids B de la verticale AG , au lieu de contribuer à soutenir le poids B , augmente son effort par sa tendance à agir dans la même direction. Pour connaître cette augmentation d'effort, il faut faire sur BD , Figures 3 et 6, qui représente l'action verticale du poids, le parrallélogramme BADF; afin de déterminer les forces obliques BA, BF, on prendra ensuite ces côtés poi^r les diagonale des deux rectangles LAIB , BHFM dont les côtés BI , BH expripieroiit les efforts verticaux, et LB et BM les efforts horizontaux^

II faut remarquer que dans la Figure 3 , la puissance AB agissant de bas en haut , sou effort vertical est plus grand que le poids d'une quantité ID qui sert à compenser la partie BH , que l'autre puissance BF ajoute au poids en tirait de haut en bas. De même l'effort vertical de la puissance BE, Figure 6, qui pousse de bas eq haut, surpasse l'expression BD du poids d'une quantité DI, pour contre-balancer l'effort BH de l'autre puissance BF qui agit de haut en bas , en sorte que dans les deux cas il ne reste toujours que BD pour l'effort vertical du poids. Quant aux efforts horizontaux LB et BM , il est clair qu'étant égaux et directement opposés dans les deux Figures^ ils se détruisent.

Par la même raison qu'on peut décomposer une puissance en deux autres, on peut réunir deux puissances en une seule, en prenant pour son expression la diagoqale du parrallélogramme dont ces puissances formeraient ^eux côtés contigus. Il est évident alors que quel que soit le nombi^e de forces qui sollicitent un point, on peut les réduire en une seule. Il suffit pour cela de chercher partiellement la résultante de ces forces prises deux à deux, et de combiner ensuite ces résultantes partielles aussi deux à deux, jusqu'à ce que l'on soit parvenu à deux résultantes principales , qui se réduiront à une seule comme nous venons de le voir. C'est ainsi qu'on trouvera que PY, Figure 7, est la résultante des forces PA, PB,PC, PD, qui tgutes sollicitent le poiRi P.

Cette réduction est souvent utile dans l'art de bâtir , pour opposer une seule puissance à plusieurs autres qui agissent en sens différens et concourent à un même point.