CHAPITRE TROISIEME

DU CBNTEB DB ORÀTITÉ.

Nous avons déjà parlé du centre de gravité, au commencement du Livre n y tome II, pag. 1 4 et 1 5, à l'occasion de la stabilité. Nous avons dit que non-seulement les corps entiers tendent par leur pesanteur à suivre une direction verticale , mais encore toutes les parties dont ils sont composés; en soiH;e que si Ton suspend un corps d'une forme quelconque, par le moyen d'un fil , il prend une situation telle que le prolongement de ce fil dans Fintérieur du corps formerait un axe autour duquel toutes ses parties se soutiennent en équilibre. Toutes les fois qu'on change le point de suspension du corps, la direction du fil prolongée donne un nouvel axe d'équilibre; mais ce qu'il faut remarquer, c'est que tous ces axes se coupent en un même point , situé au centre de la masse du corps , lorsqu'il est composé de parties homogènes , et quelquefois en dehors comme dans les pièces qui ont beaucoup de courbure ; ce point est le centre de gravité.

Il est aisé de voir, d'après ce qui vient d'être dit du centre de gravité, qu'il suffit pour qu'un corps solide se maintienne en repos, que son centre de gravité soit soutenu par une puissance verticale égale à la résultante de toutes les forces qui le sollicitent, mais agissant en sens contraire ; ainsi dans les Figures 2 et 5 , le poids soutenu par les puissances AB et BC qui tirent ou qui poussent , serait également soutenu par une puissance verticale représentée par la diagonale DB du parallélogramme qui exprime la résultante de ces forces.

La connaissance des centres de gravité est indispensable pour parvenir à évaluer les résistances, les efforts et le degré de stabilité d'une partie d'édifice. Il y a des circonstances où l'on peut faire abstraction de la figure des corps, surtout lorsqu'ils n'agissent que par leur poids, en supposant qu'il se trouve réuni au centre de gravité. On peut encore , pour simplifier les opérations , substituer une puissance à un poids ou à une puissance.

Nous allons donner les règles les plus faciles pour déterminer le centre de gravité des lignes, des surfaces et des solides, en les supposant composés de parties pesantes et homogènes.

Du centre de gravité des lignes.

On peut concevoir une ligne droite composée d'une infinité de points également pesans, rangés dans une même direction ; d après cette défi-, nition , il est évident que si on la suspend par le milieu , les deux parties étant composées d'un même nombre de points égaux et placés à des distances égales du point de suspension , doivent nécessairement se faire équilibre : d'où il résulte que le centre de gravité d'une ligne droite est au milieu de sa longueur.

Les points d'une ligne courbe n'étant pas dans une même direction > son centre de volume ne peut pas être le même que son centre de gravité; c'est-à-dire, qu'une courbe suspendue par le milieu ne peut se soutenir en équilibre que dans deux situations opposées , l'une lorsque les branches de la courbe sont en bas , et l'autre lorsqu'elles sont en haut, de manière que la courbe se trouve dans un plan vertical.

Si cette courbe est un arc de cercle ADB , Figure 1 5 , il est facile de voir qu'à cause de l'uniformité de sa courbure, son centre de gravité doit se trouver dans une ligne droite DG , tirée du centre G au milieu D ; de plus , si l'on tire la corde AB , le centre de gi^avité doit se trouver entre les points D et E.

Supposons que par tous les points de la ligne DE, on mène des parallèles à la corde AB, qui se terminent à la courbe, et que Ion conçoive que chacune de ces lignes porte à ses extrémités les parties de courbes correspondantes , la ligne DE se trouvera chargée de tous ces poids ; et comme les portions de courbe qui répondent à chaque parallèle AB vont en augmentant à mesure qu'elles se trouvent plus près de D , le centre de gravité G doit se trouver plus proche du point D que du point E.

Pour déterminer la position de ce point sur le rayon CD, qui divise l'arc en deux parties égales, il faudra faire cette proportion : la longueur développée de Tare ABD est à la corde, AB comme le rayon CD,

. , ABxCD

est à un quatrième terme x dont la valeur sera exprimée par ^^^

c'est-à-dire que pour avoir sur le rayon DG la distance CG du centre de

gravité au centre de l'arc de cercle, il faut multiplier la corde ABpar le

rayon CD , et diviser le produit par le contour développé de l'arc ABD.

Lorsque la circonférence du cercle est entière, les axes d'équilibi^

étant des diamètres, il est évident que leur intersection donne pour centre de gravite le centre de la courbe. 11 en est de même de toutes les courbes entières et symétriques qui ont un centre, et de tous les assemblages de lignes droites , formant des polygones réguliers et symc<triques.

Du centre de granté des surfaces.

Pour que les surfaces puissent avoir un centre de gravite , il faut de même que les lignes, les supposer matérielles, c'est-à-dire composées de parties solides , homogènes et pesantes.

Dans les surfaces planes et unies , le centre de gravité est le même que celui du volume ; ainsi , le centre de gravité G d'un carré , d'un rectangle ou d*un parallélogramme est déterminé par l'intersection des diagonales AD, BC, Figures 16, 17, 18.

Le centre de gravité d'un polygone régulier, composé d'un nombre pair ou impair de côtés égaux, est le même que celui du cercle auquel il pourrait être inscrit ou circonscrit.

Pour trouver le centre de gravité d'un triangle quelconque, Figure 18, il faut tirer du milieu de chacun de ses côtés des lignes à l'angle opposé; le point d'intersection de ces lignes sera le centre de gravité cherché; car en faisant pour chaque côté la supposition que la surface du triangle est composée de lignes droites parallèles à ce côté, les lignes AE, BF et CD seront des axes d'équilibre dont l'intersection G doit donner le centre de gravité (pag. 12, premier alinéa). On trouvera de plus que ce point est au tiers de chacun de ces axes , à partir de la base, en sorte qu'il suffit d'en tirer un seul et de le diviser en trois parties égales, le point le plus près de la base sera le centre de gravité du triangle.

Pour trouver le centre de gravité d'une surface rectiligne irrégulière quelconque, telle que le pentagone ABCDE, Figure 20, on le divisera en trois triangles AED, ABC, ADC, dont on déterminera les centres de gravité F, G, H. On tirera ensuite deux lignes NO, OP, qui forment un angle droit, dans lequel ^e trouvera placé le polygone. On multipliera ensuite la surface de chaque triangle par la distance de son centre de gravité à la ligne ON indiquée par F/, G^, HA, et on divisera la somme de ces produits par la surface entière du pentagone , ce qui donnera une distance moyenne, par laquelle on mènera une parallèle indéfinie IK à ON ; en faisant la même opération par rapport à la ligne OP,

on aura une nouvelle distance moyenne pour mener une autre parallèle LO à OP, qui coupera la première en un point M, qui sera le centre de gravité du pentagone. ^

Le centre de gravité d'un secteur de cercle AEBC, Figflféf'21 , doit être sur le rayon CE, qui divise l'arc en deux parties égales; pour déterminer à quelle distance du centre C de l'arc ce point G doit se trouver, il faut, après avoir multiplié le double du rayon CE par la corde AB , diviser le produit par trois fois la circonférence AEB. Le quotient de cette division exprimera la distance CG du centre de gravité du sec* teur au centre de la circonférence AEB.

Pour trouver le centre de gravité d'une partie de couronne DAEBF^ Figure 22 , comprise entre deux circonférences concentriques , il faut :

1 •. Chercher le centre de gravité du grand secteur AEBC , et celui du petit DFG;

2'. Multiplier la superficie de chacun de ces secteurs par la distance de leur centre de gravité au centre commun C;

3\ Soustraire le plus petit produit du plus grand , et diviser le reste par la superficie de la partie de couronne DAEBF; le quotient donnera la distance du centre de gravité G au centre C.

Pour déterminer le centre de gi^avite d'un segment AEiB , Figure 23 , il faut ôter le produit de la superficie du triangle ABC, multipliée par la distance de son centre de gravité au centre C , du produit de; la superficie du secteur par la distance de son centre de gravité au même pointe, et diviser le reste par la superficie AEB; le quotient exprimera la distance du centre de gravité G du segment au centi^ C , qu'on portera sur le rayon EG qui divise ce segment en deux parties égales.

Les méthodes que nous venons d'indiquer suffisent pour trouver le centre de gravité de toutes sortes de surfaces planes, quelle que puisse être leur figure; il ne faut pour cela que les diviser en triangles , en secteurs ou segmens , et opérer comme il a été dit pour le pentagone irré* gulier, page 14, dernier alinéa.

Du centre de gravité des solides.

Nous supposons toujours que les solides dont il va être question , sont composés de parties homogène^, dont la pesanteur est partout uniforme. Nous avons distingué toutes les espèces de solides en deux classes principales : savoir ♦ les solides réguliers et les solides irrégulier? .

Les solides réguliers compris dans la première classe peuvent être considères comme composes d*élémens de même figure que leur base , posés les uns sur les autres , de manière que tous leura centres de gravité se trouvant, dans une ligne verticale que nous appellerons axe droit Ainsi les parallélipipèdes y les prismes , les cylindres y les pyramides , les cônes , les conoides , les sphères et les sphéroïdes, ont un axe droit sur lequel se trouve leur centre de gravité.

Dans les parallélipipèdes y les prismes , les cylindres , les sphères , Les sphéroïdes , le centre de gravité est placé au milieu de Taxe droit y à cause de la similitude et de la symétrie de leurs parties également éloignées de ce point.

Dans les pyramides et les cônes, Figures 24 et 25, qui diminuent depuis la base jusqu'au sommet y le centre de gravité est placé au quart de Taxe, à partir de la base.

Dans les paraboloides qui diminuent moins à cause de leur courbure, le centre de gravité est placé au tiers de Taxe depuis la base.

Pour trouver le centre de gravité d'une pyramide ou d'un cône tronqué , Figures 24 et 25 , il faut 1 •. multiplier le cube du cône entier ou de la pyramide par la distance de son centre de gravité au sommet; 2*. ôter de ce produit celui de la partie MSR, qui manque au cône ou à la pyramide tronquée, par la distance de son centre de gravité au sommet; 3*. diviser le reste par le cube du cône ou de la pyramide tronqués ; le quotient sera la distance du centre de cavité G de ces parties de cône ou de pyramide tronqués à leur sommet.

Le centre de gravité d'une demi-sphère est aux trois huitièmes du rayon qui forme sa hauteur , à partir du centre.

Pour trouver le centre de gravité d'un segment de sphère , Figure 26 , il faut faire cette proportion : le triple du rayon moins l'épaisseur du segment, est au diamètre moins les trois quarts de l'épaisseur du segment , comme cette épaisseur est à un quatrième terme qui exprimera la distance du sommet à son centre de gravité placé sur le rayon qui lui sert d'axe.

Ainsi, désignant le rayon par r, l'épaisseur du segment par e , et la dis* tance que l'on x^herche par x^on aura, suivant M. De La Gaillie'.

Se 8re — See

3r — e : 2r — -r ::e:x qui*donne x = ,ay^— ie ^ Leçons élémentaires de Mécanique, page 118.

Supposons actuellement que le rayon est de 7 pieds, et l'épaisseur du

segment de 3 pieds/ on aura x = ^^^ ^^ qui donne, après avoir

fidt les calculs indiqués, x=:i+7f = 1-f-7;yqui sera la distance dû sommet de ce segment au centre de gravité sur son axe.

Pour avoir le centre de gravité d'une zone de sphère Figure 27, on opérera comme nous l'avons expliqué ci-devant pour les pyramides ou cônes tronqués, c'està-dîre qu'après avoir trouvé le centre de gravité du segment retranché , et de celui dans lequel la zone est comprise, on multipliera le cube de chacun par la distance de son centre de gravite au sommet A, et après avoir été le plus petit produit du plus grand, on divisera le reste par le cube de la zone.

Ainsi, en supposant, comme ci -devant, que le rayon AC est 7, que

l'épaisseur de la zone est de 2, et celle du segment retranché 1 7, on

trouvera la distance du centre de gravité du segment retranché par la

- , ^re—Zee . , . 4x^X7X1 T—3xa^ formule x=zyi^ ; qui donne pour ce cas-ci j: = 77 r. ^

et après avoir fait les opérations indiquées x'=^^ qui sera la distance du centre de gravité au sommet A'; celle du centre de gravité du segment dans lequel se trouve comprise la zone, sera, d'après la même

formule, je: = . * ^ — ^,qui donne, après les calculs faits,

;r=2+7^ pour la distance de son centre de gravité au même point A. Pour ne pas rànvoyer le lecteur à des élémens de géométrie, nous allons indiquer le moyen de trouver la solidité ou cube d'un segment et d'une zone de sphère.

On démontre dans tous les élémens de géométrie, que la solidité de la sphère est égale au produit de sa superficie par le tiers du rayon , parce qu'elle peut être considérée comme étant formée d'une infinité de pyramides qui ont leur base à la superficie, et leur sommet au centre.

Une portion de sphère telle que ABCD, Fignre 26, appelée secteur, présentant d'un côté un segment de sphère BAD , et de l'autre un cône dont le sommet est au centre G, a aussi pour mesure le produit de la surface BAD, par le tiers du rayon AG ou BG, parce qu'on le suppose composé de pyramides terminées au centre, et qui ont pour base la su* perficie du segment BAD.

Il est encore démontré que la superficie d'une sphère entière est égale au produit de la circonférence de son grand cercle par son diamètre, et que celle d'un segment se trouve en multipliant la circonférence du grand cercle par la flèche AI ou AK qui mesure son épaisseur. Nous allons faire l'application de ce qui vient d'être dit , aune zone de sphère, Figure 27 , dont il s'agit de trouver le centre de gravité : d'abord pour le grand segment BAD, dont l'épaisseur est supposée 3 {.

Le rayon étant 7, le diamètre 14, la circonférence sera 44, ce qui donnera la superficie de ce segment égale à 44 x 3^ dont le produit est 154.

Celle du petit segment sera 44x1 7, qui donne 66.

Le cube du grand secteur GBAD sera 1 54 x 7 y qui donne 359 \.

Pour avoir celui du segment BAD, il faut en ôter le cube du cône BGD , égal au produit de sa base, qui est un cercle dont le rayon est BK, par le tiers de KG; à ce sujet il faut remarquer que la surface du cercle est égale au carré de son rayon multiplié par 3 j, et que la propriété du cercle donne le produit de AKx KL, égal au carré de BK, rayon du cercle qui forme la base du cône ; d'où il résulte qu'on aura la superficie de ce cercle en multipliant le produit de AK par KL par 3 7 , c'est-à-dire 37X lO^xSj, qui donne 1 15 7 et que le cube du cône sera

ii5-X3-

— 4 — *" qui donne 1 34 77 : ôtant ce cube de celui du secteur que nous

avons trouvé=359 7 , le reste 2247;, ^^^ 1^ cube du grand segment BAD dans lequel se trouve comprise la zone.

La superficie du petit segment étant 66 , on aura le cube du secteur auquel il répond, en faisant le produit 66 x 7 qui donne 154 ; le cube du cône qu'il faut retrancher pour avoir celui de ce segment sera, d'après ce

qui vient d'être dit, égal à AIx IL x 3^ x y= < t X ^2^ x 3^ x -*

qoi donne, après avoir fait les calculs indiqués, 108 -^ pour le cube du cône, lequel étant àtè de celui du petit secteur que nous avons trouvé avoir pour valeur 154, donnera le cube du segment cherché EAH, 45 fj. Connaissant le cube des deux segmens , la distance de leur centre de gravité à leur sommet commun A, pour avoir celle du centre de gravité, de la z6ne au même point, il faut multiplier le cube de chaque segment par la distance de son centre de gravité au point A , et après avoir soustrait le plus petit produit du plus grand, diviser le reste par le cube de la zone.

Ainsi le moment du grand segment, c'est-à-dire le produit de son cube par la distance de son centre de gravité au sommet A étant exprimé par 224^2. x 2ii, 8era= 510 ^ et celui du petit 45 ^ x jî^ = 45 ^; Différence 465 ttH

Cette différence divisée par le cube de la zone que nous avom trouvé être 1 78 •;^, donnera pour la distance du eentre de gravité de cette zone au sommet A =27777, ou à très-peu de chose près 2-^. Nous sommes entrés dans tous ces détails, pour en faciliter l'application aux gens de Fart , et à ceux qui n*ont pas toujours toutes les propositions de géométrie présentes à Tesprit

Du centre de gravité des solides irréguliers.

Gomme toutes sortes de solides , quelle que soit leur forme, sont susceptibles d'être divisés en pyramides , de même que nous avons fait voir à la page 14, quatrième alinéa, que les surfaces planes irrégulières pouvaient se diviser en triangles, il en résulte qu'on peut trouver leur centre de gravité par la même méthode. Mais au lieu de deux lignes formant un angle droit , il faut supposer deux plans verticaux NAC, CEF, entre lesquels est placé le solide G ; Figure 2'8. On rapportera à chacun de ces plans les momens des pyramides , c est-à-dire le produit de leur cube par la distance de leur centre de gravité ; on divisera la somme de ces produits, pour chaque plan, par le cube total du solide; le quotient indiquera la distance des deux autres plans BKL , DHM parallèles aux premiers. L'intersection de ces deux derniers plans donnera une ligne IP

ou axe d'équilibre sur lequel doit se trouver le centre de gravité du solide. Pour déterminer ce point G, on imaginera un troisième plan NOF, perpendiciilaire aux précédens, c'est-à-dire horizontal^ sur lequel on peut supposer que le solide est placé. On cherchera encore, par rapport à ce plan , les momens des pyramides » en multipliant leur cube par la distance de leur centre de gravité ; divisant ensuite la somme de ces produits par le cube du solide entier, le quotient donnera sur Taxe la distance PG de ce troisième plan au centre de gravité du solide iri^gulier.