CHAPITRE m

RÉSUMÉ DES PRINCIPES ET THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE L'HYDRAULIQUE , APPLICARLES A L'ÉTUDE DES DISTRIBUTIONS D'EAU.

32. L'étude des projets de distribution d'eau exige, sinon la connaissance approfondie de l'hydraulique, du moins celle des principes et des théorèmes fondamentaux de cette science ; car c'est sur eux et sur quelques données fournies par l'expérience que reposent les formules spéciales qui doivent servir à résoudre les dififérents problèmes qui peuvent se présenter dans cette étude. Ces connaissances préliminaires se trouvent dans tous les traités d'hydraulique, et nous aurions pu nous borner à y renvoyer ; mais nous avons pensé qu'en les présentant dans ce chapitre d'une manière sommaire, sous une forme moins générale et plus appropriée aux applications que nous devons en faire dans le reste de cet ouvrage, nous épargnerions à nos lecteurs un travail assez pénible. Nous avons, du reste, cherché à abréger cette partie autant que possible, et à ne conserver des démonstrations que ce qui nous a paru indispensable pour faire comprendre les résultats.

33. En mécanique, on considère l'eau comme un corps fluide et incompressible, c'est-à-dire, qui peut changer de forme indéfiniment, se mouler dans les vases qui le contiennent sans présenter de résistance, et être soumis à la plus grande pression sans changer de volume.

En réalité, l'eau n'est ni incompressible, ni parfaitement fluide ; mais ses changements de forme par l'efiet de la pression sont si petits que, jusqu'à présent, on ne s'en est pas occupé dans la pratique. Quant à la force de cohésion, elle joue un rôle assez important dans un grand nombre de phénomènes, et nous nous en sommes occupé dans nos Etudes sur le mouvement des eaux courantes; parce que, dans les grands cours d'eau, les molécules liquides peuvent prendre des vitesses sensiblement différentes les unes des autres; mais dans les rigoles, dans les conduites qui desservent les distributions d'eau, les dimensions des sections et les vitesses sont toujours trop faibles pour qu'il puisse y avoir de l'intérêt à tenir compte de

4E TRAITÉ DE LA œNDUtTE ET DE LA DîOTRtWUTlON DES EAUX.

la cohésion, c'est-à-dire des forces qui se développent lorsque les molécules glissent les unes sur les autres. Nous considérerons donc, dans toutes les questions dont nous allons nous occuper, Feau comme parfaitement fluide et incompressible.

34. De ces deux propriétés on tire les conséquences suivantes, qu'il nous suffira d'énoncer : .

1** La surface d'un liquide en repos est horizontale ; 2"* Toutes les tranches horizontales éprouvent la même pression p sur chaque unité de surface ; de sorte que si w est la surface d'une tranche horizontale, la pression qu'elle supporte est^jw;

3** Cette pression p est égale au poids du liquide supérieur sur l'unité de surface, augmenté de la pression Pq qui a lieu sur la surface supérieure ; de sorte qu'en appelant p la densité du liquide, et z la distance verticale de la tranche à la surface supérieure, on a : /> = p2 + Po.

4^ La pression sur un élément de surface plongé dans l'eau, quelle que soit son inclinaison, est égale à la surface de cet élément, multipliée par la pression par unité, p2 4- Po > de la couche horizontale qui passe par le centre de cet élément ;

5** Si le long delà paroi d'un vase fermé (flg. 1), dont la surface supérieure ÂB supporte une pression Pq Ûq? on perce des trous à diverses hauteurs, et qu'on y applique des manomètres mn, pq, dans lesquels le vide aura été fait; le liquide s'y élèvera au-dessus de AB, à une hauteur fe, capable de produire sur la paroi une pression égale à p2+Po; on aura donc :

et par conséquent

Toutes ces colonnes manométriques s'arrêteront à une surface A'B'

P que nous appellerons surface de pression élevée de H. = -^ au-dessus de

AB. Cette surface, dans le cas où le liquide est en repos, est un plan horizontal; et si la surface AB est exposée à l'air libre, et que le liquide soit

de Teau, en appelant P. la pression atmosphérique, et Ha = -^ la hauteur d'eau capable delà produire, on a :

Ho = Ha =10^33.

PRINCIPES ET THÉORÈMES GÉNÉPAUX DE L'HYPRAUUQUE. 45

6" Si Ton applique à la paroi du vase des manomètres m'?i', pq soumis à la pression de l'air, Teau s'y élèvera au-dessus de la surface AB à une hauteur H' telle qu'on ait :

En appelant Pa la pression par mètre carré de T atmosphère, on aura donc

Ttr Po — 'Po

Toutes ces colonnes manométrîques s'arrêteront à une surface CC, que nous appellerons surfeoe de charge, et qui, dans le cas où le liquide est en repos, est un plan horizontal. Sa distance A'C à la ligne de pi^ession est Ha.

Si la surface AB n'éprouve d'autre pression que celle de l'atmosphère, la surface de charge se confond avec celle de la couche supérieure du liquide.

Il est essentiel de remarquer que le niveau des colonnes manomélriques, pour le liquide en repos, n'est Influencé ni par leur section, ni par leur direction, ni par la position ou )a grandeur des orifices auxquels elles correspondent.

3S, Considérons maintenant (fig. 2) un liquide en mouvement dans un vase entretenu constamment plein, et cherchons les relations qui existent en ire les quantités suivantes :

% la surfaoe supérieure; ûD la surface d'une section quelconque; Û la surface de la section extrônae; p la densité du liquide ; z la distance verticale de la section quelconque o) à la surface

supérieure; Z celle de la section extrême à la même surfhce ; s la longueur de la paroi du vase comptée à partir de la surface supérieure; Po» P? P l^s pressions par mètre carré : sur la section supérieure, sur

la section quelconque, sur la section de sortie ; H^, ^, H les hauteurs du liquide produisant ces pressions sur l'unité de

surface ; Vo, V, V les vitesses des sections iî^, «, Q,\ g l'intensité de la pesanteur ; X le périmètre d^unç section quelconque du vase.

Dans ce qui va suivre, nous continuerons d'ailleurs de désigner par Ha la hauteur de liquide qui produirait la pression Pa de l'atmosphère.

L'expérience a appris que le mouvement d'un liquide dans un vase développe une force retardatrice proportionnelle au périmètre x> croissant avec la vitesse, et indépendante de la pression ; de manière qu'on peut la représenter par xA(v). U y a donc une dififérence complète entre les lois du frottement des liquides et des solides.

Le frottement est :

Pour ks solides, proportionnel à la pression , indépendant de la surface de contact^ indépendant de sa vitesse.

Pour ks liquides, indépendant de la pression , proportionnel à la surface de contact , proportionnel à une fonction qui croit rapidement avec la vitesse.

Il suit de là que chaque tranche du liquide est soumise à une force retardatrice qu'on peut représenter par xf{v)d$'^ -f[v)d^ est donc l'intensité de cette force par unité de surface dans la tranche &>. On pourrait la remplacer par une colonne de liquide d'une hauteur rft/, qu'on détermi-

nerait par l'équation : pdy = ^f(v)ds. D'où il suit que y = / ^f(v)ds est

la hauteur de la colonne de Uquide qui remplacerait le frottement de la paroi du vase, depuis la surface AB jusqu'à la section co. Le volume d'une tranche quelconque w, est wck; son poids, pcécfo; sa

Q<ùdS

masse, ^ — .

Voici maintenant les forces qui agissent sur cette tranche : son poids, la pression sur la surface supérieure w/), la pression sur la surface inférieure en sens contraire du mouvement «(p + dp) (ces deux forces se réduisent évidemment à — wdp); enfin le frottement — x/(^)-

Le travail de ces forces pendant l'instant dt est :

pour la pesanteur, prùdsdz,

pour la pression, — <ùdpds^

pour le frottement, — xfiv)^^^*

L'équation du mouvement de la tranche sera donc : f— i vdv = ptùdsdz — (àdsdp — x/l^) ^^ 9