DE L'ÉCOULEMENT LIBRE DE L'EAU

Pour apprécier Tinfluence des quantités qui entrent dans ces équatiens, on peut faille di]^erses hypothèses.

S'il s'agit de faire écouler un volume d'eau déterminé dans une rigole donnée, on a : Q = const.i|i2=const.y et on tire des équations précédentes :

du l+h dt dh u~Zl+^h f ~ T'

c'XHk Toit que l'influence de la pente est d'autant plus faible que la hauteur de Fèau sur le radier est moins considérable. Ainsi, une augmentation de pente de un 10°* ne donne qu'ime augmentation de un 30°''' dans les basses eaux; elle sera plus considérdUe dans les eaux moyennes : pour 2 = A, un 25"^*; mais elle ne s'élèvera jamais à nn 20°"'. La hauteur de l'eau sur le radier suit la même loi que la vitesse, c'e8t-à-dii;^j|u'elle diminue très-peu quand la pente augmenttt^|piit-être s'est-on exagéré Telfet de la pente dans la constructi0n de ql4l|ptoa rigoles.

Supposons maintenant t et / cfflirtfntes, c*est-à-dire que la rigole est constnntft> l'influence réciproqacr j^Jbi^ vitesse, du volume débité et de la hauteur sur le radier est donnée par les équations !

du l dQ i l dh u^Zl+U Q~ïl+h h'

Si h aiitft^-ipetit, radgmentation de volume a|l|t sur la vitesse comme l'augmentation de pente, c^est-à-dire que les augmentations sont entre el)fli3 comme 1:3. Si hz=zl elles deviennent conmie 1;5; si h devient tièiigfaDd, la viteiee devient constante. Quant â^Ji'accroissement de hau- U0 mat le radier, Jl augmente avec celui du Volume dans le rapport de 2 à 3.

Lorsque le voluine et la pente sont constants, on a : ém^ i-h dh h^l di

Ces équations font voir que tant que h est plus petit fue / la vitesse crott avec hy mateque ses accroissements sont demefais en moins rapides; u est un maximum pour l=zhyU décroit ensuite avec h. Ainsi, lorsqu'on veit avoir le maximum dèfritesse dans un rectangle^ il faut lui donnw une largeur double de sa hautevir ; il est alors la moitié du carré qui lui-même donnerait la sat||pn rectangulaire la plus avantageuse pour une conduite forcée. Le cercft étant la BurAice qui donne le nrfnimum pour l'exprès-

150 TRAITÉ DE LA COiNDUITE ET DK LA DISTRIBUTION DES EAUX.

siOrt -, présente d'une manière absolue la sectioti la plusârantageiu»; on

ne peut donc avoir dans une rigole, quelle que soit sa section, de vitesSe plus grande que celle qui aurait lieii dans le demi-cércle. De l'équation (4Î) on tire pour lé cas dô reClangle :

en faisant l=nh, mettant pour m sa valeur 5jr=2(îT^* ^ ^ WB**N?* que le diamètre de la conduite forcée est donné par Téquation D*=gf^J j il vient : '.'^

La hauteur d0 la rigole ae trouvé mmi détetaÛDée par une formule ian|»blable à celle qui donne le diamètre de la coflA oite forcée équivalente^ et peut se calculer de la mènld manière au moyen des tables*

96. Si Ton compare entre elles IfH vitesses de Teau et les lihafnsiiHis des divers systèmes de lynduites qu'on peut adopter pour la traosportet* entre deux points donnés, on arrive à des résultats qu'il est bon de con- naître.

Soient : D^ le dî^i^E^|Épl ^^ conduite foroée»

D', le diao^lfi^e^ la rigole foriaaiit demi-cercle^ hy la hauteur du rectangle,

2nft, sa base, . , , ^.^>

Vf u\ ii| Ifls vitesses oorrespoodautes k ces diverfai seirtM^llir^ On aura :

ânA'tt=«iitD'»=:|irD'*u'.

* Dans teiiB ces calculs companMIi eetre àts sectûMis des tuyaux et les McjÉjh des in[ttedi«B

o^ rigoles, nous n'avons pas hésité à §^ettre que les coefficients a et 0 sont les m4m^, quoique certainement ils soient différents. Il est d'usage en hydraujikue d'admettre deux valeurs jpôur ctes codfhciehts^ suivant qu'<MI )te applique à des tuyaux ou ii des canaux artificiels : Peur les conduites on admet M eoefOeients de Preny . . . dK||ift0,0M0iT8 , p=:O,9O0M

Pt^ur les canaux, ceux d'Eytelwein...i,..v ^ ^^^(^OQftm^ ^=0,000900

Nftjis evens exposé, dans ny Éimlet mtr fe mêfwcmt^iiê^ eg»a? fiwrfwft», to mitffe f<i mm

OK liSiCOULEIIHIT UBRE DE L'EAU. 131

De ces é(|tiations on tive facilement (eD négligeant a par rapport à ^ (|Uand ces coefficients se trouvent à la fois au numérateur et au 'dénomi- BMeUr) :

»=lDlXÏ^=^|X^, D = Dy*=i,32D, («)

Si Vçn fait n = l, ce (|ui donne le rectangle de plus grande vitesse, on a :

fc = 0,60 Dfir 0,454 D' U = 1,09 t;= 0,945 u'.

Pour déterminer la section ^Orte rigole ou d'un aqueduc, on peut donc calculer d'abord le diamètre de la conduite forcée , qui aurait je môme débit, et déduire eq^uite j^r I^b formules j[)récédentes la hauteur du rectan||le équivalent, qui e^Mj^ale à 0,60 D, quand ce rectangle ^oit former un dQubl^ carré; on prendrait D'=1|3^D, si l'on voulait quela^rkole fût un demi-cercle. Dnôn, pour un ré(é|0figle de forme déterminée, Ta. hauteur h est donnée par les formules précédentes, où par les équations (42) et (43). On remarquera que la Vitesse de l'eau, t)lus fait)le dâhs le rectangle double carré que dans la conduite demi-circulaire, est plus consi- (Urable qi|e (j^ns la conduite forcée; jf^te différence disparaîtrait, il est vrai, pouf d'autres sections moins ^A|iDtageuses à la vitesse. Si dans

iA formule (44) on fait n = ^j ce qui donne une section c^rrée^ on t :

C'est-à-dire que la vitesse pj^^à peipe ^^minuée 4e 2 pour 100 ; pour qu'elle devint ce qu'elle serait dans la conduite forcée, il faudrait qu'on ei^t :

' ■(i^.=ll'*OM n=2,U±l,8d,

ou tt=y^3, n=0,25.

Il faudrait donc que le cana) eût une base égale à huit fois sa hauteur,

paraissent devoir faire cqosidérer ces coefficients comme très-inexacts, surtout en ce qui concerne les canaux artificièfi. Dans rélal4e la Aliénée, et surtout fapsqiri) ne s'agit que de priib* cipes généraux, notre hypothèse nous a paru d'autant plu^ admissible que les formules quo^nous donnons ne coiiliennent jamais que les rapports entre ces coefficients élevés â des puissances fjrikionnaires.

132 TRAITÉ DE LÀ CONDUITE ET DE U DISTRIBOTiON DES EAUX.

oa à la moitié de sa hauteur (SI=2nA). Dans les sections ordinaires des aqueducs, la vitesse de l'eau est donc plus grande qu'elle ne le serait dans la conduite forcée équivalente, et par conséquent la section mouillée est plus petite. Les formules précédentes donnent le moyen de la calculer exactement.

On remarquera que la vitesse est la même quand le rapport n se change

en -; c'est une conséquence de ce que nous avons déjà dit qu'une rigole

est un demi-tuyau. Or, il y a deux manières de prendre la nioilià'^l'un rectangle àr côtés inégaux, par des droites parallèles à ces côtés (fig. 39). Ainsi les aqueducs ABCD, A'B'G'D', quoique de formes très-différentes, sont équivalents en déhit, en section, en vitesse, parce qu'en les doublant on obtient deux rectangles égaux.

De l'ensemble des calculs que nous venons de faire on doit conclure qu'en général le rapport entre la hauteur et la base du rectangle n'a que très-peu d'influence sur la vitesse de l'eau, et qu'dn peut presque toujoDuns les altérer pour satisfaire à d'autres convenances. Cependant, il est bon de pouvoir se rendre compte des dimensions qu'on adopte pour ne pas faire de contre-iens dans les proporlioDs; car, quelque faible que soit un avantage, il ne faut y renoncer que centre une compensation au m<^s équivalente. C'est par ce motif que nous croyons devoir présenter encore quelques calculs relatifs au trapèze, quoiqu'tt soit bien évident qu'on lie peut trouver dans cette figure des conditions beaucoup meilleures que dans le rectangle. ^^

97. Soient : / la demi-largeur du plafond (fig. 38), h la hauteur d'eau sur ce plafond , 9 l'angle àa talus avec la verticale, nous aurons :

X=2(^+^)' a)=2tt+fc*tang9, ..#u = Q.

Il résulte de l'équation (40) que,^pour Q et t constants, on a :

* du ^^ i dx ^*^ i ^^

On doit donc avoir, pour que la vitesse u smt.un maxiâmm :^

On peut prendre arbilraiiement une des troîsiquantités /, fe, ç, qui dé-

D£ L'j|lGÛlJLEM£NT LIBRE DE L'EAU. 193

terminât le trapèze ^ la supposer par exemple donnée par des convenances étrangères àfWM)uIement de Teau^ et déterminer les deux autres

^ " \jjiu la condition dx=^o, d(^=o.

y.'* Soit d'abord l'angle 9 donné, nous aurons :

cos(fdl + dh=Of ldh+hdl + tang(f hdh=0; d'où nous tirerons :

/+fetang(p=-^;

c'est-à-dire que la largeur de la rigole au niveau de l'eau doit|^ 4^s ce cas, être égale à la longueur du talus. Ainsi, pour une inclinafaè^ donnée du talus BC (fig. 40), on aurait les trapèzes BCMN, BC'M'N', BCM'TJ" pour demi-sections, suivant l'importance du débit. Dans le cas jya la ligne BC serait verticale , on aurait le rectangle double carré ; si eHe avait l'inclinaison du côté de l'hexagone, le trapèze serait la moitf^ de ce polygone régulier (fig. 41).

Si la lai|;eur l est donnée, on a :

dh=: — Atangfdf , 2ldh + 2htaing(fdh'i y-rf(j)=o,

ai en mettant dans la seconde équation la valeur é&dh tirée de la première)^

2/ sin f cos 9 4- 2/1 sin* ff^àj , 2/ sin 9 cos(p= fe (cos'f^ sîn' 9),

W tang29=y. -

On voit que plus la largeur 31 au fond est grande, plus le talus doit ^ s'approcher de la verticale.

Si la hauteur h est donnée^ on a :

d'où Ton tire : ^ sin 9 = ^.

C'est l'angle qui fait atec la verticale le côté du demi-hexagone. Cette figure est donc celle du maximum de vitesse, lorsque ni l ni h ne sont donnés, car nous avons vu plus haut i|ue lorsque ^ et / sont indéterminés, ces dimensions doivent avoir la relation qui existe dans l'hexagone pmir que la vitesse soit la plus grande possible. On calculerait facilement la vitesse #qui a lieu dans l'hexagime. En effet, de

«34 TRAITÉ DE LA CONDUITE ET DE LA Dlfl9U||UT10N DES EAUX.

on déduit: v"=m [/^l|/37r = 0,98u'.

L'hexagonç donne donc une perte de 2 pour 100 sur la vitesse qui a lieu dans le demi-cercle, et par conséquent, d'après ce que nous avon^ vii plus haut, une augmentation de 4 pour 100 environ sur le rectangle double carré.

98. Lorsque le volume à conduire est variable, et qu'on désire avoir le plus de vitesse à toute hauteur, il est évident que l'écoulement doit se faire entre deux talus ; on a / = o, et réqiy^liiiin ,

H sin ç coB(f=h (cos®9— sin*9) .■'-

donne alors : cos © = sin 9 = - kl8 ; -f^l^ ..

c'est-à-dire que l'angle compris entre les deux droites formant ta)qs'8S droit (fig. 42). C'est la section qui conviendrait évidemment àQ3^ égouts, si d'autres considérations ne faisaient pas sentir la nécessité de donner une certaine largeur au radier. Il est évident que dans cet angle Feau droit la vitesse due à 1^ forme carrée, puisque, quel que fût son niVi la section niouillée serait un demi-carré ; de sorte que la vitesse y devîei^ drait : 1,07 v, c'est-à-dire de 7 pour 100 plus grande que dans la conduite forcée, mais de 8 pour 100 plus faible que dans le demi-cercle, Sfljèndu qu'on a : m'=:.1,15u.

99* En résumant les divers résultats que nous venon9 d'pbtçnir, npus trouvons que si v est la vitesse dans la conduite forcée de même débit :

La vitesse maximum qui a lieu dans la conduite lilm demi-circiilaire f^U li49it

La vitesse qui a lieu dans l'hexagone est , 1,13 1;

La vitesse dans le double carré est , 4,09 1;

La vitesse dans le carré est 1,07»

Dans le rectangle dont la hauteur est 1/8 de la base ou 2 fois la base ... b

Dans des rectangles plus plats ou plus droits que edux donnés par cette dernière proportion, la vitesse est plus petite que v.

Les formules précédentes nous paraissent résoudre tous les problèfOfS auxquels peut donner lieu l'établissement d'une rigole ou d'un aqueduc^ dans le cas où la pente 0t la section de cet ouvrage, ainsi que le volqjriM des eaux, seraient constants. Lorsque ces quantités n'éprouveiont qiie de

DE L'ËCOULEJMRNT LIBR^ DE L'bAIJ. 135

légères variations, ou lorsqu'on voudra se contenter d'une approximation presque toujours suffisante pour la pratique, on pourra représenter la ligne d'eau par une série de lignes pai*allèles au fond de l'aqueduc prolongées jusqu'à leur rencontre, en raccordant ensuite les angles par des courbes ayant leur origine aux points de variations de la pente de la section ou du volume (fig. 43). Si les changements de pente, cle section ou de volume étai«Qt très-coDsidérablcNii il faudrait avoir recours à l'équation du monve^ ment Varié, qui l'é^oatfo problème d'une manière eofilplète, ainsi que nous l'avons fait voir dans le chapitre II de nos Etudes Sur le mouvement des eaux courantes; nous ne pouvons qu'y renvoyer pour les cas fort rares où les distributions d'eau pourraient fournir des applications des formules contenues dans cet ouvrage.

n réiulte des notions théoriques exposées dans ce chapitre, c[ue les circoDStances du mouvement de l'eau dans les aqueducs se déterminent par les mêmes formules que dans les tuyaux. En adoptant, par exemple, pour secbon un demi-cercle, on obtient un aqueduc qi4 se comporte exacte- Ijpeot comme un tuyau qui conmbail un volume double. Cette figure est la section minimum ou de plus grande vitesse, mais les autres sections jie jNrésentent que de légères différences avec celle-là, et le calcul les détermine facilenaed^. lin'ya pas, mathématiquement parlant, d'aqueduc qui ne pifisse être remplacé par un tuyau, il n'y a pas de tuyau qui ne puisse être remplacé par un aqueduc ; le choix entre les deux systèmes de conduite rep()ise sur des considérations qui feront l'objet du chapitre suivant.