CHAPITRE VII

Les tables de mortalité et la vie moyenne.

Nous diviserons ce chapitre en trois paragraphes : i"* définition; 2^ historique; S"* état actuel de la question : ce classement des matières nous permettra dlnitier sans fa* tigue les personnes étrangères aux mathématiques à cette question de la mortalité qu'on aime tant à envelopper d*un appareil algébrique. Nous nous demandons parfois siTexactitude intégrale et infinitésimale est toujours plus exacte que l'exactitude purement arithmétique quand on emploie des chiffres qui ne sont que très approximatifs?

§ !•'. — MORTAUTÉ ET VITALITÉ. — VIE MOYENNE ET VIE PROBABLE. — SIMPLES DÉFINITIONS.

Il n*y a peut-être pas de fait qui ail frappé Thumanité autant que la mort. Les religions ont cherché à l'expliquer par d'ingénieuses légendes, car le sentiment humain n'a jamais pu accepter la pensée que la destruction serait com-

plète et définitive. Ne pouvant pas sauver le corps, on a du moins fait des réserves pour Târoe. L'attention des hommes était donc en éveil sur ce point, et lorsqu'on découvrit, — nous dirons plus loin à quelle époque, — qu'il y avait, soit par l'influence d'une providence régulatrice des choses d'ici bas, soit par l'effet des lois naturelles, une certaine régularité dans le mouvement des décès, de sorte que les faits connus permettaient de prévoir l'avenir, du moins avec une certaine probabilité, les règles qui semblent présider à ce mouvement devinrent Tobjet d'études suivies. On y mit encore plus d'ardeur lorsqu'on vit la possibilité d'utiliser cette régularité pour des entreprises industrielles ou commerciales : et ce sont en effet les compagnies d'assurance, ou plutôt les mathématiciens à leur service, qui s'occupe* rent avec le plus d'assiduité, sinon avec le plus de succès, à calculer le taux de la mortalité. Toutefois, certains mathématiciens consacrèrent leurs méditations à ce sujet par pur amour de l'art; de leur côté, les hommes d'État, et à leur suite les statisticiens, considérèrent la mortalité comme un indice de la situation du peuple, comme un moyen de mesurer sa prospérité ou sa misère, et même sa moralité, et ils firent des efforts pour perfectionner un instrument aussi précieux*.

Mais il a fallu beaucoup de temps pour réussir. On n*a pu se procurer qu'à la longue les éléments nécessaires pour

* Halley, le premier qui ait dressé une table de mortalité un peu régulière (voy. plus loin, p. 195), attribua aux tables mortuaires les avantages suivants : Elles serrent à sept usages (uses) : 1** calculer le nombre des individus susceptibles de porter les armes ; 2o établir le taux de la mortalité pour chaque âge ; 3** indiquer Tâge auquel une génération sera réduite à la moitié ; 4** fixer le prix des assurances ; 5* déterminer la valeur 4'uue annuité (repte) ; 6« idem sur deux têtes ; 7- et sur trois têtes.

donner une valeur sérieuse à ces calculs, on ne trouva pas non plus d'emblée les meilleures méthodes à suivre. On a travaillé plus de deux siècles pour arriver à ce qu*on pourrait appeler une perfection relative. On est près du but, mais il n*est pas encore complètement atteint. Les éléments faisaient tellement défaut, que la première table de mortalité, ou ce qu*on pouvait appeler ainsi S fut faite à Londres, par un savant anglais qui avait fait venir les renseignements de Breslau, en Silésie. On pense bien que ces extraits des registres des décès, —dus à CasparNeumann^ — laissaient à désirer; il ne s'agissait d'ailleurs que d*une ville ' éloignée du pays qui voulait utiliser les données ainsi recueillies. Avec le temps, les éléments devinrent plus abondants; ou multiplia les extraits mortuaires; on se mit à relever avec soin les naissances, les décès et les mariages; les registres des églises, — qui n'étaient pas tous bien tenus — furent remplacés dans la plupart des pays par un état civil laïc; depuis le commencement de ce siècle , il y eut aussi des dénombrements que les efforts des statisticiens parvinrent à perfectionner, de sorte qu*on est enfin parvenu à réunir des éléments satisfaisants.

Nous disions que la méthode laissait à désirer. Ce que demandait Thomme d'État ou le publiciste, c'était de connaître le taux de la mortalité, c'était de savoir si le nombre des décès est fort ou faible. Ce taux de la mortalité, c'est-àdire le rapport moyen des décès à la population, chose singulière, on l'a appelé la vie moyenne, terme que A. Guillard

* On verra ploi loin que HaUey n'eit pai le premier qui ait tenté de faire une table, il est seulement le premier dont la table a pu rendre des services.

^ V. Qraetzer, Edmund Haîlcy und Catpar iVeumann (Breslau, Schottlaender, 1883).

a proposé de remplacer par vitalités Le taux de la mortalilé ou la mortalité moyenne s'obtient par la division du chiffre de la population (P) par le nombre des décès (D) : la formule l peut être aisément traduite en chiffres. Si la population est de 10,000 et le nombre des décès de 300, on a Ifff* = 33. 3. Ces 33. 3 sont le taux de la mortalité ou la mortalité moyenne. Pourquoi IVt-on nommé vie moyenne? C'est parce que, dans un pays dont la population est stationnaire c'est-à-dire où il natt autant d'individus qu'il en meurt, où chaque décès est compensé par une naissance, et vice versa, la mortalité moyenne est en effet égale à la vie moyenne, dont nous allons donner la définition. On Texpliquait en effet ainsi : Si tous les décédés, au lieu de vivre, Tun trois mois, les autres 1 an, 5 ans, 10, 20, 50 ou 80 ans, avaient mis ensemble les années qu'ils ont vécu, et s'en étaient partagé la somme à parts égales, tous auraient atteint le même âge, lequel, dans l'exemple ci-dessus, eût été de 33. 3 ans. Par cette raison, et à titre de perfectionnement, au lieu de diviser le chiffre de la population par le nombre des décès, on calcula plus tard la vie moyenne sur les décès seuls. On multiplia par leur âge chaque groupe de décédés : par exemple, s'il y en eût 20 de 5 ans, 30 de 6 ans, ^u de 7, 22 de 8, etc., on trouva ce qui suit :

97 individus. 631 aonéei.

On divisa la somme des années par la sommes des individus, ici ^ = 6. 5, ou six ans et demi. C'est bien là la durée

4 Kersseboom s'en sert déjà en 1742 : General Tafel van Vitalileit en Afstervinge,

moyenne de la vie des décédés, mais ce n'est pas la durée moyenne de la vie des vivants; pour connaître celle-ci, il faudrait procéder de même sur tous les individus existants, multiplier le nombre des individus de chaque âge par le chiffre de leur âge, faire la somme des années, et diviser cette somme par le total de la population.

Nous avons dit que la mortalité moyenne peut être considérée comme identique à la vie moyenne dans une population stationnaire (et sans émigration); mais, pour un pareil pays, on trouve plus naturel d^employer les naissances comme diviseur. Puisque le chiffre est le même, c'est, dans la formule, une simple substitution de lettre N (naissance) au lieu de D; donc ^, C'est que les enfants nés dans Tannée vivront ensemble x (leur nombre) fois 33. 3 années, ce qui fait en moyenne 33. 3 ans pour chacun. On mesure ainsi la vie par la vie, au lieu de la mesurer par la mort. Mais, en réalité, il n'y a pas de pays stationnaire, généralement les naissances dépassent les décès; il en résulte que, si on emploie le chiffre N, le diviseur étant trop grand, le quotient, la vie moyenne sera trop petit. Dès le xviii* siècle, Deparcieux en France, et Price en Angleterre, proposèrent de prendre la moyenne sur les naissances et les décès ^* Malthus, Charles Dupin et plusieurs autres acceptèrent cet expédient; mais on comprend qu'il ne pouvait qu'atténuer l'inexactitude, il ne la faisait pas disparaître.

Un chiffre comme celui dont nous venons d'indiquer la formation , pouvait à la rigueur paraître suffisamment approximatif à certains pubticistes pour mesurer la salubrité, la prospérité ou même la moralité d'un peuple ou d'une époque; mais il était trop vague et trop compréhensif pour suffire à l'État, créant des rentes viagères, et surtout pour

suffire aux compagnies d*assurance. Il leur fallait d'ailleurs des tables indiquant les chances de mortalité à chaque ftge, afin de pouvoir fixer la prime en proportion de ces chances. Od n'a donc pas pu se contenter de relever sur le registre des décès le nombre des décédés en bloc, on a dû les distinguer par âges : i an, 2 ans, 3 ans, jusqu'à 100 ans et au-dessus, et on a dressé une liste mortuaire qui ressemblait par exemple à celle-ci :

Décédés à Tft^e de 1 an nombre ... 500

)) » 2 ans » ... 350

» )) 3 ans )) ... 300

Décèdes à Fàge de 100 ans nombre ... 1

On s'est servi un certain temps de ces listes seules, ou de ces listes comparées à l'ensemble de la population, pour calculer une table de mortalité^ c'est-à-dire une table indi* quant pour chaque âge le nombre moyen d'individus (combien sur iOO ou sur 1,000] qui meurent chaque année. Mais on vit de bonne heure que les résultats obtenus étaient trop éloignés de la vérité et que le seul mode sûr d'obtenir cette moyenne, qu'on a appelée aussi le coefficient des décès pour un âge donné, c^était de comparer le nombre des décédés de chaque âge au nombre des vivants de l'âge correspondant. Par exemple (nous prenons des chiffres quelconques) :

Nombre Nombre Rapport

desindJTidos des des décédés

Agei. recensés en... décédés en... à mille vivanU.

1 an 800,000 160,000 200

2 ans.... 640,000 50,000 78

100 ans.. X y g

La colonne des rapports, qu'on reproduit souvent seule, représente la table de mortalité. On exprime volontiers aussi ces rapports sous cette forme abstraite : 0,200 ou 0,78; ce

sont alors des fractions comparées à Tunité. C'est la même chose sous une autre forme. Nous rappellerons en passant que nous donnons ici de simples définitions; nous ne parlons que de ce qui est caractéristique, pour que le lecteur s*en fasse une idée nette; nous signalerons plus loin les difficultés soulevées et les solutions proposées.

On ne s*arréte généralement pas à la table de mortalité, on préfère la transformer en une table de survie. On suppose alors qu'on suive Tensemble des naissances d'une année, — comprenons-les sous Tappellation collective de ginéraiion^ — jusqu'à la mort du dernier survivant, en défalquant successivement le nombre des décédés de chaque année. La première ligne représente dans ce cas la génération (G) totale; la deuxième ligne, la génération moins la mortalité d'une année; la troisième ligne, la 6 moins la mortalité des deux premières années; la quatrième ligne, la G moins les D de trois années, et ainsi de suite. Pour plus de clarté, au lieu de prendre le chiffre réel des naissances, on le réduit, par le calcul, à un nombre rond, i ,000,000 ou 100,000, le plus souvent à 1 ,000, et l'on construit un tableau qui a la forme suivante [nous prenons les chiffres sur une table réelle] :

Ages. Nombre des samranls.

0 (DaiBsance) 1000 Daissaiiccs.

1 an 798 survivaDls.

2 ans 750 »

95 ans..... 1 sui-vivaiiL

ITK) » fraction 2.

* Les statisticienB ne devraient employer que dans ce sens restreint (eosemble des naissances d'une année) Texpression : une génération.

3 M. Riimelin est d'avis qn*il faudrait éviter les fractions quand il s'agit d'hommes; il suffit de partir de 10,000 ou do 100,000, au lieu de 1,000.

On a conservé l'habitude de donner à ces tables de survie le nom de table de mortalité, mais on devrait ne pas confondre les deux tables; il conviendrait aussi de maintenir la distinction entre les tables de mortalité et les listes mortaaires. Cette liste, c'est-à-dire le nombre des décès par âges, est relevée sur les registres de Tétat civil et fournit les données pour la lable de mortalité, et celle-ci permet de calculer la table de survie. II n'est pas nécessaire d'exposer longuement le procédé employé pour calculer cette dernière : Des 1,000 N on défalque les 202 D de la première année (représentée par 0 à 1), restent 798 vivants (V), c'est-à-dire survivants; des 798 Y on défalque les 48 D de la deuxième année, restent 750 Y ; des 750 Y on soustrait les 30 D de la troisième année, restent 724 survivants, et ainsi de suite jusqu'à la fin.

On dresse maintenant les tables de survie pour chaque sexe séparément; on a de plus essayé de distinguer les villes et les campagnes, même les professions, mais on est loin de posséder toujours de bons éléments pour tous ces calculs. Il faut d'ailleurs disposer de grands nombres pour que les influences accidentelles soient neutralisées par les influences permanentes. Aussi, ceux qui ont fait des tables d'après les résultats d'une année, n'ont pas fourni des tables bien in-^ téressantes. Ainsi donc, pour pouvoir faire une table de sur^vie sans reproche, il faudrait pouvoir suivre réellement une génération nombreuse, année par année, jusqu'à son ex' tinction. Tous les ans, on ferait une sorte d'appel nominal, et l'on noterait ceux qui répondent : présent ; les autres disparaîtraient de la table. Mais qui de nous peut se promettre de mener une pareille table à bonne fin? A supposer que le statisticien vive bien au delà de cent ans, comment aura4il

192 LIVRE II. — PARTIE TBtoMQCE.

des nouvelles des émigrants? Au lieu de travailler sur une génération réelle ou simple, on est obligé de combiner une génération pour ainsi dire artificielle, — M. Becker dit génération idéale, c'est-à-dire fictive, — en groupant les naissances et les décès d'une série d*années. On verra que cette combinaison consiste à remplacer l'indication de Tâge par l'indication de Tannée de la naissance, deux indications qui ne seront nullement identiques.

Il nous reste, pour clore ce tableau des définitions, à dire ce qu'on entend par vie probable : c'est le nombre d'années qui doit s'écouler jusqu'à ce qu'une génération (N d'une année) soit réduite à la moitié. Cette définition vient de ce qu'en mathématique, la « probabilité » représente toujours une fraction (la certitude est = 1). Or, ce degré de probabilité, où le pour et le contre se balancent, est représenté par ^ (sur 2 cas, il y en a 1 pour et 1 contre), le nombre des cas étant toujours le dénominateur et la chance le numérateur de la fraction. Il est une autre manière de définir la vie probable; on peut la dire : la probabilité qu'a une personne d'un âge donné de passer l'année suivante. Il nous faut un numérateur et un dénominateur pour résoudre cette question. Le dénominateur est égal au nombre des individus qui forment le groupe observé, c'est-à-dire la génération; mettons N = 1,000, le numérateur est représenté par le nombre des individus dont la chance a été favorable, — ayant dépassé Tannée, — soit 800; la chance est donc de •p^ ou 4/5 ou aussi 0.8 en faveur de la survivance. Si nous prenons un individu de trente ans pour savoir quelle chance il a de vivre jusqu'à 35 ans, nous posons comme dénominateur le nombre des individus composant la génération (N), et comme numérateur celui des individus âgés de trente

ans : c'est cette fraction qui est le point de départ; on établit ensuite une fraction analogue avec les individus qui ont atteint l'âge de trente-cinq ans, et enfin le rapport entre ces deux fractions. C'est donc au moyen de la table de survie qu'on fait ces calculs.

Personne ne confondra la vie moyenne et la vie probable ; Tune s'établit pour une collectivité composée d'individus d'âges différents, l'autre pour un groupe d'individus du même âge : Tune se borne à indiquer un fait accompli, l'autre a la prétention de prévoir, non avec certitude, mais du moins avec une certaine approximation, ou probabilité, et chacun de ces deux rapports a son emploi particulier. Toutefois, dans un pays où la population serait stationnaire, la vie moyenne se confondrait avec la vie probable à la naissance.

§ St. — HISTOIRE DBS TABLES DE MORTALITÉ ET DE SURVIE.

La plus ancienne tentative de dresser une table de mortalité est attribuée à un John GrauntSquiselonM. Wappftus, aurait été fabricant de drap^, et plus tard lord-mayor, de Londres ; selon M. Knapp, il a été capitaine, plus tard major ' et membre de la Société royale. Son premier travail daterait de 1661 ; M. Wappâus le fait paraître en 1662, H. Knapp en 1665. Ce dernier a vu un ouvrage de Graunt dont la cinquième édition porte la date de 1676 ; il est intitulé : John

* Il est question aussi d*UIpien (ne siècle de noire ère), comme ayant eu une vague idée d'une pareille table.

2 II n'a peut-être été que membre (honoraire) de la corporation.

* Dans le livre de Donnant, Introduction, etc., p. 233, mi^cr de la milice.

i94 LIVRE II. — PARTIE THÉORIQrE.

Graunl * , CapL Natural and polUical observaiiom, etc. , upon ihe bili ofmorlalily. Ces listes mortuaires (bill of mortaly) sont publiées à Londres depuis 1592, c est la reine Elisabeth qui en a ordonné la publication. Graunt dresse une table de mortalité et une table de survie; voici la dernière, d'après M. Knapp {Théorie des Bevolkerungswechsels, p. 121).

Sur 100 en

faDts,

reste...

.. 64 à râpe de...

ans.

iù

Le travail de Graunt, que Siissmilch cite en 1741 dans la première édition de son célèbre ouvrage, parait avoir été une pure évaluation; les bills ne donnait pas Tâge du décédé; la difficulté était si grande, que cette table est presque un trait de génie. L'amélioration est aisée, c*est l'invention qui est difficile. La table de Graunt sous les yeux, l'astronome ou mathématicien Halley a pu dresser une table tant soit peu régulière, dès qu'il fut en possession des chiff'res du mouvement de la population de Breslau. Dans la capitale de la Silésie, Caspar Neumann avait relevé pour les cinq ans, de 1686 à 1691, outre les naissances, le nombre des décès par

* Noua avons sous les yeux: Several Essays in polUical Àrithmeticks hy sir William Petty, London, 1699. Graunt y est cité, mais Petty écrit toujours Grant. Dans ces essais, il est beaucoup question des bills de mortalité. C'est le chiffre brut des décès. Quelques tableaux donnent aussi le nombre des baptêmes, mais aucun n'ajoute le chiiTre de la population. Petty dit cependant qu'on ne peut pas s'en passer, et il cherche à se le procurer par des conjectures. Halley cite Graunt, mais avec l'orthographe exacte. Nous avons eu à rectifier plus d'une fois l'orthographe des noms dans les citations.

âge. Mais ce qu'on a omis de noter, c'est le chiffre de la popu latîon de la ville; Halley le regrette, — car il reconnaît que ce chiffre est nécessaire, — mais il essayera, dit*il, de s'en passer, en se servant de la mortalité des individus de tout âge. Il trouve que la moyenne quinquennale des naissances est de 1,238, la moyenne des décès de 1,174 : différence en faveur des naissances, 64. Halley suppose que ces 64 individus ont été levés pour le service de Tempereur (la Silésie appartenant alors à TAutriche) ; il se débarrasse ainsi de cette différence et considère les décès comme égaux aux naissances. Il part de là pour former une table de survie : sur un ensemble de 1,238 naissances, 348 individus sont morts la première année, de sorte que 890 enfants seulement atteignent Tâge d*un an; 198 meurent entre l'âge de 1 et Tàge de D ans, et ainsi de suite. Par suite du petit nombre d'observations (N et D = naissances et décès), Halley est obligé de s*aider de conjectures et d'expériences faites à l'hôpital Christ'Church; mais il ne recule pas et donne une table à peu près complète ; il établit même le chiffre de la population par âge ! Il s'agit du nombre des vivants, et il le reconstruit sans recensement. Malgré l'exiguïté de ses ressources, Halley prétendait donner a morejust idea ofthe state and condition o/'Manrind : ce n'est rien moins que l'humanité qu'il a en vue. Mais de quel droit présenle-t-il 34,000 (somme des individus de tous âges portés sur sa table de survie) comme le chiffre de la population de Breslau? C'est ce que personn e n'a encore pu dire. S'il était parti de 1 ,238, nombre réel des naissances, on aurait compris cette sorte de pétition de principe, mais comme il part de 1,000, le chiffre est inintelligible.

Il nous semble néanmoins qu*on va trop loin en disant

196 LIVRB II. — PARTIE TRÉORIQCE.

que la < mélhode de Halley » n'a pas été employée par ce savaDt. Gonsiste-t-elle donc en autre chose que dans la supposition d'un état statîonnaire de la population, hypothèse qui pose les N annuelles comme égales aux décès annuels, et considère le taux de la mortalité de chaque âge comme constant? Ajoutons que Halley avait conscience des imperfections de sa méthode fondée sur tant d'hypothèses, et qu'il regrettait de ne pas pouvoir comparer les décédés de chaque âge avec les vivants de l'âge correspondant. (Philos. Transactions, vol. XVIII, 1693.)

On voit que Halley (et après lui Smart, Simpson et autres] a employé uniquement les registres des naissances et des décès 9 et tous ceux qui travailleront sur les mêmes éléments devront forcément, et pendant longtemps, faute de données satisfaisantes, lutter contre les mêmes causes d'erreur. Mais, dès Halley, on a essayé d'une autre voie. Le grand pensionnaire de Hollande, Jean de Witt, se fondant sur les calculs de probabilités enseignés par Chrétien Huggens, se servit, comme éléments d'observation, des résultats constatés sur quelques milliers de rentiers viagers. Il présenta sa table aux états généraux le 25 avril 1671 , pour servir de hase à un emprunt fait sous la forme d'annuités viagères. Cette table citée par M. de Baumhauer, se trouve dans les registres des états de Hollande, année 1671, page 395.

Un autre Hollandais distingué, Kersseboom ', prit un terme moyen très intelligent, surtout pour l'époque. Aussi sa table, publiée en 1742, a-t-elle toute la rigueur à laquelle on pouvait atteindre alors, elle évite autant que possible

* Voy. la notice de M. HeuschliDg, BuUet. de ia Comm. de statistique belge, t. VII, p. 397.

les hypothèses et les conjectures ; seulement, le nombre de ses observations est trop petit. Il n'emprunte aux registres des naissances et des décès que des données sur les enfants d'un an et au-dessous, et se sert, pour les âges plus élevés, des listes d'assurances sur la vie, ou de rentes viagères. Ces listes lui permettent d'employer des éléments homogènes. Il part d'une génération déterminée , d'un groupe de contemporains {Gelyktydige)j en note de mortalité d'année en année, ou du moins il le fait dans la mesure des renseignements qu'il possède'. Pour beaucoup d'âges, il n'a pas eu surabondance de faits, tant en ce qui concerne les vivants que pour les décédés correspondants. Toutefois, Kersseboom sait se tirer d'affaire avec des ressources incomplètes; ainsi, ayant trouvé dans l'histoire de Londres de Maitland une liste mortuaire de la capitale anglaise pour la période 1728-37, il établit ses calculs complémentaires sur la moyenne décennale des décès de cette liste. Ici, lui aussi, considère la population comme stationnaire, c'est-à-dire que le nombre des naissances est toujours le même, et qu'il est égal au nombre des décès. Il trouve que le nombre des décès d'individus âgés de i ans et au-dessus jusqu'à plus de 90 ans est de 16,395, soit 16,400; il suppose que chaque année, par suite d'un nombre de naissances inconnu, mais toujours le même, il existe 16,400 enfants vivants âgés de 2 ans, et que, sur ces 16,400 enfanls, il en meurt 784, comme sur la liste mortuaire : restent 15,616 vivants, dont il défalque le nombre des décédés de 3 ans, et ainsi de suite, jusqu'à la fin du tableau de survie. On aura compris le raisonnement par lequel

< On voit que Kersseboom est un prédécesseur de M. Knapp. (Voy. le § 3 de ce chapitre.) V. aussi le projet Hormann.

Kersseboom est arrivé à supposer que le nombre des vivants est de 16,400 environ. Il a dit : Sur un nombre x de naissances, il est mort a enfants de 2 ans, fr de 3 ans, c de 4 ans, jusqu'au dernier survivant z : je n*ai qu'à additionner a -f-^+^+^Ju^^'^ ^1 P^^ ^^^^^ ^^ valeur de x. Malheureusement, x est une hypothèse, et il faudra du temps avant qu*on puisse s'en passer, cette hypothèse consiste à remplacer une génération réelle S par exemple, les naissances de l'année 1720, par une génération fictive composée de a individus nés en 1719 (âgés d'un an), b individus nés en 1718 (âgés de 2 ans], c individus nés en 1717 (âgés de 3 ans], et remontant ainsi jusqu'à 1620 (individus âgés de 100 ans]; on suppose que tous les décédés sont nés dans la même année, et qu'ils sont morts successsivement. C'est toujours l'hypothèse que le chiffre des naissances ne change pas, ni celui des décès non plus.

Notre Deparcieux florissait à la même époque, car son livre : Sur laprobalUi de la durée de la vie humaine^ parut en 1746 seulement; ce n'est pas l'œuvre d'un statisticien, mais d'un mathématicien. En effet, ses éléments, empruntés aux registres des tontines, années 1689à 1696, devaient être élaborés dans l'intérêt des rentes viagères. On sait que sa table de mortalité a servi à calculer les tarifs de la Caisse générale des retraites de France créée en 1850. Elle ne représente pas la population entière^ mais une population spéciale, cequ'on est convenu d'appeler des a têtes choisies. » Deparcieux aurait bien désiré faire davantage, mais les données qu'il a pu se procurer sur la population en général, n'avaient

* Cest M. Becker qui a, le premier, distingué nettement la génération réelle de la génération Active, mais il nomme cette dernière idéale. (Voy. plus loin.)

presque pas de valeur. Faisons remarquer que Deparcieux nomme ici vie moyenne ce que d*autres désignent comme probalité de vie : — Expectation oflife, Lebenserwartung, — <c La troisième colonne de chaque ordjpe (table) de mortalité, dit-il, contient les vies moyennes des personnes de tous les âges (les deux autres colonnes indiquent le nombre des vivants par âge, et le nombre des décédés correspondants), On entend ici par vie moyenne le nombre d'années que vivront encore, les unes portant les autres, les personnes de Tâge correspondant à cette vie moyenne. On trouve cette vie moyenne de l'avenir en prenant, à partir de l'âge dont on part pour chaque groupe d'àgiB, le nombre des individus et en le multipliant par le nombre des années, que ce groupe aura à vivre, selon la table. Ainsi, si c'est la probabilité de vivre à 60 ans qu'on cherche, on trouvera sur telle table qu'il reste 400 individus de cet âge, donc 60 X 400; on ajoute 61 x 398, 62 x 376, et ainsi de suite^ et Ton divise la somme des années par la somme des individus'. »

Nous ne voyons pas trop en c^uoi les idées de Deparcieux diffèrent de celles de Kersseboom; ils connaissent l'un et l'autre les bases d'une bonne table de mortalité, et savent très bien aussi que l'égalité des naissances et des décès, — l'hypothèse de la population stationnaire, — n'est pas conforme à la réalité. Aussi Deparcieux propose-t-il à titre d'expédient, de prendre la moyenne des naissances et des décès. Quoi qu'il en soit, considérant le petit nombre de cas sur lesquels portent ses observations et ses procédés

< Deparcieux emploie l'expression (Tordre de mortalité, non pour table de survie, mais pour Tordre d*extinction successive d'une génération. La table de survie indique cet ordre. (Absterbeordnung)

200 LIVRE H. — PARTIE TBâORIQUE.

d*approximatioo, on peut s*étoniier qu'on se serve encore de ses tables ou « ordre » de mortalité >.

Nous devons mentionner ici Sûssmilch^ que nous avons fait connaître déjà dans la partie historique (Voy. suprà, p. 14), bien que cet auteur n'ait pas contribué directement au perfectionnement de la méthode. Son principal mérite est d'avoir été statisticien et d'avoir travaillé uniquement dans rintérèt de la démographie. Dans la troisième édition de sa Gœttliche Ordnung celle que nous avons devant nous, elle date de 1765, il connaît tous ses devanciers : Halley, Smart, Kersseboom, Deparcieux, de plus, Struyeks, un Hollandais qui a travaillé sur des listes mortuaires, Hogdson , sur lequel les détails nous manquent, et Wargentin, dont nous allons parler. Sûssmilch était théologien et non mathématicien ; il a recueilli de précieux documents, mais sans inventer de procédé nouveau, si ce n*est (t. II, p. 291) d'avoir réduit ses tables comparatives à un total de 1,000 décès. Voici un tableau qu il a dressé sur une série de trente années, groupées par périodes quinquennales, et dont les éléments ont été pris dans les listes mortuaires de Londres.

I Nous citerons, par exemple, le passage suivant (p. 50 de son livre) :

a Ayant formé les rapports moyens de la mortalité des rentiers dans tous les âges de 5 ans en 5 ans, j'ai supposé 1,000 personnes à rftge de 3 ans; et par des règles de trois, j*ai cherché ce qu'il en devait être à l'âge de 7 ans, à Tâge de 12, de 17, de 22, etc., et par le moyen des différences, j*ai eu ce qu*il en devait rester à chacun des autres âges intermédiaires dont j*ai formé le 4« ordre de la table XIII, ne faisant pourtant aller le dernier que jusqu'à 94 ou 95 ans, quoiqu'il y ait plusieurs tontiniers qui aient vécu jusqu'à Tâge de 97 ou 98 ans : d'où s'ensuit que les vies moyennes trouvées par cet ordre de mortalité, pécheront plutôt en moins qu'en plus. Le nombre des observations est bien petit. »

Périodes qoinqaennales. Période

Ages. — I — '■ de

1'*. 2e. 3e. 4e. Se. 6e. 30 ans.

De Oà 2 ans 378 393 349 347 347 361 363

lia 20 » 32 29 32 31 30 28 31

91 à 100 ans et audessus 8 5 4 4 4 4 4

Sûssmilch s*eAtasie sur Tadmirable coïncidence de ces séries, et célèbre la sagesse de Dieu, qui a si bien organisé les choses que, malgré tous les accidents et toutes les épidémies, réquilibre rompu entre les naissances et les décès ne tarde pas à se rétablir. Cet équilibre, cependant, dans la bouche de Sûssmilch, ne signifiait pas Tégalité des naissances et des décès, mais un excédent de naissances, — car Dieu veut que la terre soit peuplée; — aussi le savant pasteur s'adressa-t-il au célèbre mathématicien Euler, et lui demanda-t-il une formule, qui tint compte de Taccroissèment de la population. Euler ne pouvait offrir qu'une hypothèse, — les renseignements manquant : — il supposa queraccroissementalieudansuneprogressiongéométrique. Euler revint plusieurs fois sur la matière (Académie de Berlin, 1740, 1767, etc.); mais il ne réussit pas à faire adopter ses vues, qui, vérifiées par Farr (et autres), ont été trouvées cependant, dans certains cas, conformes aux faits. Seulement, Euler suppose ses progressions constantes, ce

qui est contraire à la réalilé. Euler est aussi le premier qui ait employé des signes algébriques pour ses formules.

L'astronome Wargenlin, mort en 1783, secrétaire perpétuel de TAcadémie des sciences de Suède, a eu à sa disposition des matériaux qui ont fait défaut à ses devanciers : le mouvement de la population a été relevé régulièrement en Suède depuis 1749, et Ton y a fait des recensements complets, les premiers en Europe. Ces dénombrements do la population ont eu lieu en 1757, 1760 et 1763. Wargenlin pouvait donc, le premier entre tous, comparer les décédés aux vivants correspondants, c'est-à-dire appliquer la méthode qu'on a appelée directe ; il a de plus distingué les deux sexes, en faisant une table pour les hommes et une table pour les femmes. (Voy. les Mémoires de rAcadémie des sciences de Suède^ Svenska Yetenscaps academiens^ année 1766.) Le travail de P. Wargentin, traduit en allemand par Kâstner, a paru à Leipzig en 1767. (Voy. aussi les années 1754 et 1755 des Mémoires.)

Mais si Wargentin a été favorisé par les circonstances, en trouvant devant lui une collection de bons matériaux, il a donné un mauvais exemple. Peut-être serait-il plus juste de dire qu*il Ta suivi. On sait que Halley et ses successeurs ont réduit leur table de survie à un point de départ de 1,000 naissances. Ils suivent ces 1,000 N et indiquent combien il en reste au bout d'un an, de deux ans, de trois ans, et ainsi de suite jusqu'à extinction. Sûsmilch, pour faciliter les comparaisons, mais non pour faire une table de mortalité, avait réduit les listes mortuaires à un ensemble de 1 ,000 et fait connaître combien sur 1,000 il meurt d'individus de chaque âge. Wargenlin suit cet exemple, et après avoir reproduit ses trois tables (hommes, femmes, les deux sexes)

et rois en regard celles de Halley, Kersseboom, Deparcienx et Simpson (Smart), dans la forme que leurs auteurs leur ont donnée, — partant de 1,000 N, ou, pour DeparcieuXf de 1,000 vivants de Tftgede trois ans, — il en dresse d'autres établies sur un ensemble de 1,000 décès. Le tort de Wargentin consistait à dire que Halley et les autres ont dressé leur table sur un ensemble de 1,000 décès de tous âges, puisqu'ils ont au contraire en vue une génération de i,000 N, ce qui n'est pas la même chose. Toutefois, comme les vraies tables de survie des auteurs précités se trouvent en regard des tables suédoises du nombre de décès de chaque âge, on peut penser avec M. Knapp (Théorie, p. 74) que Wargentin a confondu deux choses aussi différentes que 1,000 individus qui viennent de naître et 1,000 individus de tout âge (de 0 à 100 ans). Disons pour terminer que le savant secrétaire perpétuel suédois ne donne pas la mortalité année par année, mais de 0 à 1 an, de 1 à 3, de 3 à 5 ans, puis par groupes de 5 ans jusqu'au-dessus de 90 ans.

Nous passons les travaux de King, de Moivre (1726), Dupré de Saint-Haur, Price (1769), et quelques autres; nous devons cependant mentionner la table de Carliste, calculée par Hiln, d'après les décès de cette ville de 1779 à 1787 et un dénombrement spécial des habitants; de même celle de Duvillard, connue pour sa rapidité, et qu'on trouve i^n% Analyse ou Tableau de V influence de la petite vérole^ etc., Paris, Bachelier, 1806, p. 161. La table anglaise dite de Norlhampton, calculée par Price, se trouve dans Morgan, Principles and doctrine ofassurance^ Londres, 1821. Elle a été rectifiée par le docteur Farr, dans son huitième rapport annuel.

Jusqu'à la fin du siècle dernier, c'était, le plus souvent, dans rintérèt des tontines, rentes viagères ou assurances qu'on s'occupait de la mortalité; pendant un moment, cette question sera un exemple, un thème, un problème sur lequel s*exercera la sagacité des maîtres en calcul de probabilité, et ce n'est qu'un peu plus tard que les statisticiens s'empareront définitivement de la matière. Parmi ces maîtres, nous ne citerons que Laplace, qui y est revenu à différentes reprises, et spécialement dans son Essai philosophique sur les probabilités^ dont nous avons sous les yeux la troisième édition (Paris, V* Courcier, 1816). On y lit, page 162 : « La manière de former les tables de mortalité est très simple. On prend sur les registres des naissances et des morts un grand nombre d'enfants que Ton suit pendant le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année, et Ton écrit ce no(nbre vis-à-vis de Tannée finissante. Ainsi Ton inscrit vis-à-vis de zéro le nombre des enfants; vis-à-vis de l'unité, le nombre de ceux qui ont atteint une année; vis-à-vis de deux, ceux qui ont atteint deux années, et ainsi de suite. Mais comme, dans les deux premières années de la vie, la mortalité est très rapide^ il faut, pour plus d'exactitude, indiquer dans ce premier âge le nombre des survivants à la fin ée chaque demi-année. » On le voit, ce n'est pas une table de mortalité, mais une table de survie. Le procédé indiqué est rationnel; mais comme, pris à la lettre, il est d'une difficile exécution, Laplace en revient à Thypothèse d'une population stationnaire et à celle de l'absence de toute émigration et immigration ; il ne travaille au fond que sur la liste mortuaire et n'a pas l'air d'avoir nettement conscience de son changement de front.

Ce que Laplace cultivait, ce n'était pas les lois de la mortalité, mais le calcul des probablités ; il ne serait pas exact d'en dire autant d*un de ses contemporains, célèbre mathématicien comme lui, le baron Joseph Fourier, mort en 1829, secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences : c'est bien la mortalité qu'il étudiait. Le travail que nous avons en vue est intitulé : « Recherches sur la population, » et se trouve dans les Recherches statistiques sur la ville de Paris^ etc. année 1821 ; c'est le premier volume de la série, publiée par le comte de Cabrol, préfet de la Seine, probablement sous l'inspiration de Fourier. Faisons remarquer que M. Knapp se trompe en croyant que le secrétaire perpétuel de l'Âcadémie des sciences, a été chef de bureau de statistique à la préfecture. C'est Vil lot, comme on peut le voir au tome V des Recherches^ Introduction, note de la première page (v. aussi t. IV, p. 5), qui dirigeait les travaux de ce bureau. Fourier est nommé nulle part; au tome IV, p. 5, Ton indique le nom de tous les collaborateurs et l'on passe le sien sous silence, évidemment avec intention; si Villermé et peutêtre d'autres ne l'avaient révélé, on aurait toujours ignoré le nom de l'auteur du remarquable travail dont nous allons dire quelques mots^ Fourier est le premier qui ait appliqué l'analyse mathématique, ~ surtout le calcul différentiel,-^ aux questions de population, et cela non seulement pour trouver la loi de population, mais aussi pour mesu-

' £n lisant le mémoire de Fourier, nous avons trouvé, p. xix, la table de Deparcieux complétée pour les âges 0, l et 2; voici les chiffres : 1359, 1092, 1037. Dans Y Annuaire du bureau det longiludetf on a complété ainsi : 128G, 1071, lOOG, mais on a mis 970 à Tâge de 3 ans (au lieu de 1000). On sait que la table de Deparcieux commence à Tâge de 3 ans; en attribuant à cet âge le nombre 1,000, Fourier a plus de (\ro\\qjae Y Annuaire d'employer le mot « compléter. »

20r> MVRB II. — PARTIE THÉORIQUE.

rer l'erreur possible; c'était en somme dans Tintérét de la théorie pure. Depuis lors, on a quelque peu abusé de cette méthode. Fourier tient aussi compte dans ses considérations, d'une part, de l'accroissement de la population, et de l'autre de l'effet de l'émigration et de l'immigration, qu'il réunit sous la rubrique de « Mouvement extérieur de la population. » Malgré l'emploi de l'analyse, — ce qui montre bien qu'elle est d'une utilité plus théorique que pratique en ces matières, — Fourier reste encore quelque peu emprisonné dans les liens de la population stationnaire. Néanmoins la théorie pure a du bon, mais elle ne peut rien sans les observations recueillies par la statistique.

Moser, professeur à l'université de Kœnigsberg, et dont le livre, Gesetze der Lebensdauer (les lois de la durée de la vie), parut en 1839, causa un notable progrès, non seulement par la critique des systèmes reçus, mais surtout en insistant sur la nécessité de tenir compte de l'accroissement de la population; il a fourni une formule algébrique pour calculer cet accroissement, qu'il semble tenir pour cons* tant, bien qu'en réalité le mouvement va tantôt en s'élevant et tantôt en s'abaissant. Il semble aussi supposer que la loi de la mortalité par âge est constante. Hais, encore une fois, son action a été forte, surtout par sa critique de l'hypothèse d'une population stationnaire et du procédé un peu primitif de diviser la population par le nombre des naissances ou par la moyenne entre les naissances et les décès, pour obtenir la vie moyenne. Moser inspirera Quetelet, qui provoquera à son tour de sensibles progrès pratiques, pour être bientôt dépassé à son tour. Moser était d'ailleurs plutôt mathématicien que statisticien; en cette qualité, il exerça

son influence sur Fischer, Heym, et notamment sur Knapp, qai devint lui-même un initiateur.

Nous allons entrer dans la série des modernes, où nous n'aurons guère que des statisticiens à présenter; nous ne suivrons plus l'ordre strictement chronologique, parce que plusieurs séries de travaux se développaient simultanément, et que souvent la même personne a fait successivement plusieurs tables : Quetelet, Baumhauer, Farr, Becker, par exemple, sont dans ce cas. Nous passerons en revue les principaux pays, sans chercher à être absolument complet — ce qui devient de plus en plus difficile, — les travaux saillants sont déjà bien assez nombreux.

Il est juste de commencer par Quetelet; car, si son mérite a été un peu trop exalté par la reconnaissance de ses contemporains, il restera toujours vrai qu'il a été l'instigateur et l'initiateur de bien des progrès. Pour les tables de mortalité (ou plutôt de survie), il suit lui-même l'impulsion de Sloser, comme il le déclare dans le mémoire qu'il a inséré dans le BuUeUn de la Comm. de statist. belge, t. V (Bruxelles, 1853). Ce mémoire commence par indiquer la marche à suivredans l'hypothèse d'une population stationnaire. Dans cette hypothèse, « une table de mortalité peut s'obtenir de deux manières : soit par un simple dénombrement parages, et en rapprochant du nombre annuel des naissances celui des survivants de 1 an, de â ans, de 3 anSj et ainsi de suite; soit par les registres des décès rapprochés de ceux des naissances. j> Il s'agit des décès par âges. C'est à la fin du mémoire qu'il pose l'hypothèse « d'une population quelconque, » c'est-à-dire dans une période d'accroissement ou de diminution. Il se sert du chiffre des naissances No pris sur les registres de l'état civil; du nombre des individus de

tous âges depuis 1 an jusqu'à la lin : Ni, N| N», constaté

par le dénombrement; du nombre des décès de tous âges :

do (décès avant 1 an), di (de 1 à â ans), ds, dz dn, que

fournit le registre de l'état civil. La mortalité de chaque

groupe est représentée par j^, de 0 à 1 an, ^, de 1 à 2 ans, ^, de 2 à 3 ans, et ainsi de suite jusqu'à ^, de

n k n -\- \ am. La mortalité de chaque âge se représente donc par

No — Ni = do soit Ni = No — do.

Et ensuite

Ni — Na = Ni -rr-, après la deuxième année,

d'oùNi = ^*{Ni-.di).

di De même, continuant Nj — N3 = N2rr, etc., jusqu'à

Nn — Nn+1 = Nn ^ après la n + i" année. Or le nombre No

des naissances doit répondre aux pertes successives qui seront faites annuellement jusqu'à extinction ; et ces pertes annuelles No — Ni — Ns , etc. , seront données par ces équations

M j . Ni ^ , Na j , N3 ,

No— do+j^di+^dî+^da + etc.

Dans le cas particulier où Ton a

j^ = r,jj| = r2d2 + r3d3 + etc.,

la population est croissante ou décroissante en progression géométrique, et il vient

No = do + rdi + r^d^ -f- ^^3 + ^^tc. Quand on a

N4~'Nj""N3"" "" '

la population est stationnai rc, et l'on trouve No = do + rfi + dî + d3 -h e te .

Quetelet a dressé, pour la Belgique, une table de mortalité (de survie) d'après ces données; elle est fondée sur les documents de l'état civil de 1841 à 1850 et du recensement de 1846 : nous la reproduisons plus loin. Voici ce qu*en dit Quetelet {Bulletin, tome V. p. 23) :

c Pour se faire une idée un peu exacte de la mortalité d*un pays, ce sont moins les tables de mortalité qu*il faut consulter que la mortalité de chaque âge, immédiatement déduite des documents les plus récents. Les tables de mor* talité, comme on les calcule en général, mêlent ensemble des éléments très différents , et font connaitre à la fois les effets de la mortalité actuelle et ceux d*une mortalité reculée depuis près d'un siècle, sans tenir compte des fluctuations de croissance ou de décroissance que la population a pu subir. Je considère comme mortalité actuelle, la probabilité, pour chaque âge, de vivre encore une année. La valeur se calculera évidemment avec plus d'exactitude, si on peut la déduire directement du résultat d'un recensement et du chiffre mortuaire donné par les registres de l'état civil; c est ce qui a été fait dans la nouvelle table. »

Il ne sera pas superflu d'ajouter un court commentaire. On aura compris que la méthode de Quetelet, inspirée par Moser, consistait à diviser le nombre des vivants de chaque âge par le nombre des décédés correspondants. Ce sont ces vivants qui ont fourni les morts, et l'on se borne à calculer dans quelle proportion. Le nombre des vivants est constaté par le dénombrement, mais celle opération diffi-

cile ne s'opère pas juste à la limite entre deux années, elle se fait à une date quelconque; — on cherche, il est vrai, maintenant à la rapprocher du 31 décembre, mais nous l'avons vue entreprendre en mai. — Dans ce cas, les vivants constatés ne renferment pas ceux qui naîtront entre la date du recensement et la fin de l'année, ni ceux qui sont décédés depuis le commencement de l'année jusqu'au dénombrement, et l'on sait combien la première année est meurtrière pour l'enfance. Pour la première année, les données de l'état civil et celles du recensement ne sont donc pas comparables; aussi, pour cette première année seule, la comparaison des N el D (No et D,,) se fuit-elle avec les éléments des registres de l'état civil seul, tandis que le rapprochement des données de ces registres avec celle du dénombrement a lieu pour les âges de 1 an et au-dessus (N,, N,, etc.).

La méthode que nous venons de décrire a été développée par M. de Baumhauer, alors directeur de la statistique hollandaise. Opérant sur le dénombrement du 19 décembre 1849 et sur les listes mortuaires de la période 1840-1851 , il a calculé la survie des enfants de 12 ans et au-dessous à l'aide des registres de naissance et des décès de ces douze années (il ne tint donc pas compte de l'émigration, qui est faible d'ailleurs à cet âge); pour les âges de 13 ans et audessus, il employa les chiffres du dénombrement et ceux des registres des décès ^ Mais M. de Baumhauer a voulu vérifier par l'observation directe la valeur de son procédé, et il a trouvé que, pour la première année, la perte était très

* M. de Baumhauer n'a pas divisé le chiffre du recensement par la moyenne duodécennale des décès; il a, au contraire, pris pour diviseur le total des décès pendant 12 ans; en revanche, il a multiplié par 12 le chiffre du dénombrement, et en a fait le dividende.

LES TABLKS DE MORTALITÉ ET LA VIE MOYENNE. i\i

considérable, et que la perturbation exerçait une influence, — décroissante, il est vrai, — sur les années suivantes. Nous renvoyons pour les détails au Journal des Economistes de l'année 1868 (tome Xi de la 3* série); nous nous bornons à reproduire uu des nombreux tableaux qu'on trouve dans cet article, afin d'expliquer d'avance l'importance qu'on attache à la subdivision par mois de la première année de la vie. Dans la période décennale 1850-59, sur 10,000 décédés de chaque sexe, morts au-dessous de l'âge de 1 an, la durée de la vie a été comme suit:

Dorée de la rie.

Garç.

Filles.

Dorée de la rie.

Qarç.

Pilles.

0 à 1 mois.

5 à 6 mois.

Il est même utile (croit-on), de diviser le premier mois en semaines et la première semaine en jours. Nous reproduirons plus loin une table de Baumhauer faite sur la période décennale 1860-69.

A cette même époque, Heuschling, chef de la statistique de Belgique, pour tenir compte de l'accroissement de la population, distribua les différences par catégories d'âges proportionnellement au nombre des individus dans chacune d'elles, [i. des Econ. t. XXX de la 1** série, p. 245, année 1853.)

En Angleterre, le docteur Farr s'est proposé, dans le mémoire qu'il a lu à la Société royale, le 7 avril 1859 (Transactions de 1859, p. 837), de faire une table applicable à une population non stationnaire, et dans laquelle le taux de la moralité par âges est variable . On sait que ces deux choses ne sont pas identiques . Dans une population non

stationnaire, le nombre annuel des naissances et des décès diffère, mais le taux de la moralité suit sa propre loi. La plupart des auteurs ont considéré cette loi comme constante, mais évidemment elle ne Test pas. Le docteur Farr est naturellement d*avis que la mortalité doit être établie selon le résultat de l'observation et à l'aide: 1" du nombre annuel des naissance*; ^"^ du nombre des individus vivant à une certaine époque et constaté par le dénombrement; 3"* des décès à chaque âge observés pendant un certain nombre d*années. Il a cependant trouvé que la loi de mortalité par âges peut être représentée d*une manière assez approximative par des équations fondées sur un accroissement ou une diminution se développant selon une progression géométrique; il en contrôle Texactitude par des observations directes, du moins pour les âges élevés. Sa démonstration ne pourrait être exposée en quelques lignes, nous sommes obligé de renvoyer au mémoire du docteur Farr ; nous ferons seulement remarquer qu*il insiste un peu plus que ses devanciers sur ce fait : que ni les naissances, ni les décès n*ont lieu tous en même temps, à la même minute, qu'ils s'échelonnent tout le long de Tannée, et même en des intervalles assez inégaux, mais qu'on doit cependant considérer comme égaux. On suppose dans la pratique que Tensemble des faits a eu lieu , soit à la fin de Tannée, soit au milieu. Pour le docteur Farr, par exemple, Tâge de 50 ans commence à 49 { et finit à 50 \. Hais ce n'est qu'une manière grosso modo de procéder; la science possède des formules pour tenir compte de Tinfiniment petit, et le docteur Farr en use : plus tard, MM. Knapp, Zejiner, Becker, Lexis et autres perfectionneront, dans un sens ou un autre, Tcinploi de l'analyse mathématique; mais il faut rendre justice

à qui de droit. Nous donnons plus loin une des tables, — pour hommes et femmes, — du docteur Farr, en Faisant remarquer qu'elles sont fondées sur les données puisées dans les 63 districts anglais sanitairement les plus favorisés (heallhy) districts, et dans lesquels la mortalité annuelle est de 17 par 1,000 vivants.

La table suédoise de H . Berg (voy. p. 226] est calculée sur des données composées, d'une part, de la moyenne des recencements des années 1855 et 1856, et de l'autre, de la moyenne des décès de 1856 à 1860. (Dans le volume Nyfoljd, II, 3, Stockholm, 1865.) Cette Ubie est calculée d'après la méthode de Quetelet. M. Kiaer, en Norvège, a également fait une table satisfaisante. Nommons aussi , sans nous y arrêter, la table danoise de David pour les années 1855-59 (Copenhague, 1853), la Uble suisse de H. W. Gisi, publiée en 1867 dans Journal de statistique suisse, une table prussienne publiée en 1879 dans la revue du bureau de statistique, dirigée alors par M. Engel; la table de H. de Fircks publiée en 1882 dans la même revue, la table de mortalité de la ville de Berlin publiée par M. Bœckh.

Nous arriverons maintenant à la France. Elle a le droit de revendiquer une part très honorable des progrès que les tables de mortalité ont faits dans le courant de ce siècle. Nous avons déjà nommé J. Fourier; Démon tferrand , à d'autres titres , mérite également une mention à cause de la grandeur de son dévouement à la science. Sa table, s'appliquant à près de 12 millions d'observations faites pour les deux sexes, et relatives aux années 1817 à 1831, a malgré ses défauts, assez de valeur pour être conservée ; on la trouvera, avec un commentaire, au Journal des Économistes de 1850 (t. XXVI de la l"* série), ot ailleurs, notam-

ment dans le Journal polytechnique ^ mais l'espace ne nous permet pas de la reproduire, car elle a été dépassée depuih * . Après Demonferrand, c*est certainement A. Guillard, l'auteur de la Démographie^ qui mérite de retenirnotre attention. Ce penseur original a inséré dans 1*^4 nnuaîre de V économie politique et de statisque de 1854 un travail remarquable, car ses erreurs mêmes sont instructives (Éclaircissement sur les tables dites de mortalité] , où il cherche à corriger les défauts des tables calculées sur une population stationnaire. Il n'approuve qu'à moitié le procédé employé par Heuschling : la distribution proportionnelle de la différence entre N et D sur les divers âges des décédés. Cela ne suffit pas, car < le ralentissement de la moralité étant continu, il s*est fait sentir progressivement à mesure que partant des âges les plus anciens, il s'est rapproché des plus récents : la progression doit tenir compte de cette différence. 1 1 faut donc répartir les D (décès) manquant en raison composée du nombre des D relevés pour chaque âge et de l'élévation de cet âge y ou du chiffre qui le marque. » On comparera utilement cette idée avec la solution trouvée par M. Becker.

A. Guillard n'est pas partisan de la méllwde directe (les décès comparés aux vivants de chaque âge constatés par le dénombrement) : « On la ventera peut-être, dit-il (p. 459 de V Annuaire de 1854) comme méthode générale, c'est-à-dire, applicable sans modification à tous les cas : mérite abstrait, qu'obscurcit à nos yeux le défaut grave de substituer le fait brut et particulier de population à la moyenne des nais-

* Nous ne pouvons pas ne pas nommer ici cet excellent Villermé, qui n'a pas fait de table» mais qui, par ses conseils, a contribué à leur progrès. (Voy. Journal des Économistes de 1851 et 1853.)

sances, ce qui éloigne des successions normales et épurées pour jeter dans le chaos des accidents annuels. On connaît d'ailleurs les nombreuses difficultés par lesquelles les recensements sont toujours moins sûrs et moins exacts que

les relevés de Tétat civil • De nos jours, Guillard aurait

une meilleure opinion du recensement, dont la technique a été sensiblement améliorée, sans être encore parfaite, il est Yrai. Il admettrait cependant les recensements si on pouvait le répéter annuellement ^ et jusqu'à nouvel ordre, il préfère le procédé N — D.

Son gendre et digne successeur dans ce genre d'étude, le docteur Bertillon, a meilleure opinion des dénombrements^; seulement, au lieu d'un seul, il emploie une moyenne prise sur trois recensements (1851, 1856, 1861). Le docteur Bertillon s'est occupé de calculs de mortalité, nous le croyons du moins, avant d*ètre en relation avec Guillard, car sa thèse pour le doctorat en médecine, présentée le 6 août 1 853, a pour sujet : De quelques éléments de l^ hygiène dans leurs rapports avec la durée de la vie. Il n'a pas cessé, depuis lors, de travailler la matière. Sa table, calculée sur les naissances de 20 années (1840-59) et comparée à la moyenne de trois recensements, se trouve, avec les explications nécessaires, au Journal de la Société de statistique de Paris, année 1866 (Quetelet et d'autres la reproduisent). 11 montre que, lorsqu'on part de l'hypothèse deN = D (population stationnaire), tandis qu'en France, selon une moyenne deux fois décennale, les naissances s'élèvent à 958,100, et les décès seule-

* Pour être mathématiquement exact, il devrait dire : joumeUe^ iMiu, mais dans la vie réelle on n*obtient jamais Tabsolu. M. Bodio a dit quelque chose d'analogue dans un rapport au congrès de Budapest.

■^ Il les considère cependant comme imparfaits, et les corrige d'après certaines données empiriques.

216 LIVRE II. — PARTIB THÉORIQUE. i

ment à 843/i20, on arriverait à établir par les calculs qu'il \

existe en France 114,930 centenaires au lieu de 250, qui est !

le nombre réel. Pour ne pas aboutir à un chiffre aussi absurde, on a d'autre ressource que d'évaluer les naissances au chiffre de 843,420. Le docteur Bertillon emploie donc la méthode directe, contrôlée, pour les premiers âges, par la comparaison des naissances aux décès, et rectifiée par « quelques corrections » qu'il indique. Constatons encore que le docteur Bertillon n'admet pas que Tordre des décès ou de survivance, c*est-à-dire le taux des décès à chaque âge, soit une donnée constanle. C'est un point tellement important, que nous devons nous y arrêter un moment. « Pour comprendre qu'il n'y a rien de nécessairement régulier dans la succession des vivants, il faut considérer: 1^ que la population de chaque âge a pour origine un chiffre de naisances datant d'hier pour les plus jeunes, d*un demi-siècle pour ceui de 50 ans, etc.; 2'' que les nombres de ces naissances sont souvent très différents (c'est nous qui soulignons); 3^ que chacune de ces descendances {i\ aurait mieux valu dire : < génération ' ») a été éclaircie par des causes très diverses et nullement comparables. Âinsi^ nos vieillards de 60 à 70 ans ont été autrefois diminués, et par une mortalité plus grande de Tenfance et par les guerres de TEmpire. Aussi, tandis que la mortalité actuelle (1840-18o9) appliquée à notre chiffre moyen de naissances, ferait survivre :

838,000 hommes, âgés de 60 à 65 ans, le census (dénombrement) n'en annonce que 620,000 (218,000, ou plus du quart de moins);

840,000 femmes, de 60 à 6îi ans, au lieu de 713,000 que

^ Il s'agit des naissances d'une année.

donnent les dénombrements (127,000 ou plus du septième en moins) ;

682,000 hommes, âgés de 65 à 70 ans : le census n*en indique que 468,000 (212,000, presque le tiers, en moins), elc.

Mais si nous appliquons les mêmes calculs à la population (le 30 à 40 ans, qu'aucun sinistre n*a décimée, le calcul et le fait seront presque identiques. Ainsi, on trouve 1 ,295,000 bommesde35 à40ans, et les ceti^ti^ en annoncent 1,288,500 (6,500 ou 1/200 seulement en moins). »

Ce qui vient d'être dit est tellement évident que nous n'avons pas besoin de reproduire à l'appui les constatations analogues faites par Berg (Suède), Engel (Prusse), Hermann (Bavière). En présence de ces faits, M. Knapp a eu raison d*appeler l'attention sur l'importance de \2i densité des naissances (Geburtendichtigkeil) pour le calcul des tables de survie.

Cette question de la variabilité de la loi de la mortalité a beaucoup préoccupé M. de Hermann, Téminent prédécesseur de M. Hayr à la statistique de Bavière et à l'université de Munich. Hermann, pensant qu'une table de survie idéale serait celle qui prendrait une génération (les N d'une année) et en suivrait le mouvement jusqu'à son extinction, se proposa de commencer l'expérience. 11 avait , dès son entrée en fonction, en 1835, le premier entre tous, fait relever l'âge des décédés année par année : — on indiquait auparavant les âges par groupes de 5 et même de 10 années ; il ne recula pas devant cet accroissement de besogne, afin de pouvoir attribuer les décès de chaque année aux générations annuelles dont les décédés descendaient. Il groupait par âge ces décédés et inscrivait chaque classe d'âge

en regard de l'année de naissance correspondante. Avec le temps il pouvait recomposer (sauf erreur et perturbation) le chiffre des naissances et constituer la table de survie de cette génération. En attendant, il trouvait pour chaque âge un taux de mortalité moyen pris sur une série d'années. I.c tableau qu'il a construit ainsi, etqu'ilacontinué de remplir jusqu'à sa mort (1867), a la forme suivante. (Nous en donnons une simple réduction ou plutôt une esquisse en quelques traits : voyez la livraison XVII des Beitrâge.)

Sur 10,000 naissances des années ci-contre sont décédés aux âges indiqués dans les colonnes :

ANNilS

rMin

jusqu'à

{•' Kltlr*.

UitUMH.

tai.

Ainsi, la colonne de gauche donne toute la série des années (ou exercices) à partir de 1817-18 jusqu'à 1865-66; il faut suppléer par la pensée aux chiffres que Texiguïté de l'espace nous a forcé d'omettre. La deuxième colonne donne les naissances. Les décès par âges ne commencent qu'à Texercice 1834-35; mais comme dès lors la liste des

décès indique ces âges année par année, Ton peut d('j«i metlre quelques chiffres.en regard des années antérieures. Aussi les décédés de 1 à 2 ans, ici au nombre de 315, figurent en regard de 1833-34, ceux de â à 3 ans en regard de 1832-33, et ainsi de suite. Nous avons pris les chiffres d'une simple province, parce que les nombres sont plus petits. La lacune que nous avons dû laisser ci-dessus est remplie dans Toriginal. Un second exemple ne sera pas de trop. Prenons les 10,942 naissances de la dernière année du tableau, celles de 1865-66 : les 3,285 décédés de 0 à 1 an sont placés dans la colonne correspondante à côté de 1865-66; les 5S5 décédés de 1 à 2 ans sont placés en regard de leur année de naissance 1864-65 (réelle ou supposée); ceux de 2 à 3 ans en regard de 1863-64, et ainsi de suite en remontant jusqa*à rage de 48 à 49 ans, où l'on voit 66 décédés en regard de Tannée 1817-18. En additionnant les colonnes des classes d*âge, on peut établir, pour une série d'années, la moyenne sur 10,000 des décédés de chacun de ces âges; plus tard, quand le tableau aura été conduit jusqu'à l'âge de 90 ou 100 ans, en additionnant les chiffres qui se trouvent sur la même ligne horizontale, ou reconstituera, — sauf erreur et perturbation, — les décès qui correspondent aux naissances mises en regard. On pourra alors poursuivre chaque génération jusqu'à son extinction.

L'idée est ingénieuse, on peut Tappeler la méthode naturelle fondée sur une génération annuelle réelle ; elle abandonne Th y pothèse d'une populaliion stationnaire (N = D) ainsi que celle d'une loi invariable de mortalité pour tous les âges , deux hypothèses que H. de Hermann détruit complètement, mais cette idée ne tient aucun compte des migrations. Hermann ne l'avait pas oublié; il en parle,

p. VIII de la livraison XVll des BtUràije; il consacre môme toule une livraison aux émigrations, mais il n'a pas montré comment il fallait procéder pour corriger Tun des tableaux par l'autre. Des étrangers viennent mourir en Bavière, des Bavarois vont mourir dans d'autres pays, et la compensation ne s'établit ni pour le nombre des individus, ni pour les âges. Si l'idée de Hermann n'a pas été adoptée *, elle a cependant eu l'influence de faire calculer la survie, d'après cette méthode, pour les premières années, par le rapprochement des décès aux naissances. Mais elle a dû être abandonnée, même en Bavière, et il était peut-être inutile de lui consacrer, surtout après M. Knapp (dont il sera question plus loin. p. 223), la longue réfutation que nous trouvons sous la signature de M. Kôrôsi dans le Programme 1 du congrès de Budapest (1876). Le savant statisticien de la ville de Budapest avait une raison particulière pour attaquer la méthode de M. de Hermann : c'est qu'il en avait conçu une autre, fondée sur le même principe, mais qui prétendait en éviter les défauts ; cette méthode est celle de Yobstrvaiion individuelle. Ainsi, H. Kôrôsi, au lieu d'observer indistinctement toute une génération ne s'occupe que de la population sédentaire, c'est-à-dire de ceux qui sont nés et qui sont morts dans la même ville (ou dans le même pays). Il ignore les émigrauts, ^ il efface les naissances qui les concernent, — et il omet lés immigrants, en ne comptant pas leurs décès. Il nous semble que ce n'est pas résoudre la difficulté, c'est la trancher; de plus, en supposant la méthode applicable sur une grande échelle, elle forcerait de laisser de côté une partie irb.s considérable de la population : on n'aurait plus une

* M. Schimmer, à Vienne (Mittheilungen de 18C9), a répété Texpérience, et son travail présente de Vi^térêt,

moyenne générale, mais une collectivitéde « tètes choisies, » une population spéciale. Nous ne voulons en rien diminuer le mérite de M. Kôrôsi, ce mérite est incontestable; mais nous devons dire que Tidée n'est pas neuve. Non que M. Kôrôsi Tait empruntée à quelqu'un , elle lui est venue tout naturellement en étudiant la méthode Hermann; il a même indiqué des détails d'exécution qui lui sont propres, mais il a pu voir par la lettre de M. Engel qu'il cite (p. 115 du Programme) que d'autres ont eu, et ont abandonné l'idée. Hopf, réminent directeur de la compagnie d'assurance sur lu vie de Gotha, la déclare bonne pour une petite ville, inapplicable à un grand pays. Nous ajouterons que le premier qui a eu cette idée, c'est, comme M. Kôrôsi, un statisticien municipal, Villot, chef du bureau de la statistique de Paris sous la Restauration , dont il est question dans les Recherches statistiques publiées par le préfet de la Seine. On verra dans l'article de Villermé, Journal des économistes^ année 1853 (t. XXXVU de la première série, p. 173), que Villot a dû abandonner son projet, à cause de Timpossibi* lité de l'exécuter. (Voy. aussi Annuaire du bureau des Iongitudes, année 18â9.) Il n'est que juste d'ajouter que Villot voulait remonter en arrière, tandis que H. Kôrôsi s'en tient au présent, ou espère en l'avenir ^ Mais, encore une fois, la population qui meurt où elle est née n'est pas toute la population; dans les capitales, c'en est à peine la moitié.

Nous avons prévenu que nous ne suivrons pas l'ordre strictementchronologique; aussi n'arrivons-nous que maintenant à parler d'une proposition très importante faite en

* M. Kôrôsi veut que, lors d'un déDombrcmeDt, on constate pour chaque individu, s*il a déjà flgurc daus le précédent. Celte constatatioQ TOUS semble bien difllcilc à réaliser.

22â LIVRE II. — PARTIE THEORIQUE.

1863 par le professeur A^'ittstein ', de Hanovre, et insérée dans le journal de statistique (Zeitschrift) de Berlin (année 1863, p. 12), proposition adoptée par le congrès de statistique de La Haye (1869), et qui, depuis, a été réalisée dans plusieurs États. On avait déjà remarqué, bien avant H. Wittstein, que, lorsqu'on parle des naissances ou des décèsd'une année, on semble supposer que toutes les N ou tous les D ont lieu dans la même minute, bien qu'en réalité les N et les D se suivent tout le long de l'année, depuis le 1*' janvier jusqu'au 31 décembre. On réunissait donc dans la même classe d'âge des individus séparés quelquefois par un laps de temps de 364 jours, et même de 365 jours moins une minute, soit de toute une année. On comprend que cette circonstance ne contribuait pas à Texactitude des résultats. Dès le siècle dernier, on a proposé de remédier à cet inconvénient, en supposant que toutes les N ou tous les D ont eu lieu au milieu de l'année. Cette difficulté était particulièrement grave pour les décès des enfants. Si Ton compare avec les naissances de 1876 les décès de 0 à 1 an, on comprend nécessairement dans cette collectivité de décès des enfants nés en 1875, et l'on omet les décès de 0 à 1 an, afférents à la génération de 1876 , qui ne s'accompliront qu'en 1877. Laplace se tira de cette difficulté d'une façon qui, jusqu'à Wittstein, n'a guère été modifiée : c La manière de former les tables de mortalité, dit Laplace, est très simple. On prend sur les registres des naissances et des morts un grand nombre d'enfants que l'on suit pendant le cours de leur vie, en déterminant combien il en reste à la fin de chaque année, et Ton écrit le nombre vis-à-vis

* M. Wittstein a publié eu i807> à Hanovre, lu -S'; Maihemaliiche Statisiik.

de TaûDée finissante. Ainsi, Ton inscrit vis-à-vis de 0 le nombre total des enfants (N); vis-à-vis de l'unité le nombre de ceux qui ont atteint 1 année ; vis-à-vis de 2, le Dombre de ceux qui ont atteint 2 années, et ainsi de suite. Mais comme dans les deux premières années de la vie la morta- UU est très rapide^ il faut, pour plus d* exactitude, indiquer dans ce premier âge le Jiombre des survivants à la fin de cliaque dtinl'annie. Il continue ainsi : t Si Ton divise la somme des années de la vie de tous les individus inscrits dans une table de mortalité par le nombre de ces individus, on aura la moyenne de la vie qui correspond à celte table. Pour cela, on multipliera par une demi-année le nombre des morts dans la première année, nombre égal à la différence des inscrits visà'tis de 0 et vis-à-vis de Vunité : leur mortalité pouvant être répartie également sur Cannée entière. On multipliera par 1 i /2 le nombre des morts dans la deuxième année, par 2 1/2 le nombre des morts dans la troisième année, et ainsi de suite. 9 (Essai, p. 162). On a proposé plus tard d'indiquer, pour la première année , les décès par mois ; mais cette amélioration, très sérieuse d'ailleurs, n*a pas encore satisfait à tous les desiderata.

H. Wittstein propose de remplacer l'indication de l'âge par celle de la date de la naissance. Ainsi, au lieu d'écrire :

ËD 1876 sont morta :

Pierre, âgé de 10 ans.

Paul, » 25 )) Jacques, » 12 » etc.

On mettrait :

Pierre, né en 1866.

Paul, )) 1851.

Jacques, » 1864, etc.

Les tableaun feraient donc connaître le nombre de ceux qui, décédés en 1876, sont nés en 1875, 1874, 1873, et ainsi de suite, en remontant. Ce principe a été appliqué aussi au recensement, où Ton demande Tannée de la naissance plutôt que l'âge; maintenant on combine même l'indication de rage avec celle de Tannée de la naissance, ce qui est un nouveau progrès, comme l'avait déjà fait H. Knapp [Die Sltrlh lichkeit in Sachsen). M. Jacob Lewin pense même (Programme du congrès de statistique de 1876) que, si Hermann avait classé les décédés d'après leurs années de naissance au lieu de les classer d'après Tâge, M. Kôrôsi aurait trouvé moins de défauts à son système.

M.Wittstein fait encore d'autres critiques.il demandeque l'âge soit relevé année par année (au lieu de par groupes de 5 et 10 ans), desideratum réalisé maintenant presque partout, et, comme Guillard, il est d'avis que les dénombrements devraient à la rigueur se répéter tous les ans. Toutefois, il sait bien que cela n'est pas praticable; il se borne donc à demander qu'on les perfectionne autant que possible. On a vu plus haut (p. S^IO et suiv.) que M. de Baumhauer et H. Bertillon corrigent les dénombrements, ce qui n'est d'ailleurs pas sans inconvénient.

Nous avons maintenant à mentionner, pour clore cette époque et l'histoire des progrès de la rédaction des tables de mortalité ou de survie, les tables de M. Becker, autrefois chef de la statistique d'Oldenbourg, actuellement directeur de la statistique allemande. Les tables que nous avons en vue — et qui ne forment qu'une faible partie des travaux de ce statisticien très distingué — se trouvent dans la Zeitschrifi du bureau de statistique de Prusse, année 1869, p. 125 et suiv.; elles sont fondées : 1** sur les naissances des années

1 849 à 1 869; â*> sur les dénombrements de 1 858, 1 860 et 1 864; 3» sur les décès de 10 ans et au-dessous, pour les années

1850 à 1864, et sur les décès des individus âgés de plus de 10 ans pendant les années 1859 à 1864 incluses (pour l'année 1864, l'âge a été ramené à Tannée de naissance); 4* sur les émigrants et les immigrants des années 1859 à 1864. On entrevoit que presque toutes les améliorations désirables ont déjà été introduites dans ces tables, qui compteraient parmi les plus parfaites si les chiffres se suivaient année par année. Nous les reproduisons, mais sans entrer dans le détail des procédés, sauf à donner quelques courtes indications dans le paragraphe suivant, où nous récapitulons les méthodes pratiquées jusqu'à ce jour, en faisant connaître en même temps la théorie de M. Knapp, dont le travail est certainement très remarquable.

Voici maintenant les meilleures tables de survie moderne, — on les appelle à tort tables de mortalité', — mais il convient de s'habituer à les désigner par leur vrai nom. Celui qui voudrait établir des tables de mortalité proprement dite n'aurait, en se servant d'une table de survie, qu'à défalquer le chiffre d'un âge de celui de l'âge précédent pour savoir combien il meurt en moyenne sur 500 ou 1,000 d'individus de l'âge cherché. Ainsi, à la première colonne du tableau qui suit, si l'on défalque 427 de 500, on trouve que sur 500 enfants il en meurt en Danemark 73 dans la première année.

Aui tableaux qu'on trouvera à la page suivante, les pays ont été classés dans un ordre à peu près géographique.

TabUs de survie (Hommes).