xl = X V — TT 1= 47: ni L fx Sj
Donc, on peut formuler cette loi, que « la force magnéto-motrice
« nécessaire à produire le flux / dans un système complexe est la
« somme des forces magnéto-motrices nécessaires pour produire le
«c flux dans chacune des pièces prises isolément, et placées dans |
« des conditions déterminées ». [
LE CIRCUIT MAGNÉTJQUE i3i
Ceci suffît à permettre le tracé graphique qui donnera la loi qui relie le flux utile/ avec la force magnéto-motrice iiz ni.
En effet, supposons tracées sur deux axes les courbes qui représentent les équations:
ar, z= etc, a?3 = etc.
Cette dernière, qui correspond à Tentrefer, est une droite inclinée passant par Torigine (lig. HO).
Traçons une abscisse quelconque PP': sur celle-ci prenons PM
Fi- 110.
égal à la somme PA + PB + PD + PE, le point M appartiendra à la courbe cherchée, car son abscisse est bien égale à aTj -f a:» + etc., et représente bien la valeur de iiz ni qui correspond à une solution particulière / de Téqualion (2).
Le problème sera donc complètement résolu si Ton sait tracer les courbes primitives définies par les équations (3), telles que :
Chacune de ces équations exprime Tétat magnétique que peut
prendre la pièce considérée, et cet état dépend de trois facteurs, savoir :
La forme géométrique, qui intervient par le rapport-^ qui est connu ;
Le système magnétique auquel elle appartient, qui intervient par le coefficient v supposé connu ;
La qualité du fer au point de vue magnétique, qui est définie par |i.
Or, si Ton possède la courbe B = .uH obtenue expérimentalement sur la qualité du fer de la pièce considérée, il est très facile de passer à la courbe élémentaire de Téquation (3).
On a, en effet, en appelant / la longueur totale du circuit magnétique, la suite de relations :
/' = BSx=fxHSx = fx^^-S^
que Ton peut écrire :
Dans cette dernière forme de la formule, la quantité entre parenthèses est évidemment égale à .Ti, d'où :
^f = ±UBj,= UUj,
Donc, pour chaque valeur de /, prise arbitrairement, on calculera Ba = ^ . Sur la courbe B = jjlH, on prendra la valeur de H, et celle-ci multipliée par U donnera la force magnéto-motrice x, correspondante au flux/.
Dans la pratique industrielle, on rapporte souvent le flux aux ampère-tours ni d'excitation qui ne difl'èrent que par le coefficient 47t de la force magnéto-motrice.
Un simple changement d'échelle permet donc de passer des uns aux autres.
Cette construction, extrêmement ingénieuse, est due à MM. Hopkinson. Elle repose sur une base absolument scientifique, et ses auteurs en ont tiré tous les développements que nous exposons par la suite»
LE CIRCUIT MAGNÉTIQUE
109. — Dérivations magnétiques. — Dans ce qui précède, on a dû, pour calculer le flux de force dans le noyau de l'induit, tenir compte d'une certaine perte, {v — 1) F. Ce flux est celui qui passe en dehors du noyau de l'induit, à travers Tair.
L'air, ayant une véritable conductibilité magnétique, peut être considéré comme un conducteur, réunissant en dérivation les différentes pièces de fer qui constituent le circuit magnétique principal.
Par suite de l'analogie signalée entre la formule d'Ohm pour les courants électriques, et la formule des flux magnétiques, il était aisé de prévoir que les lois des dérivations électriques devaient trouver aussi leur application en ce qui concerne les circuits magnétiques.
C'est, en effet, le cas ; et cette extension permet de calculer le flux réel dans chaque pièce d'un circuit simple ou complexe, et plongé dans un milieu faiblement conducteur tel que l'air.
Fig. 111.
Elle permet aussi de calculer par avance le coefficient v d'Hopkinson, qui figure dans les formules précédentes, et la valeur réelle de l'entrefer utile.
MM. Ayrton et Perry ont vérifié à l'aide d un appareil repré-
i34 MACHINES DYNAMO-ÉLECTRIQUES
sente figure 111 l'application de la formule des résistances réduites à plusieurs pièces de fer.
L'appareil est formé d'un électro-aimant en fer à cheval D, terminé par deux pièces cubiques P. Le circuit magnétisant est C^ et c est la bobine reliée au galvanomètre balistique.
Trois armatures Q, S, T, peuvent se placer à la fois ou séparément sur les faces du cube, où elles sont maintenues appliquées par des ressorts (non figurés), et centrées par des goupilles p. Afin de se rapprocher le plus possible des conditions où se trouvent les circuits des machines dynamo-électriques, chaque armature est terminée par des disques dd en laiton, qui empochent le contact immédiat de fer sur fer, et constituent un entrefer de Tordre de grandeur de celui des machines.
A l'aide de cet appareil, les auteurs ont reconnu que la loi des dérivations électriques est applicable aux armatures. La conductibilité magnétique de P à P est la somme des conductibilités des armatures qui y aboutissent. Ils trouvèrent également que la courbure brusque que les lignes de force éprouvent pour passer du cube à une armature placée latéralement, sur les faces />, ne paraît rendontrer aucune difficulté et n'exiger aucun effort supplémentaire.
Enfin, Tordre de grandeur delà conductibilité de Tair fut trouvé beaucoup plus grand qu'on n'aurait pu le penser.
110. — Au sujet du calcul de la résistance magnétique des espaces d'air, Is^ difficulté était que le trajet des lignes de forces y était à peu près inconnu.
M. Forbes et MM. Ilopkinson montrèrent qu'on pouvait dans tous les cas faire à ce sujet des hypothèses simples, et tracer idéalement un canal de forme régulière, dans lequel on suppose le flux uniformément réparti.
II est bien évident que ce n'est là qu'une approximation; mais elle paraît suffisante pour que les résultats obtenus aient une concordance pratique tout à fait satisfaisante avec ceux que fournil l'expérience directe.
La résistance magnétique de Tair le long d'un tube de force est toujours proportionnelle à la longueur, et en raison inverse de la section du tube.
LE CIRCUIT MAGNÉTIQUE
Il est toujours facile de connaître la longueur moyenne avec une exactitude pratique suffisante ; mais la section du tube est généralement variable. Ce n'est donc que par une intégration qu'on pourra obtenir la valeur de la résistance et on devra faire sur la trajectoire des lignes de force les hypothèses telles que rintégration soit possible.
On a donc en général :
i rds
Les cas les plus fréquents, auxquels on pourra toujours ramener ceux qui se présentent dans la plupart des machines, sont les suivants :
m. Surfaces parallèles. — Le flux passe entre deux surfaces .Vi et Si parallèles entre elles (fig. 11 2 et 1 1 3), et situées à une distance d,
ni 1 ^ Am' • ^^^+^^) On prendra comme valeur de / y 1 expression ,
ce qui revient à assimiler le tube de force h un tube ayant la même longueur, et une section uniforme égale à la moyenne des surfaces terminales réelles.
La môme formule s'appliquera aux surfaces courbes parallèles (fig. 113).
Fig. 1J2 et 113.
112. Surfaces égales voisines dans un môme plan. — Soient par exemple les surfaces S S, appartenant au même plan, et voisines Tune de l'autre. On admettra que le flux émané de lune se propagera par arcs de cercle parallèles entre eux et aboutissant à l'autre
Soit OM = /• le rayon d'un quelconque de ces arcs de cercle. En M, on a :
dS = (I. dr
La longueur de l'arc de cercle qui représente la trajectoire de la ligne de force passant en M, est :
On a don :
A = ri^ et B = r^ sont les limites de Tintégration.
113. Surfaces égales distantes dans un même plan. — Si les surfaces sont assez distantes Tune de Tautre, on ne pourra plus considérer le flux comme se propageant suivant des arcs de cercle.
Fig. 114,
Fig. 115.
On admettra alors que les trajectoires sont des arcs de cercle raccordés par des droites (fig. H5).
Soit b la distance des surfaces et n = AB le rayon limite, on
dS = a. dr
l =ntr+ b /=oB
Or, d'où,
/ds r adr l J -Kr + b
d, (t: r + b) z= Tt dr
dr = - d (tt r + 6)
et l'intégrale peut sVcrire
a rdlr.r -{-b) a , , r. r -\- b
LE CIRCUIT MAGNÉTIQUE 137
Ces trois cas très simples d'évaluation de la valeur de / -r- et par conséquent de la conductibilité magnétique, pour différents espaces d'air, sont suffisants pour Tétude des machines des formes les plus usuelles. Dans le cas où pour une forme spéciale on rencontrerait des conditions qui ne pourraient pas se ramener à celles-ci, il ne serait pas difficile en général de faire telles hypothèses qui parmettent de ramener l'évaluation à un cas tout aussi simple. La méthode est sulûsamment établie par les cas qui viennent d'être analysés pour qu'il ne se rencontre pas de difficultés sérieuses dans son extension à d'autres du même genre.
