L -77 + Ri = 2 fi sin mt cos m a dt

En différentiant cette équation, et éliminant j^ entre elle et sa dérivée, on trouve de suite

2 * cos m a /„ . ^ , .y

t = .., . a . g ( R sm mf — m L cos mt

2 & cos m c R« + m*

Tel est le courant.

207. Travail et Puissance. — Cherchons maintenant le travail et la puissance de la machine menée :

e = fi sin w (^ — a)

2ô*cosmar. ,^ wn • * * .1

ex = p^ — j-T-j sin r» (< — a) (R sin m< ^ m L cos mf j I

On développe les lignes trigonométrîques, et on introduit les fonctions de 2mty ce qui donne pour la quantité entre crochets :

„ 4— cos2mt , - . 4 4-cos2yw(

R cos m a h »» L sin m a — - —

(, , ij» • \ sia 2 w( m L cos m a + H sin mal —

En intégrant cette fonction pour un nombre exact de périodes, il vient simplement

^ 2fi»cos wa / , , . \^

g^ = jrqiT^Lî ( H cos m a + w L sin »» a 1 g

et par conséquent

.., S* cos m a / , . . \

8 ^ ut i. lit l " ^^^ m a + m L sin m a 1

expression qu'on peut aussi écrire,

^^* = 2' (A»T m^ L») [^ ^* + *^^^ ^'" «) + m L sin 2m aj On trouverait de même

„, S» cos m a 1 „ / . . -» > in 1

Il en résulte que c'est la machine menante qui accomplit le moindre travail : elle tend donc à accroître sa charge jusqu'à ce qu'elle soit égale à celle de la machine menée, et qu'il y ait équilibre.

Or, pour que cela soit, il faut que la puissance se partage entre les deux machines, c'est-à-dire que la différence soit nulle.

Cette différence est

■ S* cos m a . , . -

2mLsin2m9(

Il faut donc que Ton ait

cos m a sin 2m s =

d'où, en développant,

sin m 2 = 1

2iî __ r T °^ "" 2

C'est le résultat déjà trouvé.

Mais en même temps le courant est nul, puisque son expression contient en facteur cos m a qui devient cos ^ c'est-à-dire

nul.

T Donc, il y a bien augmentation du décalage jusqu'à a = 7.

208. La machine menée est motrice. — Dans ce qui précède, nous

avons supposé la machine menée tout à fait libre et dénuée de

toute résistance passive. C'est dans ces conditions que la retarda-

lion de la phase peut atteindre la valeur -7.

T Mais dans tout l'intervalle entre a = Oeta = j,ilya travail

transmis d'une machine à l'autre.

Supposons donc que la machine menée fonctionne comme moteur, étant chargée d'un frein, par exemple.

Dans ce cas la retardation de la phase s'arrêtera précisément au moment où il y aura équilibre entre le couple moteur électrique moyen et le couple résistant.

Lorsqu'on réalise l'expérience sous cette forme on peut, en général, négliger les résistances intérieures devant les self-inductions.

Les formules se simplifient alors, et Ton a jiour le courant :

. __ 2 S cos m a cos int ~~ mL

et, pour la puissance transmise

S» sin 2m a

Telle est Téquation qui lie W à a. Cette puissance est susceptible d'un maximum, pour sin 2m a = l, c'est-à-dire

Ainsi, lorsqu'il n'y a aucune différence de phase entre les machines (2a = 0) le travail transmis est nul : lorsqu'il y a une différence «f2a = ^,a = -l le travail est encore nul. Dans l'intervalle, il est réel et deux valeurs symétriques du calage correspondent à une même valeur de ce travail.

La puissance maxima est :

elle est la mAme que s'il n'y avait en circuit qu'une résistance égale à Y L.

Le courant correspondant est :

2S cos -f cos mt « / -

. 4 S v2 cos mt

'" ~" wL "" toL

Il est intéressant de comparer cette valeur du courant à celle qui s'établirait dans la machine mise en court-circuit. On aurait alors :