LA RÈGLE OU GL'IUE EN PARTICULIER

31. Par le tracé que nous avons exposé pour la règle, on voit quelle est la forme générale affectée par cette règle. Elle est légèrement courbée pour l'ascendante, tic façon fi accélérer depuis l'extrême point la vites.se d'élévation du guide-fil; à l'extrême point elle forme une arête très obtuse. Ou a vu comment cette arête se relie à la partie qui guide la formation de l'ascendante, de manière à effectuer le passage des inclinaisons d'enroulement ou soubresaut de la descendante à l'ascendante.

Souvent, en réalité, on ne prend pas beaucoup de précaution pour la règle; on la constitue simplement de deux lignes droites. 11 en résulte une tendance à des bourrelets de base et des couches non-seulement moins belles, mais encore quelquefois très difficiles à dévider rapidement, puisque les bourrelets en question, pouvant se trouver au-dessus de la base, peuvent aussi offrir un diamètre plus grand que celui de cette dernière.

Dans un des premiers métiers automates réalisés, on avait constitué la courbe de la règle par une seule ligne droite, en sorte que pendant tout le temps du renvidage la baguette était animée d'un mouvement ascensionnel. Alors, à la (ïn du dépoinlagc, le guide-lil était arrivé à une position inférieure à celle qu'il doit avoir au début de l'ascendante. 11 résultait de cette disposition, qu'au début du renvidage le fil s'enroulait sur la bobine île haut en bas pendant que la baguette s'élevait ; que l'inclinaison d'enroulement décroissait en raison I" de l'accroissement du diamètre de la tète depuis son sommet jusqu'à sa base ; 2° de l'ascension du guide-fil; 3" de la rotation plus ou moins rapide de la broche. Lorsque, par ce mouvement, l'inclinaison d'enroulement devenait nulle, la descendante était achevée et l'ascendante commençait. — Quand, sans changer le mouvement ascensionnel du guide-fil, le mouvement de rotation était rendu plus rapide ou plus lent, la baguette ou le guide-fil s'élevait d'une quantité moindre ou supérieure avant le moment où l'inclinaison d'enroulement était devenue nulle : la longueur de couche dépendait donc essentiellement de la relation qui existait entre

la vitesse de rotation de la broche au commencement de la rentrée du chariot et la vitesse de translation du guide-fil. Cette combinaison ne pouvait être employée qu'avec une baguette ayant de grands rabat-fils et un grand intervalle entre le guide-fil et la bobine; elle était, par conséquent, rendue possible par la convergence des directions du fd pendant la formation de la descendante (21). Mais elle avait le tort de rendre le point d'enroulement presque impossible à maîtriser, et par conséquent de rendre les marches de base très influençables par les moindres causes. C'est ce qui a conduit naturellement à diminuer autant que possible la distance du guide-fd à la bobine et par suite à l'obligation de donner au guide-fil un mouvement de descente pour former la descendante.

32. D'après ce que nous avons déjà dit de la descendante ou du croisement, on conçoit que, dans les diverses positions à donner à la règle, on puisse ne pas en tenir compte et ne considérer que l'ascendante. C'est ce que l'on fait effectivement. Pour chaque couche on ne s'inquiète, pour les positions à donner à la règle, que 1° de la position du point de celle règle qui, à côté de l'exlréme-point, corresinmd au commencement de la formation de l'ascendante, et 2° de la position du point de cette règle, vers le porte-cylindres, qui correspond à la formation du sommet de /' ascendante.

Voici par quelle disposition mécanique la règle se déplace à chaque couche, à chaque aiguillée (fig. 20).

Soient ABC la règle en élévation longitudinale;

DE cette même règle en section suivant une ligne mn.

Cette règle est juxtaposée à une pièce longitudinale III JK, et PG en coupe, qui sert de support général à tout l'ensemble de son mécanisme.

L et M, deux coulisses obliques pratiquées dans la pièce II J, et au travers desquelles passent deux pièces N, 0, solidaires de la règle, et qui reposent par le poids de la règle sur les bords courbes supérieurs de deux pièces Q, R, dites platines. Ces platines sont assises dans une rainure pratiquée dans le rebord inférieur K J du support général II J. On voit, dans la coupe, l'une de ces platines S, et la vue de côté d'une des pièces N, 0, reposant sur ces platines et soutenant la règle.

Les platines sont susceptibles de se déplacer dans la rainure et sont reliées l'une a l'autre par une double tringle à coulisse Y, qui permet de régler à volonté leur écarlement.

La platine Q, qui correspond à l'extrême point B, s'appelle platine des bases; l'autre s'appelle platine des sommets. La platine Q est munie d'un écrou fixe X (T en coupe), traversé par un arbre lilcté V, lequel passe encore par un coussinet

— îii —

ou support Z, et porte, à son extrémité, un rochct a et un appareil à cliquet qui commande la rotation de ce rochet. A chaque aiguillée, le rochet doit tourner d'une dent et commander le déplacement des platines et, par suite, celui de la règle. — On remarque dans la ligure 21 la disposition, vue de côté, de l'appareil a cliquet : cet appareil se compose d'une pièce à trois branches, f,j, h, librement oscillante sur le prolongement g de l'arbre lileté V de tout à l'heure; la branche f tient un cliquet e articulé et qui repose sur les dents du rochet d; la branche ; repose sur la plaque / (qui était dans l'autre ligure la plaque c, support de la pièce H J). — Lorsque le chariot arrive aubout de sa course, un nez incliné, », qui lui est solidaire, vient soulever la branche h et pousser le rochet d'une dent. Le nez i se retire lorsque le chariot rentre, et la pièce à trois branches retombe sur sa branche j.

Par les courbures des platines, on varie la hauteur de la règle comme on veut, et par conséquent les altitudes des couches successives; on varie aussi les inclinaisons de la règle, et par conséquent la différence des altitudes de base et de sommet, ou, autrement dit, la longueur des couches.

Pour varier le nombre de couches d'une altitude à une autre donnée, on varie le nombre de dents du rochet dans le même rapport. La machine est d'ailleurs toujours munie de nombreux rochets de rechange.

L'un des nez N, 0, ne doit pas avoir de jeu dans sa coulisse, et l'autre doit en avoir, afin de permettre a la règle de varier d'inclinaison sans contrariété.

Le déplacement horizontal de la règle se fait par l'effet de l'obliquité des coulisses L, M.

Gomme on le voit par ce dispositif, les retouches ou appropriations à la lime que l'application nécessite se font sur la règle lorsqu'il s'agit de toucher aux lois suivant lesquelles se forment les couches, et elles se font sur les platines lorsqu'il s'agit de toucher aux lois des altitudes, ou des longueurs, ou des superpositions de couches.

33. On a fait des règles en deux pièces articulées à l'extréme-point, ce qui permettait la variation de la course de la baguette à la descendante ; mais on ue les emploie plus.

On a même fait des règles en trois pièces; la troisième vers le porte-cylindres pour le sommet, et aussi, comme nous le reconnaîtrons plus tard, pour satisfaire à quelques nécessités de l'cmpointage; mais on les a également abandonnées.

On avait pensé, dans certaines machines réalisées il y a une vingtaine d'années, qu'il y avait avantage à varier d'une couche à l'autre la courbure de la

règle ; et pour y arriver on avait établi, pour servir de règle, une pièce circulaire le long rie laquelle roulait, pendant la rentrée du chariot, un galet qui transmettait à la baguette l'oscillation résultant de la courbure de cette pièce suivant la ligne de parcours du galet. Après chaque aiguillée, cette pièce circulaire tournait sur elle-même d'une certaine quantité, ce qui faisait qu'à chaque nouvelle aiguillée le galet considéré roulait pur une autre ligne qui lui donnait le nouveau mouvement nécessaire à la nouvelle couche en formation. Mais cette disposition laissait au régleur une grande difficulté d'appropriation pratique, attendu qu'elle ne lui permettait une modification dans les marches des couches ou dans une loi des pointa d'enroulement qu'en l'obligeant à retoucher la totalité de la surface de cette règle circulaire.

Toutes sortes de dispositions ont été données à la règle; ainsi on a quelquefois substitué aux platines, des excentriques; — on a même aussi substitué à la règle un excentrique. Le lecteur entrevoit, comme nous, qu'avec les mêmes principes sur lesquels se base la combinaison de la règle ordinaire et de ses platines, on peut trouver des organes et des arrangements d'organes très nombreux.

Enfin, on fait aussi des règles qui constituent la couche de quatre hélices comme le fait d'ordinaire le fileur, mais elles entraînent avec elles des difficultés de retouche qui les font abandonner. D'ailleurs, elles n'offrent, dans les cas ordinaires, et sous tous les rapports, que de l'infériorité sur les règles ordinaires des bons métiers.

34. A cause de l'inclinaison d'enroulement au début de la descendante, l'extrémité correspondante de la règle (vers la petite têtière) est plus élevée que l'autre extrémité.

D'une manière empirique, la règle peut se construire comme il suit : AB (fig. 22), représentant la portion de règle qui correspond à la formation réelle de l'ascendante, et que l'on trace par le moyen exposé (25); cette courbe AD étant, d'ailleurs, modifiée ultérieurement par le tâtonnement. Soit A C une verticale représentant la différence de niveau des points A et B pendant la formation d'une couche du corps. Le point A n'est pas l' extrême-point, mais le point correspondant à l'endroit où la courbe de renvidage, après l'extrémepoint, donne une sensible reprise de vitesse de rotation. Le point D correspondant au point de plus grand ralentissement, élevons-y une perpendiculaire DE à la droite G B prolongée. Soit E le point de rencontre de la droite AB avec la ligne D E. Dans le cas où le ralentissement de vitesse doit être très sensible, nous prenons le point E pour extrême-point. Dans le cas où le ralentissement

est faible, nous prenons [tour extrême-point un point E', situé au-dessus du point E, d'une quantité susceptible de faire faire au guide-fd une course égale tout au plus au diamètre de la broche. — Soit B F l'aiguillée. Du point F correspondant au début de la rentrée du chariot, élevons une verticale, et du poiut G, milieu de A B, menons une parallèle à F B, qui coupe la verticale F en un point H. Nous joignons ce point au point E ou au point E' par une «Iroite ou une courbe qui a très peu d'influence par elle-même sur le renvidage, mais qui peut en avoir un peu sur le dépointage, comme nous le verrons quand nous étudierons cette opération. Nous verrons, au sujet de l'empointage, la courbure par laquelle il faut terminer la règle du côté du porte-cylindres.

WMlUTIÏiKS GÉOMÉTRIQUES DANS LES HOHINES EN CANETTES

.'15. Nous avons besoin ici de poser quelques nouvelles définitions. Nous appelons :

Knppart de forme, en un point de la tête ou du fond, le rapport entre L'épaisseur de la bobine en ce point, et la distance de la projection de ce point (sur l'axe) à celle du sommet de cette tête ou à l'origine.

l'oints homologues de deux ou pilleurs longueurs, les points de ces longueurs qui sont scmblablemcnt situés par rapport à leurs extrémités.

Points homologues et épaisseurs homologues de rouches, les points et épaisseurs de couche dont les projections sur l'axe sont des points homologues des longueurs de ces couches.

Fractions homologues de couches et de sections de couches, les portions de couches ou de sections de couches contenues entre des plans perpendiculaires à l'axe, dont les intersections avec cet axe sont des points homologues des longueurs de «•es couches.

Parties homologues des bobines, leurs parties principales qui sont sensées semblables, les noyaux, les corps, les fonds, etc.

Couches homologues des noyaux, ou des corps, ou généralement des bobines, celles qui, dans les noyaux ou dans les corps, so trouvent situées de telle manière que les rapports du volume du noyau ou du corps qui reste a former au volume du noyau ou du corps qui est déjà formé, sont les mêmes.

Points, bases, sommets homologues des bobines, les points qui, dans les couches homologues des bobines, sont des points homologues de couche. — Leurs altitudes sont également homologues.

Rapports homologua de formes de bobines, les rapports de forme qui sont pris en des points homologues des longueurs de la tête ou du fond des bobines.

Mous ferons remarquer, relativement au grand nombre des définitions que nous faisons, que ces délinitions nous permettent de donner plus de clarté cl plus de concision à nos démonstrations, et que leur adoption générale facilite-

rait singulièrement l'échange des idées entre hommes qui s'occupent «les métiers à filer self-acting.

30. Toutes les fois que nous voudrons substitut tr aux appréciations expérimentales de la réalité dans la bobine un calcul, une appréciation mathématique donnant des résultats rapprochés de la réalité, nous supposerons que le 111 qui constitue une couche, au lieu de se composer de deux espèces d'hélices, se compose d'une série d'anneaux de fil ou cercles de différents diamètres. Kt nous supposerons aussi que la section de ces fils est infiniment petite; que la longueur totale du fil qui constitue une couche est constante; que, par suite, le nombre des cercles ou tours de fil de chaque couche est toujours fini, tandis que le nombre des couches qui constituent la bobine est infini. Nous admettrons encore que les anneaux de fil et les couches se superposent sans laisser d'intervalles entre enx, que le fil est incompressible et homogène, et que, par conséquent, la bobine est de densité parfaitement uniforme. — Oc ces diverses suppositions il résulte que la bobine, dans toutes ses parties, peut être considérée comme engendrable géométriquement par la révolution de la section de ses parties autour de l'axe. —Considérons une pareille bobine n'engendrant par la superposition continue d'anneaux de fil qui vien nent successivement former chaque couche de sa base à son sommet.

Avec ces suppositions nous allons présenter maintenant des considérations géométriques sur les relations qui existent entre quelques parties des bobines; c'est une théorie dans laquelle nous avons, en quelque sorte, enrégimenté les principaux problèmes qui peuvent se présenter et se résoudre au sujet des canettes.

37. Considérons (fig. 23) la section AD CD d'une bobine formée ou en formation sur une broche dont la droite X est l'axe, et que nous supposons cylindrique. Soient a, 6, c... les sections des têtes des couches successives qui constituent cette bobine; Y un axe perpendiculaire à l'axe X, et passant par l'origine de bobine A. Nous appellerons origine des axes, leur point 0 d'intersection. "Soit encore un axe Z perpendiculaire aux axes Y, X, et passant par leur origine 0.

Nous appellerons forme de He, la courbure d'une section de tête rapportée aux axes X, Y.

Portons sur l'axe Z, et à partir de l'origine, une longueur EO représentant le volume final de la bobine, et portons, à partir du point E, dans la direction EO, les volumes totaux successifs de la bobine.

Considérons en chaque point de l'axe Z, un plan parallèle aux axes X, Y. Supposons que sur ce plan se trouve transportée la forme de tête de la couche en formation, au moment où la hohine a acquis le volume total représenté par la distance du point E au point d'intersection de ce plan avec l'axe Z. Nous voyons que l'ensemble des formes de tète ainsi déplacées, constitue une surface courbe qui nous représente l'ensemble des phases par lesquelles passe la forme •le la bobine pendant la génération de son volume. Nous lui donnerons le nom de surface de» formu.

Il est facile de reconnaître que la surface des formes .sera limitée; qu'elle coupera le plan X, Y, suivant la dernière section de tète CD; que la série des sommets de couche dessinera une ligne D F parallèle au plan XZ; «pic la série des bases du corps formera une ligne CG, également parallèle au plan XZ, si le corps de la bobine est cylindrique; que la section de la première tète, que l'on peut confondre avec la génératrice de la broche (puisque chaque couche est supposée d'un volume infiniment petit), formera une droite F H parallèle à l'axe X, et qui sera la quatrième limite de la surface des formes; enlin, que la série des bases du noyau formera une ligne H G. Si toutes les sections de tête étaient droites, on pourrait considérer la surface des formes comme engendrée par une droite toujours parallèle au plan YX, et se transportant de la position H F à la position CD, en restant toujours en contact avec la ligne II G C d'une part, et la ligne F Dde l'autre. — On comprend que cette surface des' formes n'est pas continue au jmssage du noyau au corps, à cause du changement brusque de la direction dans laquelle se superposent les bases.

Ku projetant les lignes HCC et FD sur le plan XZ, nous trouvons des lignes ELM et IK qui nous représentent par leurs valeurs X les altitudes de base et de sommet des têtes de bobine par rapport aux valeurs Z, c'est-à-dire par rapport aux volumes acquis de la bobine.

Toutes les lignes, telles que NPQ, tracées sur le plan XZ, de façon que les distances qui existent entre chaque intersection de cette ligne avec une parallèle à X, et les intersections de cette parallèle avec les courbes ELM et 1 K des altitudes, soient dans le même rapport, sont les projections des points homologues de toutes les têtes de la bobine. — La ligne exactement moyenne dans ses valeurs X entre les lignes KLM et IK, représente, par conséquent, par ses X les altitudes îles couches ou des milieux des couches, et par ses Z les volumes correspondants de la bobine.

Si l'on coupe la surface des formes par un plan parallèle au plan XZ, et distant de ce dernier d'une longueur r, la ligne d'intersection du plan parallèle considéré avec la surface des formes, ou sa projection sur le plan XZ, représente

par ses X les altitudes des points de rayon r des différentes têtes, et par ses 7. les volumes corresj>ondants de la bobine. — Nous appelons cette courbe courbe des altitudes de même rayon r.

Si l'on coupe la surface des formes par un plan parallèle au plan YZ, et distant de ce plan d'une longueur/, l'intersection de ce plan avec la surface des formes s'arrête d'une part à la ligne HGC, dé l'autre à la ligne brisée H Kl). Celte intersection représente par ses Y les rayons de même altitude t, et par ses Z les volumes acquis par la bobine aux moments où ses têtes ont à leur altitude l lesdits rayons Y. Cette intersection, nous l'appellerons courbe des rayous de mime altitude t ou des rayons conjoints d'altitude t. Cette courbe deviendra lu courbe des épaisseurs totales de même altitude, si on retranche de chacune dises ordonnées l'intervalle des plans AH FD et Z X.

88. Considérons la surface des formes coupée par deux plans parallèles au plan XY, et infiniment rapprochés. Les intersections de ces surfaces seront celles de deux têtes consécutives qui, dans la bobine, contiennent entre elles une des couches infiniment petites (en volume) qui composent cette dernière.

Considérons cette couche en formation de sa base à son sommet; soit À la longueur variable de cette couche pendant sa formation, et f l'expression «lu nombre simultanément variable de cercles de fil se disposant sur la longueur X.

[.'expression f = F (X) nous représente la loi de formation de cette couche, el sa dérivée ^ = F (X) nous représente ce que nous appelons les modules 7i

île la couche par rapport aux valeurs X.

Le lecteur comprend que l'épaisseur de couche est égale, en un point donne, au module, en ce point, multiplié par la section du fil ; soit dit en passant.

Considérons construites sur l'un des plans secteurs en question plus haut, (plans parallèles au plan X Y), deux courbes ayant pour abscisses les abscisses \

de la forme et pour ordonnées les valeurs correspondantes f et ^ Si nous

considérons de pareilles constructions faites pour chaque plan parallèle à XY. l'ensemble des courbes de formation et des modules nous donne deux surfaces que nous appellerons : l'une, surface des lois de formntùm; l'autre, surface de* modules ou des dérivées des lois de formation.

En coupant ces surfaces par un plan parallèle à Y Z, nous avons, par l'intersection de ce plan avec la surface des formes, comme nous l'avons déjà dit. une courbe des rayons de même altitude et, par l'intersection avec la surface

des modules, une courbe donnant la loi des modules de même altitude, Comme, toutes cboses égales d'ailleurs, l'épaisseur de couche en un point, ou l'accroissement de rayon de même altitude, est proportionnelle au module en ce point, nous voyons que la loi ou la courbe des modules de même altitude est un multiple de la loi ou de la courbe des épaisseurs conjointes et, par suite, un multiple de la dirivèe de la courbe des rayotu de même altitude. (Nous disons qu'une loi ou une courbe est multiple d'une autre quand ses ordonnées de même abscisse sont dans le même rapport).

39. Soit actuellement Y le volume de la bobine, S sa section totale. Considérons ces deux grandeurs, en génération simultanée, liées par l'expression S = / (V); la différentielle dS — f (V). <f Y, exprime la section d'une couche; or d \ — $1, $ et l représentant la section et la longueur du til qui constitue une couche. Substituant la valeur de «/Y, dans l'expression de dS, il vient

dS=/(Y)- «f, d\>*^ = /(V). /.

dS

Le nombre N de tours du lil pour une couche est égal à — » doue

If==/(V)./ = ^.|. (A, Soit g la circonférence décrite autour de l'axe par le centre de gravité de la section de couche, on a d V = g.dS, d'où — = ~ — f (Y). Substituons - à ^

dans l'équation (A), il vient N = d'oùNg = /.

Nous avons déjà reconnu la justesse de cette dernière expression au n" 18.

Pour une couche quelconque, la valeur maximum de f est égale à N.

D'après ce qui précède, on voit que les lois de formation sont, en principe, indépendante* de s, mais, dans toutes leurs ordonnées (et par conséquent aussi dans leurs ordonnées maximum qui représentent N), proportionnelles à la longueur l du fil de chaque couche et en raison interse de la circonférence g.

■40. Nous appelons bobines égales, les bobines ayant même surface de formes.

Nous appelons bobine unitaire, une bobine dont nous sommes satisfait, dont les diverses parties peuvent nous servir d'unité de mesure pour les mêmes parties homologues d'autres bobines. Nous supposons dans ce chapitre que nous savons arriver à cette liobine satisfaisante.

Nous appelons surfaces unitaires, les trois surfaces qui représentent la bobine unitaire dans ses formes et lois principales.

Si nous multiplions les dimensions X, Y, «le la surface des formes par K et les dimensions Z, par K*, nous obtenons une surface de formes qui correspond à une bobine semblable k certains égards a la bobine unitaire. — Si nous multiplions simultanément i par K', nous voyons que les X des surfaces des lois de formation et des modules seront également multipliées par K, que les valeurs Y des lois de formation seront multipliées par K', et les valeurs Y des modules par K. Quant à leurs valeurs /.. elles sont évidemment multipliées l»ar K\ comme dans la surface des formes. — Les bobines ainsi obtenues, nous les appellerons bobines multiples.

41. Dans l'application on a souvent des grandeurs susceptibles de varier d'une manière intermittente et de constituer par la série de leurs états, une progression obéissant à une loi fixe. 11 arrive que, suivant les conditions diverses «le l'application, ces états sont plus ou moins nombreux entre les mêmes extrêmes et obéissent néanmoins à la même loi. Il devient avantageux alors de représenter ces progressions par une fonction algébrique ou au moins une courbe contenant en elle tous les cas de l'application et même le cas où l'on suppose infini le nombre de ces états entre les mêmes limites.

C'est précisément à te point de vue que nous avons d'abord supposé que les sections de lil et les volumes des couches sont infiniment petits. La continuité résultant de cette supposition dans les variations d'une bobine pendant sa formation, nous a permis de faire concevoir des surfaces continues, contenant en elles les phases par lesquelles passent les lois qui président à la formation des têtes successives et les phases par lesquelles passe la forme de la bobine.

Si, actuellement, nous supposons la section s du fil finie, sans supposer changée la longueur / du fil qui constitue chaque couche, nous voyons que les formes de tête seront le résultat des intersections de la surface des formes et de plans secteurs parallèles à X Y, et espacés de quantités finies et égales; que les lois de formation et les lois de modules seront représentées par les intersections des mêmes plans avec les surfaces des lois de formation et des modules. Le nombre de ces plans secteurs variera comme le nombre des couches eu raison inverse du volume d'une couche.

Il est clair que, pour que ces surfaces puissent ainsi contenir en elles, sans erreurs sensibles, toutes les couches des cas particuliers de l'application, il faut que le nombre îles couches de la bobine soit assez graud pour pouvoir faire

considérer le yolume de chaque couche comme très petit . relativement au volume total de la bobine ; ainsi, il faut que la bobine se compose d'au moins, cent couches.

42. On remarque que. dans les bohines égales, à couches de volumes finis ou non linis, les trois surfaces sont invariables quand s varie, mais qu'une variation de / amène une variation dans le même rapport des ordonnées des surfaces des lois de formation et des modules. On remarque aussi que, dans les bobines multiples, les volumes de couches variant comme /, et par suite comme K\ le volume total variant aussi comme K\ le nombre de couches est invariable.

Toute» 1rs bobine* multiples et leurs égales, constituent ce que nous appelons de> bobines semblables.

11 est inutile de démontrer que, dans les bobiue* semblables, les modules conjoints d'une d'entre elles restent conjoints dans leurs homologues des autres; cela résulte du principe mémo de la similitude.

43. Considérons la section ABC1) (fig. 24) d'une couche quelconque. Soient X, son axe, Y un axe d'ordonnées coupant l'origine de la bobine dont la couche en question fait partie. Nous pouvons considérer cette section comme

composée d'une infinité de rectangles élémentaires a, b, c, d , d'épaisseurs

infiniment petites, et dont les longueurs, ou grands côtés, sont parallèles à X, et mesurent par conséquent les avances des divers points de la couche. On peut considérer le volume de la couche comme composé de volumes annulaires élémentaires, engendrés chacun par la rotation de l'un des rectangles élémenmentaires cités. Les petits espaces vides résultant, dans la section, de cette division en rectangles élémentaires, peuvent être considérés comme nuls relativement aux avances, et par suite, à la section ; nous pouvons donc les négliger dans nos appréciations.

I/épaisscur de couche, en un point , est une grandeur proportionnelle au nombre de rectangles élémentaires coupés par le rayon en ce point. Si l'on opère sur ces volumes élémentaires des glissements ou déplacements relatifs, on voit que la couche peut arriver à affecter diverses formes sans changer ni de volume total, ni de section totale, on voit encore que, dans cette opération, chaque avance de même rayon n'a pas changé et que l'épaisseur seule peut varier avec la forme.

Concevons que ce déplacement des volumes annulaires élémentaires ait eu lieu de telle façon que les diverses altitudes primitives soient simplement

variées dans un mr me rapport K, sans que les avances aient changé, nous voyons que, dans ces conditions, les épaisseur* homologues des couches ancienne et nouvelle sont en raison inverse des longueurs de ces couches, et varient par suite en raison inverse de K, puisque, dans les deux couches, deux rayons homologues coupent des nombres de rectangles élémentaires qui sont en raison inverse des longueurs de ces couches.

Mais nous supposerons généralement que la multiplication des altitudes a lieu sur les deux tétes de la couche et que, par conséquent, les avances sont aussi multipliées. D'autre part, comme nous l'avons fait pour les bobines semblables déjà considérées, nous supposerons la section s du til constante. Dès lors: i" la longueur l du lil est multipliée par K; 2° les ordonnées de la loi de formation varient dans le rapport K, ainsi que leurs abscisses ; 3" les ordonnées de la loi des modules restent invariables, mais leurs abscisses varient dans le rapport K ; i° les épaisseurs homologues de F ancienne et de la nouvelle couche sont identiques.

Au lieu de considérer une couche isolée, nous pouvons considérer l'ensemble des couches qui constituent uue bobine. Qu'arriverait-il si on multipliait dans une bobine toutes les altitudes, sans varier les rayons? Il arriverait que le volume et la section de la bobine et de chacune de ses couches varieraient comme les altitudes. Les bobines conserveraient les mêmes épaisseurs totale» homologues puisque les mêmes épaisseurs conjointes resteraient conjointes ; et * restant invariable, / aurait cru dans le rapport K. En sorte que : i* la surface des formes serait multipliée par K dans ses X et dans ses Z ; 2" la surface des lois de formation serait multipliée par K dans ses trois dimensions; 3° la surface des modules serait multipliée par K dans ses X et dans ses Z seulement.

Il est clair que si l'on voulait ensuite ramener l à sa valeur primitive, il faudrait varier encore le nombre des couches dans le rapport K. Nous appelons ces bobines, bobines semblables en longueur»

M. Considérons de nouveau la couche ABCD (tig. 24). Si, au lieu de multiplier les altitudes, nous multipliions les rayons par K, chaque rectangle élémentaire croîtrait dans le rapport K en surface, et les volumes annulaires élémentaires, dans le rapport K 1 . — Nous supposons toujours que S ne change pas dans ces transformations.

Les trois surfaces, celle des formes, celle des lois de formation et celle des modules auraient leurs ordonnées Y multipliées uar K et leurs Z par K*.

Les épaisseurs seraient multipliées par K.

— (Ki —

Le» longueurs i varieraient dans le rapport K% et les. nombres de couches resteraient invariables.

Il est clair que si l'on voulait ensuite ramener / à sa valeur primitive (toujours sans changer *), il faudrait varier le nombre des couches dans le raj>port K'.

Ces dernières bobines sont semblables en rayons.

iii. Soit G la cii-confércnce décrite autour de l'axe par le centre de gravité de la section totale de la bobine.

On reconnaît, d'après les principes les plus élémentaires de la théorie îles centres de gravité, que*/ et <», dans toutes les bobines semblables en rayon, sont simplement proportionnels à K.

tt». Formule» de similitude. — D'après tout ce que nous venons de dire, on voit que les lois de formation et de modules subissent simplement certaines modifications proportionnelles de leurs coordonnées suivant les modifications proportionnelles de la bobine. En adoptant une bobine unitaire et des surfaces unitaires, nous pouvons, pour toutes les bobines semblables et par conséquent srmblablement satisfaisantes, représenter les parties de la bobine par des lettres dont le* mités respectives seront comptées sur les bobines et surfaces unitaire*.

Nous allons voir comment, avec cette convention, s'expriment algébriquement les diverses parties d'une bobine semblable à divers égards à la bobine unitaire. Et d'abord, définissons les lettres nouvelles que nous allons employer et rappelons le sens de celles dont nous nous sommes déjà servi.

/, longueur du fd d'une couche. — s, section du fil. — », numéro du fil (on sait que * varie en raison inverse de n). — L, longueur d'une couche. — R, rayons. — y, circonférence décrite autour de l'axe par le centre de gravité de la section d'une couche. — G, circonférence décrite autour de l'axe par le centre île gravité de la section totale de la bobine. — V, volume variable de la bobine. — S, section du volume V. — d\ et dS, différentielles ou accroissements infiniment petits de V et S ; ces grandeurs pourraient s'écrire A V et A S, si l'on voulait préciser qu'elles sont finies. — M, nombre total des couches de la bobine. — f, nombre variable de tours de (il d'une couche en formation. — N, valeur maximum de /"dans une couche ou nombre de tours de tilde cetle couche, —m, module. — E, épaisseur d'une couche. — a, avance. — M. , avance à une extrémité de couche ou marche.

JV. H. Pour éviter, dans nos équations, des coefficient.-, tout à fait inutiles

dans le métier automate, surtout pour n'exprimer que des proportionnalités, nous emploierons le Blglte s pour les mots proportionné à.

\ .» ou

V == LR* c; )

S LR g ) =