T « ^ MV

On a de même appliqué une expression conventionnelle à ce produit M y* de la masse d'un corps par le carré de sa vitesse actuelle , en la nommant la force vive du corps, dans cet état de mouvement. ' '

Alors, reprenant Tune des remarques précédentes en lui appliquant cette expression particulière, commode pour aider à fixer les idées, nous disons : La quantité de travail dépensée pour amener un corps au repos à l'état de mouvement, ç.t RéciPROQUBMBNT , est égale à LA MOITIÉ DE LA FORCE VIVE qu'H possède OU' moment où on le considère. •

Mais cette admirable loi ne se borne pas à ce cr.s spécial. Il n'est point nécessaire, pour trou-

vor son application, de prendre un corps du repos k l'état de mouvement, eivix^ versa; elle est tout aussi rigoureuse à l'égard d'un corps dont la vitesse s'accroit seulement ou se ralenlil : et c*est là un point sur lequel il faut insister ici, car c'est le cas présenté par les volants.

Supposons une masse pesante M, animée d'un mouvement régulier dont la vitesse Y est miforme, sa forme vive correspondante sera M Y*. Si une force quelconque vient agir sur ce mobile de façon qu'au bout dhin certain temps sa vitesse uniforme ait augmenté et soit devenue Y|, «a force vive sera alors MY|*. Or, la quantité de travail T dépensée pour faire passer ce corps d^une vitesse à Tautre est égale à la moitié de la différence des deux forces vives,

Soit;T-i (MY,«-MV«); ou 'T«i M;Y^«— Y").

S'il y avait eu retard, au contraire, que la force eût a^i comme résistance pour diminuer la vitesse du mobile, Y| serait plus petit que Y, et on écrirait :

Dans les deux cas, la quantité de travail serait la même, mais elle aurait agi comme force accélératrice dans l'un et comme retardatrice dans l'autre.

En général cette loi s'exprime ainsi :

Le travail d'une force j qui accélère ou retarde le mouvement d'un corps qui se meut dans sa direction propre^ est égal à la moitié de la force vive qu'elle a communiquée ou enlevée à ce corps.

Le principe de la force vive est donc essentiel lemeut applicable au calcul des volants régulateurs qui fonctionnent à l'étajt de corps en mouvement, soumis à l'action d'une force dont la variation en modiGe la vitesse et par conséquent la force vive.

Mais déjà, si Ton examine l'équatipn de là force vive, oo reconnaît que, pour une même quantité de travail en excès, positive ou négative, la variation de vitesse du corps en mouvement peut être très-différente, et qu'elle dépend de l'intensité de sa masse.

En effet, l'équation précédente pouvant prendre la disposition :

dans laquelle Y|* — Y' exprime la variation de vitesse pour un excès de travail 2T, il est évident que la valeur de cette variation est en raison inverse de la masse M du corps en mouvement, c'est-à-dire d'autant plus faible que cette masse est plus grande, et vioe versa. Par conséquent, plus un volant sera lourd pour une même vitesse initiale et un même excès de travail variable, et .plus la variation de sa vitesse sera faible. Ceci est le principal indice du service que le volant est appelé à rendre.

D'autre part, comme la force vive du volant est le produit de la masse par le carré 4e sa vitesse, et que les deux facteurs du même produit peuvent varier inversement, il s'ensuit que sa masse peut être diminuée, pourvu que le carré de sa vitesse soit augmenté dans le même rapport inverse. , •

Mais comme la vitesse' du volant, prise sur le centre de gravité de la jante, c'est-à-dire près xie sa circonférence moyenne, dépend de la vitesse angulaire de l'axe et du diamètre de cette jante, il en advient, en résumé, que la réduction de la masse par l'augmentation de la vitesse •peut être obtenue, soit par l'accélération du mouvement rotatif, soit par l'augmentation -du diaméice. Ces dive» points recevront plus loin tous les éclaircissements nécessaires.

536 MOTEURS A VAPELK.

Terminons cet exposé de principes fondamentaux par un exemple qui aido k fixer les idées sur remploi de la formule des forcea vives.

ExBMPLE. — Un volant est formé d'une jante circulaiiie dont le poids est de 2000 kilogrammes (on néglige C^lui des bras en considérant l'action unique de la jante) ei la vitesse égnle à 8 mètres par seconde; quelle diminution de vitesse subira-t-il par l'action momentanée d*une résistance qui a développé, en sens contraire de la force motrice, un travail négatif ^g<il à 400 kilogrammètres?

On a :

p » 2000 kilogrammes;

V ■■ 8 mètres;

T = 4 00 .kilogrammètres;

y, . B3 la vitesse cherchée et acquise après la réduction ;

M B^ P divisé par g qui est égal à 9,8088.

Ordonnant la formule ci-dessus par rapport à Vj, on trouve :

Changeant tous les signes, et introduisant les données numériques, il vieùt :

Par conséquent îa vitesse serait réduite de 64 millimètres seulement par 4", soit environ 4/4 ÎO de celle primitive.

Si le poids du volant n'était que de 4000 kilogrammes, on trouverait :•

^•-V^"-^^^Tô^" •='"•«"•

I^ diminution de vitesse eût alors été de 423 millimètres par 4"; soit environ 1/65 de celle primitive.

oiTERMIMAnOir DX I.A FORMUIiB DU V0ZO8 B]^ TO&AWTS

Une masse destinée à former le volanl régulateur de titesse doit être éTÎdemment montée sur son centre de gravité, et d'une forme symétrique d'après ce centre, afin que la pièce soit parrailenicot équilibrée dans toutes les positions qu'elle ^occupe en se mouvant sur son point de suspension. Comme nous l'avons dit, un volant ne produit pas de force, mais n*en absorbe aussi que pour vaincre son inertie au moment de la mise en Ir.iin, après quoi le moteur auquel il est appliqué ne dépense de force que pour vaincre le frottement sur ses supports, celle de l'air, etc., enfin touies les résistances passives qui s'opposent à la perpétuité du mouvement delà part d* un corps qui serait libre autrement d'y persister; tel, par. exemple, le pendule, qui est en quelques sorte ./« volant d'une horloge.

Le système de volant que Ton applique aux machines à vapeur et aux outils^ dont il s'agit de régulariser la niarche, consiste en un anneau de fonte réuni par

des bras aa moyen duquel il est fixé sur Taxe de rolalion. D'après les oonsidéraltons précédenles, il doit foriner un ci^rclè parfail, rigoureusement centré et exempt de gauche, condition qui est cependant rarement remplie, en pratique, peut-être à cause de sa difficulté même. Un volant doit être aussi composé de façon que sa jante et ses bras présentent h Fair le minimum de surface résistante.

Bicnquc le poids total de l'anneau et des bras agisse comme masse régulatrice, on néglige celui. des bras pour ne tenir compte que de Tanneau. On fait alors les bras aussi légers que possible en concentrant la plus grande partie (Je la matière pesante dans l'anneau, dont la situation correspond à la force vive maximum, pour un même poids de métal. Nous avons fait remarquer qu'en effet la force vive augmente proportionnellement au carré de la vitesse et en raison simple de la masse; par conséquent la jante du volant, qui possède la plus grande vilesse Tinéaire, pour une même vitesse angulaire de l'ensemble, est nécessairement celle où la masse pesante a le plus d*action. Si l'on voulait généraliser ce principe, on dirait que, toutes choses égales d'ailteurs, on obtiendrait le maximum d'énergie, pour un même poids total de fonte, si- celui des bras et du moyeu était nul.

Nous av.ons également démontré que la régularisé se rapproche d'autant plus d'être parfaite que l'énergie du volant est plus considérable pour un même excès de travail, variable; et comme il est également vrai de dire que le volant n'exige Ihéoriquement pour lui-même aucune force motrice pour l'entretien de son mouvement, on pourrait être conduit à adopter des volants d'une énergie infinie. Mais le volant absorbe réellement de la force, motrice par le frottement qui résulte de son poids sur les supports de l'axe qui le porte, ce qui peut être déjà un motif de ne pas exagérer ses proportions. D'autre part, un volant dont l'énergie surpasserait de beaucoup la puissance de la machine motrice et la résistance relative des organes de transmission pourrait, par suite d'un arrêt brusque, développer un effort réactif (en rapport avec la puissance absorbée lors de sa mise en train) capable de les rompre et de causer les accidents les plus graves. '

Il convient donc de régler assez exactement l'énergie d'un volant par rapport à la puissance des organes avec lesquels il se trouve en rap'port, bien que cette réglementation subisse de notables écarts dans les applications.

Puisque, à poids égal, on augmente considérablement l'énerjgie en augmentant la vitesse, il y a avantage à adopter de grands diamètres ou à placer le volant sur 'un axe animé de là plus grande vitesse de rotation. Mais, sous cet autre point de vue, il faut tenir compte de la force centrifuge qui tend à séparer les parties qui composent le volant, et serait capable, sans ce cas, de produire des effets analogues aux projectiles lancés par des pièces d'artillerie.

Ces préliminaires nous oi&t semblé indispensables pour engager le lecteur à bien prendre en considération les données suivantes, assez minutieuses néanmoins, de la détermination de la formule du poids des volants* Nous basons ce travail sur lés développements exposés par M. le général Morin dans ses Leçons de mécanique pratique.

Sans entrer dans les considérations particulières relatives aux conditions de II* 68

rinertic iVun corps animé ()*un mouvement de rotation, on regarde l'anneau dn volant, h rétat de mouvement circulaire uniforme, comme une masse M animée d'une vitesse V prise à sa circonférence moyenne^ et calculée à Tunité de temps qui est la seconde.

Conformément à tout ce qui précède, on dit que la quantité de travail T, qui a été dépensée pour lui communiquer cette vitesse, est égale :

A la moitié de la force vive qu'il possède à Vinstant où on le considère*

On a donc, comme nous Tavons montré plus haut :

T = sMV»;ouT

dans laquelle formule :

T* représente celte quantité de travail initial en kilogrammètres ;

P » le poids de Tanneau en kilogrammes;

V » sa vitesse en mètres, par l'^ à sa circonférence moyenne.

Cette quantité de travail T, prisé pour celle qui occasionné Tétat de mouvement actuel, varie, et constitue cette action d'une intensité inégale que le volant est appelé à régulariser.

Par conséquent, si, sous cette variation de travail^ le volant que nous considérons, au lieu de conserver 4:ette vitesse moyenne Y, qui résulterait d'une action invariable, est susceptible d'atteindre des vitesses différentes maximum v, et minimum d, il est évident que, dans chacune de ces circonstances différentes, sa force vive aura pour valeura correspondantes :

Pv/ ^ Pt}«

— - et .

La force vive gagnée ou perdue d'une phase à Tautre sera .donc* :

Pv,« Pv* P, ,

. — -. ; OU- («,« — v^).

Par conséquent, la qi^antité de travail ayant occasionné cette différence, par son excès en plus ou en moins, aura pour valeur :

en vertu du piincipé.énoncé précédemment (p. 535).

Pour introduire dans cette relation l'expression de la vitesse moyenne V, et la limite hors.de laquelle le volant ne doit pas s'écarter, on a recours. à une transformation que nous allons indiquer.

Où remarquera que le facteur complexe v,* — v% de la dernière équation, peut être décomposé lui-même ainsi : '

(en verttt de fe lhét)rème d'algèbre i Le produit de la somme de deux nombres par léUr différence est égale à la différence de leurs carrés.)

D'aittce pari, U| el v étant les vitesses extrômes, et Via vitesse moyenne, on peut écrire, sans erreur sensible :

il-i-îi = V; d'où : «, + 0 = 2 V.

C*est-à-dire que V peut être considéré comme la moyenne arithmétique entré les vitesses extrêmes.

Par conséquent, revenant à Téquation précédente, et en proflLint de Tégalité t), + v s 2 V, on a :

^ Vi' — V* = 2V(y, — v).

Enfin, introduisant dans Téquation des foix^es vives diiïérenUelles le deuxième membre de cette égalité^ on obtient : . .

2T = - 2 V (t?, — v); d'où : T^ - V(<;, ^ t;),

qui peut encore s'écrire ainsi :

i^i - ^) - pv*

Pour établir maintenant la limite de variation entre les vitesses extrêmes que le

volant est susceptible d'atteindre sous l'influence du travail excédant, on se donne

que cette limite de variation ne dépasse pas une certaine fraction - de celle

moyenne V, de façon que l'on ait :

Remplaçant alors, dans la dernière équation, v^ — v par la nouvelle expression qui vient de lui être donnée, on trouve :

V ot

- = |i;d'ô.ù:PV«=n|^T.

Enfin cette dernière fournit directement pour le poids P cherché :

Cette formate définitiTé est donc l'expression fondamentale du poids des volants; mais il reste à déterminer la. valeur de T pour chaque cas particulier, c'est-4-dire l'excès de travail qui cause l'irrégularité, suivant la disposition on la nature de la machine ou des opérations à effectuer, et celle du coefficient n, qui indique le degré de régularité que l'on désire atteindre.

Sii HOTEUBSA VAPEUR.

L'examen de ce tracé, où le travail moteur etiielui rt^sistant sont ainsi seperpoeés, avec les valeurs relatives de leurs efforts correspondants, rend sensible un (ait qu'il était aisé de prévoir. C'est que l'effort moteur étant lontdt plus faible et tanlAt plus fort que celui résistant, qui est fixe, il arrive an moment où Ut deva efforU sont igaux. Le tracé montre que ce Tait a Heu aux intersecltons E et E' de la courbe ABC et de la droite ff, où \es ordonnées Ee, EV sont <^lcs.

fig. 178.

Ces moments d'égalité entre les efforts moteurs et résistants sont aussi les momefils de minimutn et de maximum de la vitesse de rotation, car si le mouvement est'dirigé, par exemple, de A vers C, il est évident que de A ࣠la r^istance surpassant consfamnienl la puissance, la vitesse ne peut que se ralenlij* jusqu'au point E, où, l'égalité étant rétablie, la diminution de- vitesse doit aussi cesser. A partir de ce même point E jusqu'à celui E', l'effort moteur prédomine constamment, d'où la vitesse s'accélère de E en E', et atteint son maximum en ce dernier point où les effocls sont redevenus égaux. De ce même point E', la vitesse décroll, pour atteindre de nouveau son minimum symétrique avec celui ci-dessus.E, etc.

Il en résulte que l'arbre de la machine, s'il est muni d'un volant qui permette la continuité de son mouvement de rotalioa, possède néanmoins deux maxima et deux minima de vitesse, symétriquement placés par rapport à l'axe du pislon, dans l'hypolbèse d'une bielle itiflnie, et qui ne concordent pas avec ce que l'on appelle les points morts et les points actifs; on Jirail plus exactement que les points morts occupent le milieu des deux ^ses décroistantei de la vitesse, et que les potols actifs sont situés au milieu de chacune des deux périodes de la vitesse croissante.

Quoi qu'il en soit, ces points de maximum et de minimum de vitesse sont cenx qui étaient désignés ci*dêssu8 par ti et v' dans ta formule du poids des volanis, et T est la quantité de travail en excès qui donne lieu à cet écart de vitesse. Le Irscé (flg. 176) permet d'en apprécier la valeur, en raisonnant de la Aiçon suivante :

be fh E et de E' à f, le travail résistant surpasse le travail moteur, et l'excès T a pour mesure Caire de la figure AfE ou CfZ', comprise entre la courbe et la ligne de l'etTorl conslani ; '

De E à E', le Iravail résistant al surpassé par le travail moteur, et l'excès T a pour mesure l'aire de la figure EBE', comprise entre la ligne des ellorts constants et la courbe.

Afin d*évttèr la confusion , faisons de suite remarquer qWy pour bien iiablîr la coïncidence entre le tracé et les phases successives et périodiques de la manivelle, il faut considérer pour le moment de résistance en excès celui compris entre les deux courbes semblables à ABC, qui représenteraient un tour complet de ta mani* velle, et dont la valeur est Taire de k figure E'CE''% qui n'est» du reste , que la somme de celles A/E et C/^E' que nous venons d*indiquert

En résumé» un tour de manivelle est divisé en quatre phases» dont deux présentent le travail moteur en excès sur celui résistant, et les deux autres le travail résistant en excès sur le travail moteur; la vitesse de rotation s'accélère donc dans les deux premières et se relarde dans les deux autres*

En considérant la succession de l'excès de travail alternativement positif et négatif, pendant un tour complet de manivelle» on doit rechercher le pins grand de tous pour celui à introduire dans la formule du poids des volants. Suivant l'hypothèse actuelle d'une bielle infinie, ces excès sont tous égaux » et auront uniformément pour mesure l'aire du segment EBE', qui est égale à celle de la figure CE'E^^', par suite de la symétrie des deux parties de la courbe ABC.

Pour comprendre que ces excès positifs et négatifs sont bien réellement égaux, il suffit^ de se rappeler d'abord que le rectangle Aff C a la même siiperficie que la figure curviligne ABC. Par conséquent» si nous considérons le segment AEE^C» qui est commun aux deux figures, il est clair que. leurs excédants seront égaux, c'est-àrdire que la somme des deux parties Af E et Cf'E' sera égale au segment £BE^ Cela est vrai chaque fois que la bielle est supposée infinie» que la machine marehe avec ou sans détente.

Ayantalorsconstruit la. figure A'BC pour une manivelle de 100 unités de longueur,* et admettant que 100 unités semblables représentent la pression maximum P sur le piston, la supej:ficie 2r' de cette figure égale (voir t. i*S p. 345) :

La hauteur de l'abscisse E e égale :

Pourx-; soit: 100 x 0.6366 » 63,66.

Enfin la superficie du segment E B E\ mesurée avec soin par la méthode des quadratures de Simpson, produit 4200. Par conséquent, le rapport entre les aires de ce segment et de la figure entière égale :

20000 ~ • Ce qui revient à dire :

V excès de travail T, positif ou négatif, qui se manifeste par périodes successives et symétriques pendant la durée d^n tour de manivelle^ est égal aux 21/100 db la quantité de TRAVAIL TOTALE développée PAR UN COUP DE PISTON SIMPLE, la bielle supposée infinie, et la machine marchant à pleine pressioru

su MOTEURS A VAPEUR.

Pour bieû compr/endre la façon d'appliquer ce résultat ji la forjnùle du poids des TOlanis, il est indispensable d'insisler sur la nature âe Texcès de travail considéré.

La valeur T de l'excès de travail est celte qui correspond à une période positive ou négative de chaque phase, quel que soit le nùmbre de ces dernières, pendant nn tour entier delà manivelle. Et comiile elle est absolue,^ pour le même cas considéra» il ne s'agit, pour l'introduire dans la formule du poids, que de lui trouver sa relation avec la quantité, qui représente ia for^e de la machine dans celte formule.

Cette remarque servira plus loin, en étudiant les systèmes de machines dans lesquelles les périodes de variation de vitesse ne suivent pas la loi simple ci-dessus, relative à une machine à double effet et à une seule manivelle. ^

APPLICATION DE LA VALEUR DE l'eXGÈS DE TRAVAIL A LA FORMULE DU POIDS DES VOLANTS

On vient de voir que T = 0,21 du travail développé par coup de piston simple, travail dont il nous reste alors à donner l'expression.

Le travail d'une machine à vapeur à double effet est désigné par le double du travail développé par coup de piston simple, multiplié par le nombre de coups doubles par minute divisé par 60, la puissance étant ramenée à l'unité de temps.

Désignant alors par :

N la force nominale de la machine, en chevaux-vapeur de 78 kilogrammètres;

m le nombre de coups doubles par minute;

t le travail développé par coup simple, en kilogrammètres;

cette puissance nominale N a pour expression :

„ 2 xjxm' ,, , 78X60N ^„« N ^= 75X60 ''^^"^""^"•*^-^ ï^r-=^^m'

Cette dernière étant la valeur représentative d'un coup de piston simple, celle de T devient :

■' Par conséquent, en introduisant cette expression dans la formule du poids et en prenant pour valeur approchée : g = 9,81 , nous obtenons :

formule qui se réduit, en effecluant le calcul, à :

Telle est, en définitive, la formule générale, et de principe, qui permet de dét^-

PROPORHONS DES VOLANTS. 843

mkier là poids de l'nnDeaii d'un TolanI, d'après les conditions du travail qu'il esl appelé à régulariser, et sans dépasser les limites convenables pour éviter les perles excessives de Topces par les frottements et les accidents qui peuvent résulter de l'application d'un volant d'une énergie exagérée.

Cette formule peutéire conservée dans toutes les applications, en recherchant néanmoins les valeurs qui conviennent, pour chacune d'elles, a(i coeffîcient numérique, et à celui n relatif au degré de régularité requis.

Ce coedicieni numérique, même dans l'application qui vient d'être prise pour exemple, change un peu de valeur, pour deux motifs que nous allons indiquer.

D'alwrd.si, au lieu d'un tracé graphique, on emploie le calcul suivant la méthode indiquée par HM. Poncelet et Horin, dans leurs savantes leçons, le rapport de 0,21 se trouve «Ire 0,2105, d'où le coefficient 4635 s'élève h 4647, ce qui n'aurait pas réellement d'influence en pratique.

Hais si, au lieu de supposer la bielle infinie, on opère, d'une façon ou de l'aiilrc, en tenant compte de sa longueur, qui est évideinmcntflnîe, l'excès de travail est plus grand et ce coefficient augmente, d'autant plus, d'ailleurs, que le rapport entre cette longueur et celle de la manivelle esl plus petit.

Pour donner une idée de la façon de procéder dans celle recherche, en tenant compte de l'obliquité de la bielle, nous allons donner les éléments d'un semblable tracé ap[4iqué à une machine à pleine pression, sans balancier, avec ou sans condensatjon, et en admellaiit que la bielle soit égale à S fois la manivelle.

En déterminant les deux courbes ABC et CB'A', fig. 177, pour un coitp double de pislon, comme on l'a fait pour un coUp simple, tig. 176, au lieu dé prendre pour les hauteurs d'ordonnées les sinus des angles de position de la manivelle, oh chercbe pour chacune d'elles la composante tangentîelle de l'effort fixe d'après celle qui résulte dé i'obliquilé de la bielle. Les courbes ne sont plus symétriques par rapporta la verticale BEKou B'D'; l'ordounée BD, qui correspond. & l'effort maximum, ne tombe pas au milieu de AC, e|, en i^pprochant. les denx courbés qui cor* respondent A deux coups simples successifs, on trouve un moment d'excès de travail négatif plus grand que l^iutre, et nécessairement supérieur ii la valeur qu'il pOMède lorsque tousies,cxcès sont égaux.

Ainsi, d'après ,1a disposition do la fig. 177, la courbe ABC correspond Ace que l'on désigne par le coup montant, pour une machine veiticale dont l'axe esl placé

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^ « >;'f.i 4?u^v^ wiiit; ^M^ ■ i^-'V«i k ii^r-^ rsâCL ««HBie i rapfficaiiaB de la formule 4.. v^.i..f . fy;f .««i'yvi v'*>^->i:i-u. çiL ii'.«i mt n— fciT & 3a «kkiBuafiou du tra- M ' '4 >'/.^>;^^ ^^ u*;i. "^ n SMitte ix ^^j^'J^y^toa irHHénfae. iafifHBâ ue companûv/A t« A ^/'V Vf ^ ^. V4r«4*; «*vte«r et k îm^ nâtairt 4M aanl cpai» ea consîdé-

(Uv'^*^,' ^t *.v i//vv^ 4^ i* KXiu.%t^ ntsA q.à'zjte fracL.:* pLas o« moins gnuufe de ^»v» ^ w» ^^a ^^y^y/^A ^f ^ ptHM. et swtD-nt 6t refioft tfaêorïfw qoi sendt dét^fu.t$r^, ^cH $ff^$s$éX ^0nf fp^ifttt de déforl la pceafek» idathe de la vapeur et la if^^ypfUi^. ^n ^%\^m. iyt^ ni Ton exécute le tracé es adoptaat cette puèmice théop'i/jhM.^ éi i/M ^ \m é:i^jA?aii le Irarail résisiaiit, oa trovrcra biea la lakur relative ymf >. U^rstt é^u eti^.i^; nm%^ uni que roo^coBserre daas la formule du poids la «^>r4i# ll#^>^i/)ti« d« la puiàmtu:e^ soit qa'oo 7 iutrodmse h poissaBce -nominale 4^ U t$$M*Ui$$^.f un n*en (erz pas moins une erreur dont le résnllat est de donner M hAhuX m Uifp nrMtid poids.

Il ttêuU ^^ i^/fHM^nraotlataieur dneoeffident limifé,. suivant le genre de machine, pfêfMf^f l^/Mf la puinance N celle qui résulte de la prasioo récUement transmise sa l^^il//N (Ui la uiaf libelle, autrement dit, la puissance eBectiTe mesurfe bien exac- (^NMfMt ini/r t'fiM qui porte le volant.

Mais s'il s*agit (I*cxécuter un tracé dans le but de déterminer (a valeur du coefiicienty c'est-à-dire de l'excès T, pour un mode particulier de machine, cette considération devient sans objet, attendu que cette valeur est un rapport qui résulte de deux figures que l'on fait égales coimift les deux modes de travail que l'on corn* pare, et qui n'ont aucune valeur absolue.

Il nous reste donc à chercher les diverses valeurs du coefQcient que iifous désignerons par K, ce qui donne à la formule cotte expression générale :

Avant de faire cetle recherche nous désirons appliquer celte formule à des exemples, afin de bien fixer les idées sur son emploi.

Exemples de l'application de la formule générale dv poids des volants. — Premier cas : Une machine à vapeur sans balancier, marchant sans détente et sans condensation avec une bielle de cinq fois la manivelle, est dans des conditions de marche telles que sa puissance théorique ^ calculée par la pression efiective de la vapeur, correspond à une puissance de 30 chevaux-vapeur, en donnant 60 coups de piston simples par minute. Mais sachant, par expérience, que l'état de sa construction permet d'obtenir sur son arbre moteur le^ 2/3 de cetle force théorique, la puissance utile, nominale devient :

^ 30 X 2/3 =20 chevaux-vapeur.

Cherchons les dimensions .qui conviennent à son volant, en se donnant que le degré de régularité soit évalué par

c'est-à-dire. que la vitesse angulaire de son arbre moteur ne s^écarte pas davantage, du plus au moins, de la vitesse moyenne donnée.

Les conditions locales permettant d'adapter un diamètre 0=4 mètres à^a circonférence moyenne.de l'anneau, et ce volant étant placé directement sur l'arbre moteur qui fait m — 30iours par minute, la vitesse moyenne V pari'' de cet anneau

devient : .

^ TrDm 3,i4t6 X 4» X 30 ^^

Le poids de l'anneau est donc :

fiN An V QO

P = K -vi = S630 X ^r^ ,JL,, = 3806 kilogrammes. mV* 30 X (6,28)» °

Si, toutes choses égales d'ailleurs, on ne tenait pas compte de l'obliquité de la bielle, le poids serait :

3806 X tt;:;;: = 31*7 kilogrammes.

DOOU

On donnerait ainsi au volant les 4/8 environ du poids qu'il doit réelieroenl posséder.

Maintenant, pour trouver la section de la jante, et sachant que la fonte de fer pèse, en moyenne, 7200 kil. le raèire cube, # pose :

3808»' 7iO0^ X 3 1416 X 4" ^ 0»^ 0421; soit 421 centimètres carrés.

Comme on cherche à diminuer autant que possible la dimension transversale de l'anneau, et à le rendre mince afin de réduire la résistance de Tair, on donne à la section une forme allongée que nous supposons, pour la facilité du calcul, être un rectangle dont le petit côté soit le tiers du grand. Appelant l ce petit côté, on trouve :

l X 5 =.421<î 1 ; d'où . i ^ y/424 x 3 = 35«6. o

La largeur de l'anneau, dans le sens du rayon, sera 356 millimètres, et son épaisseur le tiers de cette largeur ou 118 mill. 2/3.

Dsaxieme cas. — Si les dispositions et l'emplacement permettaient de donner au volant 5 mètres de diamètre au lieu de 4 m^tres^ tout en conservant la vitesse de

30 tours à la minute, qu'arriverait-il?

Comme les vitesses circonférentiellQS sont proportionnelles aux diamètres, et que, d'après la formule même, le poids de la jante est inversement proportionnel au carré de la vitesse, le poids ci-dessus diminuerait et deviGn.drait :

3806 X f g] =2435 kilogrammes.

Ainsi, dans cet exemple, pour 1 mètre de diamètre en plus, on gagne sur le poids 1370 kilogrammes, ce qui coustitue une économie directe de matière, et ensuite une économie de puissance motrice par la réduction du frottement de l'axe tournant. C'est un principe qui reste vrai tant qu'on peut l'étendre, en se gardant bien, tbutefois, d'approcher trop près de la vitesse circonfércntielle pour laquelle la force centrifuge acquiert une énergie capable de dépasser la résistance du métal et occasionner la ruptui^e de la pièce. En pratique, la vitesse circonférentielle des volants dépasse rarement 10 mètres par 1'^

Troisième cas, — En conformité de ce principe général, nous pouvons admettre que le volant conservant son diamètre de 4 mètres, oit le hionte sur un arbre Toisin recevant son mouvement de celui de la machine à l'aide d'engrenages avec une vitesse de 4S tours à la minute, pour 30 tours de celui qui porte la manivelle.

A diamètre égal la vitesse circonférentielle étant proportionnelle à la vitesse, le poids se trouve être en raison inverse des carrés des vitesses de rotation; mais comme il est aussi inversement proportionnel à la première puissance de ces vitesses, il s'ensuit que l'on trouve pour le poids cherché dans ce troisième cas :

Ainsi, le poids de l'anneau Serait réduit de plus des deux tiers. Cet exemple est exagéré, car la vitesse circônférentielle atteindrait 9''42 par seconde, et on pourrait adopter un diamètre plus jfaible, et conserver un poids plus fort sans^ inconvénient. Mais il met en évidence l'avantage de monter le volant, lorsque cela est possible, sur un arbre tournant plus vite que celui de la machine, à condition qu*il en reçoive la commande directe.

RECHERCHE DE LA VALEUR DE L*£1CÈS DE TRAVAIL DANS DIVERS CAS PARTICULIERS

Machines a détente. — Suivant le mode d'admission de la vapeur avec détente, pendant une partie plus ou moins grande de la course du piston, la [Pression, d'abord constante, diminue ensuite jusqu'à être réduite parfois à i/10 et moins de sa pression initiale. Par conséquent, si l'on exécute un tracé analogue aux précédents, en tenant compte de cette pression décroissante à partir d'un point donné de la course, on ne tarde pas h reconnaître que les excès de travail^ positifs et négatifs, sont plus grands qu'avec la* pression constante, ee qui donne lieu nécessairement à une augmentation du poids du volant, par suite de celle du coefficient de la formule. •

Hais l'inégalité dans les pressions successives de la vapeur donne lieu également à la prise en considération d'un fait qui ne devait pas figurer avec la pression constante : c'est là contre-pression due à l'atmosphère, ou au condenseur, si la machine est à condensation. ; . '

On conçoit, en elfet, que lorsque la pression est constante, si la conlre-pression l'est également, il eu résulte une pression effective constante, quel que soit le rapport de ces deux pressions, ce qui n'amène aucune modification à la méthode exposée. Mais quand on marche avec détente, la pression est variable, tandis que la contrepression reste constante, de façon que, la pression effective étant variable, elle ne conserve pas une valeur proportionnelle à celle'directe de la vapeur; le rapport entre les deux pressions est naturellement plus faible à la fin de la course du piston qu'au commencement.

Le degré de la pression initiale, avec l'emploi de la détente, doit donc entrer en ligne de compte dans l'élévation de l'excès de travail , attendu que le rapport variable entre'la pression décroissante de la vapeur et la contre-pression constante est d'autant plus élevé que la première est plus forte, et vice versa.

Supposons, pour fixer les idées, une machine qui marche, sans appareil de condensation, avec de la vapeur à 5 atmosphères et une détente pondant les 3/4 de la course du piston ; le rapport/ des deux pressions sera :

au commencement de la course, 5 : i ;

et, àlafln, 5 Mit; soit : 1,25 : i.'

S*il existe, au contraire, un condenseur qui donne Rcu à i/10 d^atînosphère de contre -pression, le rapport des pressions variera :

de S: 0,tà5T4 : 0,1.

Enfin^ si, conservant la condensation et la même détente, la vapeur était introduite à 6 atmosphères, on aurait, comme rapports :