CHAPITRE PREMIER. — PROBLÈME. INDICATIONS HISTORIQUES
figures voisines d’une sphère. En 1884, il montra qu’il y a d’autres surfaces d’équilibre voisines des ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi et il en poursuivit l’étude très loin. Ses travaux publiés en russe ne furent traduits et connus en France que 20 ans plus tard (1904).
C’est un autre travail qui attire l’attention de Poincaré sur la question. Mrae Kowalevski avait envoyé en 1874 7 -à l’Université de Gottiague, un Mémoire remarquable sur l’anneau de Saturne, où elle établissait rigoureusement l’existence de la figure annulaire comme figure d’équilibre. Ce Mémoire est publié en i885. Poincaré s’occupe alors de la question de l’anneau, puis du problème général de Tait et Thomson ( Comptes rendus et Bulletin astronomique, 1 885 ) . Dans un travail d’ensemble, il démontre que les ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi forment des séries continues possédant une infinité de points de bifurcation discontinus où apparaissent de nouvelles figures d’équilibre, différentes des ellipsoïdes et donnant naissance à autant de séries nouvelles ou de rameaux. 11 calcule la position de ces points, il détermine la forme de ces nouvelles figures, dont la plus simple se rapproche de l’œuf ou de la poire, forme ovoïde ou piriforme. Il en indique l’étranglement possible. C’est l’ensemble de ce travail de tout premier ordre, chef-d’œuvre de Mécanique analytique, qui a été publié au Tome YIL des Acta Mathematica) 1 885 . Puis dans les Leçons sur les figures d' équilibre 9 Poincaré démontrait en passant que la fonction h de la vitesse de rotation ne pouvait en aucun cas être supérieure à un; autrement il y aurait rupture, la force résultante étant alors dirigée vers l’extérieur. Crudeli a démontré que dans le cas d’une surface convexe cette limite est abaissée à i {Rend, délia Accad. dei Lincei , ier semestre 1910, p. 666). Poincaré s’est borné à la première approximation. Liapounoff a donné une méthode permettant de pousser l’approximation de plus en plus loin. Il est juste d’ajouter que M. Liapounoff démontra l’existence des nouvelles figures en établissant la convergence de certaines séries : c’est l’appareil analytique nécessaire à cette démonstration qui rend difficile la lecture des Mémoires de Liapounoff.
C’est G. H. Darwin qui a fait les calculs numériques déterminant d’une façon précise la forme de la première figure de bifur-
cation et qui lui a donné le nom de figure pir if orme ( Phil . Trans . , A, t. 198, 1902). P. Humbert dans sa thèse (1918) a montré que les sections principales de la figure piriforme ne présentent pas de points d’inflexion et il a calculé les figures de bifurcation suivantes.
4° Stabilité des figures d'équilibre . — Une fois un mouvement de la masse liquide trouvé, il faut voir s’il est stable, c’està-dire si, en déplaçant, infiniment peu et d’une manière arbitraire, les molécules les unes par rapport aux autres et en leur donnant des vitesses relatives infiniment petites, on obtient un nouveau mouvement infiniment peu différent du mouvement de rotation primitif. Les figures stables seront les seules qui pourront exister dans la nature. Les résultats principaux sur cette question sont encore dus à Thomson, Liapounoff et Poincaré. Toutefois cette question plus compliquée est restée encore bien obscure.
Les premiers auteurs s’en étaient peu occupés. Laplace reconnaît qu’un anneau de Saturne fluide serait instable. La démonstration rigoureuse en a été donnée par Mme Kowalevski.
Lagrange a démontré par la théorie des petits mouvements que, pour un système soumis à des forces qui dérivent d’un potentiel, il y a équilibre stable quand l’énergie potentielle du fluide est maximum. 11 ne démontrait pas le théorème dans sa généralité. C’est Lejeune-Dirichlet qui en a donné la démonstration rigoureuse et classique, indépendamment de la théorie des petits mouvements. D’ailleurs, l’existence d’un maximum est une condition suffisante, mais elle ne paraît pas nécessaire et l’équilibre pourrait être stable sans cela. La réciproque du théorème de Dirichlet a été démontrée pour un cas très étendu par Liapounoff ( Journal de Mathématiques , *896). Cette démonstration a été reprise et précisée par Hadamard ( Mémoire publié dans les Comptes rendus , ,897)-
Thomson et Tait, dans leur Treatise on natural Philosopliy , introduisent une notion nouvelle et fondamentale, en distinguant la stabilité séculaire et la stabilité temporaire ou ordinaire, dans l’équilibre relatif par rapport à des axes entraînés avec le corps. Ils montrent que, s’il n’y a pas de frottements, la condition de Lejeune-Dirichlet est toujours suffisante. Il y aura équilibre stable dès qu’elle sera réalisée et l’équilibre se conservera indéfiniment.
