CHAPITRE PREMIER. — PROBLÈME. INDICATIONS HISTORIQUES

Mais dans un corps qui se déforme il s’introduit des frottements dus à la viscosité. Dans ce cas, la condition de Lejeune-Dirichlet devient nécessaire. Si elle n’est pas remplie, l’équilibre pourra exister, mais il pourra être détruit à la longue par la perte d’énergie due aux frottements.

Poincaré et LiapounofF ont remarqué que, s’il y a des déformations quelconques, les mouvements sont malaisément définis par rapport aux axes mobiles. En tout cas, Poincaré simplifie d’abord le problème en considérant la stabilité dans le cas de l’équilibre absolu par rapport à des axes fixes, pour un système à n degrés de liberté. Tl définit la fonction des forces, au voisinage d’une position d’équilibre, de façon que les termes principaux forment une somme de n carrés, avec n coefficients qui sont les coefficients de stabilité. Si tous ces coefficients sont négatifs, la fonction est maximum dans la position considérée : il y a équilibre stable. Si un ou plusieurs de ces coefficients sont positifs, il y a un ou plusieurs degrés d’instabilité. L’équilibre est plus ou moins stable. Le nombre n peut devenir infini.

Quand deux séries de figures d’équilibre se croisent, leurs coefficients de stabilité deviennent égaux. L’un d’eux s’annule en général et change de signe. Il y a échange des stabilités. La série qui était stable devient instable et réciproquement.

Poincaré étend ces résultats à l’équilibre relatif par rapport à des axes tournant avec le fluide. Il faut alors faire entrer la force centrifuge dans la fonction de forces et l’on obtient une nouvelle fonction qui doit rester maximum. Cette condition du maximum qui est nécessaire n’est plus suffisante.

Les ellipsoïdes de Maclaurin sont stables jusqu’à l’ellipsoïde de bifurcation (stabilité séculaire). Ils le restent même toujours au delà s’il n’y a pas de frottements (stabilité ordinaire). Ils prennent ensuite un degré d’instabilité à chaque nouveau point de bifurcation.

Au premier ellipsoïde de bifurcation la stabilité passe aux ellipsoïdes de Jacobi, jusqu’à l’ellipsoïde de bifurcation qui conduit à la figure piriforme. Au delà, les ellipsoïdes de Jacobi prennent également un degré d’instabilité à chaque nouveau point de bifurcation.

Mais le critérium de Poincaré pour l’équilibre relatif ne s’ap-

plique plus aux figures non ellipsoïdales, comme il en convienl lui-même à la suite d’une remarque de Schwarzschild (1896) et

11 donne alors les formules qui peuvent permettre de trancher la question en ce point douteux ( Phil . Trans ., 1902). Darwin fait les calculs nécessaires, mais seulement jusqu’à la deuxième approximation, et il trouve que la figure pirifor me est stable ( P hit . Trcuis., 1902, 1908), mais ce résultat paraît inexact.

Liapounoff de son côté détermine une autre fonction que celle de Poincaré qui doit être maximum dans le cas de la stabilité, quelle que soit la figure. Il fait les calculs relatifs à la figure piriforme et démontre qu’elle est instable (1908).

Jeans enfin a recommencé les calculs de Darwin en appliquant la formule de Poincaré jusqu’à la troisième approximation ( Memoir of the Roy. Astr. Soc., t. LXII, 1917). 11 montre que la deuxième approximation était insuffisante et que la figure piriforme est instable, conformément à la démonstration de Liapounoff.

3. Autres recherches. — On peut reprendre le même problème pour une masse hétérogène où la densité varie d’une façon quelconque. C’est un problème plus difficile et beaucoup moins étudié que le précédent. Cependant, c’est le seul qui soit applicable à la Mécanique céleste et à la Figure de la Terre.

Sur ce point Clairaut a donné une solution remarquable du problème, en supposant la figure d’équilibre voisine de celle d’une sphère et la masse constituée par des couches homogènes concentriques. Il résout complètement le problème dans le cas d’une vitesse faible et uniforme dans toute la masse.

Les principaux travaux tentés depuis sur les ellipsoïdes hétérogènes à trois axes ou de révolution, sont dus à M. Hamy (Thèse de doctorat, Journal de Mathématiques , t. VI, 1890) et à M. Véronnet (Thèse de doctorat, Journal de Mathématiques, 4e fascicule, 1912). Cette étude formera le second fascicule de cet Ouvrage.

D’autres recherches ont été faites dans l’ordre d’idées suivant : on peut se demander quels sont les mouvements qui laisseraient la surface extérieure invariable de forme, tandis que les éléments intérieurs et superficiels du fluide subiraient des déplacements relatifs, la pression pouvant être supposée nulle ou constante à la surface.