CHAPITRE PREMIER. — PROBLÈME. INDICATIONS HISTORIQUES

avec corps central est une figure d’équilibre; mais ces derniers calculs ne présentent pas encore toute la précision désirable.

2° De Jacobi à Poincaré . Les ellipsoïdes à trois axes . — On crut pendant longtemps qu’il n’j avait pas d’autre figure d’équilibre que l’ellipsoïde aplati et l’anneau. Il faut attendre jusqu’en i834 pour voir s’introduire des idées neuves et des solutions nouvelles, qui devaient ouvrir une voie féconde. Jacobi fait remarquer que le potentiel de l’ellipsoïde à trois axes s’exprime par une fonction quadratique des coordonnées de la surface, comme le potentiel de la force centrifuge et l’équation de l’ellipsoïde. Il montre ainsi que les ellipsoïdes à trois axes inégaux tournant autour du petit axe peuvent être des figures d’équilibre : ils portent, depuis, le nom à1 ellipsoïdes de Jacobi. Il suffisait, en effet, comme dans le problème de Legendre, d’identifier l’équation de la surface, et le potentiel total à la surface, pour déterminer les éléments d’un ellipsoïde répondant à la question.

Liouville en a fait la démonstration analytique ( Journal de Mathématiques , 1 834 ) • D’autres démonstrations ont été données en particulier par Smith ( 1 838 ) et Plana ( 1 853 ) . Otto Meyer, puis Liouville, en prenant comme variable la vitesse de rotation, ont fait la discussion complète des équations qui se présentent ici.

Poincaré fait remarquer [Revue générale des Sciences , 1892, p. 67) que ce fut un étonnement dans le monde scientifique de constater qu’il pouvait y avoir des ligures d’équilibre d’un corps en rotation qui n’étaient pas des figures de révolution. De Pontécoulant avait cru pouvoir affirmer le contraire et cela paraissait assez plausible. En tout cas la résultante des forces était bien partout normale à la surface dans un ellipsoïde de Jacobi. Il y avait équilibre. L’étonnement devait être bien plus grand à l’annonce des figures piriformes d’équilibre.

La valeur limite de l’expression h était plus faible encore pour les ellipsoïdes à trois axes que pour les ellipsoïdes de révolution. Elle ne devait pas dépasser 0,1871... Avec des vitesses de rotation de plus en plus faibles, l’ellipsoïde s’allonge de plus en plus. L’axe moyen se rapproche du petit. La figure tend vers celle des ellipsoïdes de révolution allongés, en forme d’aiguille. 11 y a donc désormais pour les faibles vitesses trois figures d’équilibre pos-

sibles théoriquement : la sphère, le disque, l’aiguille, c’est-à-dire des figures limites à trois, à deux, à une dimension. Entre ces limites il y a deux séries distinctes de figures d’équilibre : les ellipsoïdes aplatis et de révolution de Maclaurin et les ellipsoïdes allongés et à trois axes de Jacobi, avec un ellipsoïde commun, où la seconde série se sépare de la première.

Mathiessen (i85g) étudie de nouveau la figure annulaire. 11 établit de plus que le cylindre indéfini de section elliptique est encore une figure d’équilibre. Dans ce cas la rotation se fait autour de l’axe du cylindre. C’est le problème simplifié, puisqu’il suffit de considérer une section plane : ce problème a été étudié plus complètement plus tard par Jeans ( Philosophical Transactions , A, t. 200, 1903) et par Globa-Mikhaïlenko ( Journal de Mathématiques, 1916).

3° Poincaré et Liapouno ff. Les figures de Poincaré . — Le problème traité par Liouville fut regardé comme suffisamment résolu et laissé dans l’oubli pendant près de 25 ans. Deux faits nouveaux le font entrer dans une nouvelle phase.

En i883 paraît la troisième édition du Treatise on naturcil Philosophy de Thomson et Tait. Les auteurs y indiquent qu’en considérant l’augmentation progressive du moment de rotation, au lieu de la vitesse de rotation, on obtient une série de figures stables, parlant de la sphère, suivant les ellipsoïdes de Maclaurin, jusqu’à celui qui donne naissance aux jacobiens, puis une série d’ellipsoïdes de Jacobi à trois axes, qui en s’allongeant doivent finir par se diviser en deux masses distinctes. Mais on ne savait rien sur les figures d’équilibre intermédiaires entre les ellipsoïdes de Jacobi et la figure de rupture : Thomson et Tait signalent cette lacune.

Déjà Tchebytchef, en 1882, s’était posé la question de savoir ce que devenait l’ellipsoïde de Maclaurin quand il arrivait à sa vitesse de rotation critique maximum, qu’il ne pouvait pas dépasser. Si l’on augmentait cette vitesse limite, infranchissable mathématiquement, que se passait-il? La masse allait-elle se briser? Serait-ce l’ellipsoïde de rupture? Y aurait-il bifurcation vers d’autres figures d’équilibre ? Il avait fait part de ce problème à LiapounofF. Celui-ci appliqua alors la méthode de Legendre, aux figures peu différentes d’un ellipsoïde, comme Legendre l’avait d’abord appliquée aux