CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

Mais V et et V , étant des produits de Lamé, on a AV = o et AV7 , = o. Le premier membre est donc nul. Il en est de même de l’intégrale du second membre étendue à la surface de l’ellipsoïde. Elle va nous donner la formule cherchée.

En effet, les surfaces p, p, v étant orthogonales, si p varie seul, le point figuratif reste sur l’intersection des surfaces p = const. et y — const., et décrit une trajectoire orthogonale aux ellipsoïdes. On a donc

(166) cl s- — a2 cio- -h p- clp.-- f- y2 ch 2 , cl s — dn — a clp.

Si l’on suppose p croissant, dp est positif, cette relation donne la direction de la normale extérieure à l’ellipsoïde E0. On a donc, d’après cette formule et la formule (i25),

dV dW i dV du i U V

dn a dp a clu dp a A \\p- p2) ( p- v2)

Mais V', étant la dérivée par rapport à u, sera la dérivée de R MIN par rapport à u , c’est-à-dire V'±tê R'MN, car R seul dépend de u par l’intermédiaire de p. En tenant compte de la valeur de /, on aura finalement

dV K MN

dn ~ v/(p2{X2)(p2 v2)