IV MN

V< donne une expression analogue et l’intégrale double ci-dessus devient

/( RMN . R', Mi N j — Ri M , N, . R MN ) ch = o.

Or l’intégrale étant étendue à la surface de l'ellipsoïde, on a p — p0. Les fonctions R, R;, R,, R', sont des constantes que l’on peut faire sortir du signe d’intégration. De plus, l = l0 el il vient

(RR', — R, R') J J ZoMNMiNj ch = o.

Si R! est différent de R, le premier facteur n’est pas nul. On a donc

(i65) J Jl0 MNMiNirfj=:o.

dans le cas où MN et M, N, sont différents.

Remarque . — Il résulte du calcul que nous venons de faire que l’on a, d’après la formule (A),

du

du

Cette variable l représente donc la dérivée de la variable elliptique prise suivant la normale extérieure. On peut établir cette formule directement. En effet, on a obtenu déjà

du

~ch

Reportons-nous au rectangle de variation de w, c, on a vu que

pour u == o, on a p infini et p décroît quand u croît, donc ^ est

bien négatif, il faut le signe — . On aura ensuite

du du dp 1

dn dp du a A

O11 voit donc la raison de l’introduction de l dans les calculs : c’est la dérivée normale de u.

59. Calcul des coefficients du développement en série de produits MN. — Considérons un point sur l’ellipsoïde p = p0. Il lui correspond des valeurs bien déterminées de u et de e, ou de p. et dev. Considérons de même une fonction donnée de la position du point sur l’ellipsoïde E0. Ce sera une fonction de w, v ou de p, v. Nous avons vu qu’une telle fonction est développable, en une série de produits de Lamé, sous certaines conditions

(i6«) <t(^v)=2Ai.M*N*.

Il s’agit de déterminer les coefficients A* de ce développement. Pour cela, multiplions les deux membres par /oARN^cr et intégrons sur toute la surface de E0. D’après la formule précédente, tous les termes du second membre sont nuis, sauf le terme k , et l’on a