CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

Ces deux intégrales ne dépendent pas de p. Il suffit de faire voir pour cela que du n’en dépend pas, ce qui est déjà certain à première vue puisque da est l’élément de surface sur l’ellipsoïde p = p0. Désignons par ds\ l’élément différentiel de l’arc de courbe corres-

vante en p. et v seulement, qui permet de calculer Aa et les coefficients analogues

Les conditions de convergence sont les mêmes que celles des développements en fondions sphériques.

69. Cas particulier du polynôme symétrique. — Nous avons un cas intéressant et important, quand le polynôme est symétrique en p et en v et par rapport aux six radicaux en p et v, \ p.2 — a'2, etc. Ce polynôme étant supposé de degré n, le développement sera limité à n produits de Lamé, le dernier étant de degré n :

En appliquant la méthode générale précédente, on trouvera donc des coefficients nuis dès que Ma dépassera l’ordre n, c est-à-dire

pondant à la variation d[j. de p seulement et par ds2 l’élément correspondant à dv. Ces éléments sont orthogonaux et l’on a

ds i = (3 d\x , ds., — y dv, d? = as i ds., = P y d\x c/v,

— B2C2 est réel, car B2 et C2 sont de signes contraires. En substituant l0dcr dans l’intégrale ci-dessus, on obtient l’expression sui-

v)=2A*MiN*.

v)i0M*Nt dn = o (/. > n).

Ce résultat aura lieu dès que le degré k du produit M.*N* dépassera le degré n de <I>(p, v). C’est là un résultat analogue à celui que nous avons vu pour les polynômes de Legendre, pour lesquels on a, dès que le degré de X dépasse celui de P,

^ X/i(^r) dx == o.

Ce résultat va d’ailleurs nous permettre de démontrer le théorème suivant, très important, sur les fonctions de Lamé.

01. Théorème sur les racines du polynôme /(p2) qui figure dans les huit classes des polynômes de Lamé. — Ce polynôme en p2 a toutes ses racines réelles, distinctes et comprises entre a2 et c2. Nous allons, pour chaque point, démontrer que si l’on fait la supposition contraire, on arrive à une absurdité.

i() Racines réelles. — Supposons qu’il y ait des racines imaginaires. Décomposons le polynôme en facteurs du premier degré en p2, puis en un produit de deux polynômes, l’un cp(p2) comprenant toutes les racines réelles, l’autre ^(p2), les racines imaginaires :

/(p2) = (p2 — aD(p2 — «2)-.-5 (p2 — «0 .-.(p2 — ««)-= ?(p2)'Kp2)>

^(p2) conserve un signe constant, cp ( p 2 ) seul peut changer de signe quand on parcourt son domaine de variation.

Considérons la première classe des fonctions de Lamé, on a

M*=/(îa*)= ?(H;2)<Khs), N**=/(v*)=;

Faisons maintenant v) = cp(p2)cp(v2), nous avons

Mais, d’après la formule précédente (170), l’intégrale est nulle puisque le degré de cp et par conséquent de <I> est inférieur à celui de Ma. Or ceci est impossible puisque tous les éléments de la seconde intégrale sont positifs, à moins de supposer que le degré de ij; soit nul, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de racines imaginaires. Pour les classes II, III, IV, il n’y a plus à considérer des radi-