CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

eaux. Par exemple, pour la classe II, nous avons

Myt = y/ |jl- — a2 cp(fj.2) N/t = \/v2 — a 2 ç(v2) cp(v2) ;

nous posons alors pour la fonction <I>

v) = \J \xl — a- \J v2 - a2 cp ( p.2 ) cp(v2).

La fonction considérée plus haut devient

j jf $(p, v)J0M*N* ch

~fj (fx2— «2)02 — â2)[cp(p.2)®(v2)]2^(ji.2)6(v2)^fi.^v.

Ces intégrales doivent être nulles; or les éléments de la seconde conservent encore un signe constant, car onaa2>pi8>v2. Il faut donc encore que le degré de cp soit nul.

2° Racines distinctes. — 11 n’y a pas de racines multiples. Supposons qu’il y ait des racines multiples et soient p{ , p2, ... les ordres de multiplicité. Si p{ est pair, on aura un terme de la forme (p2 — oc,)2"1; si p 2 est impair, on écrira le terme correspondant (p2 — a.>)2"2+1 = (p2 — oc2)2"2(p2 — a2). Finalement, on réunira en un polynôme cp toutes les racines distinctes, en un poiynome cp toutes les racines paires; le signe cp ne changera pas : on aura

/(P2) = (e2— ax)(p2— a2). (p2— aL)2^(p2— a2)2^. .*fc= cp(p2) <p(p2).

On a ainsi la même décomposition et l’on arrive à la même conclusion que dans le cas précédent. 11 faut que le degré de soit nul) c’est-à-dire ici qu’il n’y ait pas de racines multiples.

3° Racines comprises entre a 2 et c 2. — Décomposons encore notre poiynome /(p2) en un poiynome 9 contenant toutes les racines comprises entre a- et c2 et un poiynome cp contenant toutes les racines extérieures à l’intervalle a2, c2. Puisque p.2 et v2 restent compris entre a2 et c2, ce dernier poiynome conserve un signe constant. On verrait de la même façon qu’il doit être de degré nul. Il n’y a pas de racines extérieures à a2, c2.

C’est là une généralisation des propriétés du poiynome de

iGo FIGURES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Legendre qui a loutes ses racines réelles, distinctes et comprises entre — i et -j- i .

On pourra consulter au sujet des racines des fonctions de Lamé un travail de Stieljés, dans lequel l’auteur démontre les théorèmes par des considérations mécaniques.

02. Fonctions de Lamé de deuxième espèce. — Lamé a introduit une nouvelle fonction pour résoudre le problème du potentiel. Considérons l’équation difïérentielle qui définit R :

777tT [«(«4;i)pm + A]R,

h étant une valeur numérique, solution de l’équation caractéristique attachée à cette équation. Comme on l’a vu, la fonction de Lamé R n’est qu’une intégrale particulière de cette équation. Gomme l'intégrale générale doit comporter deux constantes arbitraires, il existe une autre solution particulière, qu’Hermite a étudiée en détail ( Comptes vendus , t. 85, 86, 89, et Œuvres complètes , t. III, p. 1 18 et 265). On désigne par S cette seconde solution et c’est elle qu’on appelle fonction de Lamé de seconde espèce. Elle vérifie donc l’équation différentielle des fonctions de Lamé et l’on a

Multiplions celte équation par -f-R, la première par — S et ajoutons, on a

R# S g cl - R

du- k du-

d'où

R d S rfR

du déc

= const.

On peut particulariser la constante, car si S est une solution, RS le sera aussi. On prend alors in -f- 1 pour valeur de cette constante, n étant le degré de R. On appellera, d’une façon plus précise, fonction de Lamé de seconde espèce , celle qui satisfait à la condition

R ÎË — s ^ = du du

Divisons par II2 et intégrons, on a

d / S \ __ 2 n -4- 1 du \ H / ~~ K - ’

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