CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAMÉ

iGl

En intégrant de o à m, la constante additive est parfaitement déterminée. L’intégrale générale de l’équation de Lamé sera linalement C i R + C2 S . *

63. Propriétés de la fonction S. — i° Les produits tels que RMN vérifient l’équation de Laplace. Nous avons vu que cela tient à ce que R est solution de l’équation différentielle de Lamé. Comme S jouit de la même propriété, le produit SMN vérifie aussi l’équation AV = o.

2° Cherchons comment se comporte S dans le voisinage de u = o ou de p = oo. Pour cela, écrivons l’expression de S en fonction de p, on a

Quand p varie de oo à a, dp est négatif, par conséquent S est positif pour toutes les valeurs de p. Cherchons sa valeur principale. Or, on a en ne conservant que les valeurs principales des termes avant et sous le signe d’intégration, R étant de degré n,

dp...

Ainsi, le développement de R commence par pn et celui de S par --1— » Tout produit RS commence donc par un terme de degré — 1

en p.

On pouvait le démontrer directement, car en essayant de vérifier l’équation différentielle qui définit R et S par un développement de la forme pa^a0-f- y + ...j» on trouve, en identifiant les termes du degré le plus élevé,

Cette équation a deux solutions, a = n qui correspond à R et oc = — ( n -f- 1 ) qui correspond à S .

APPELE. — IV

iG-2 figures d'équilibre d'une masse liquide en rotation.