FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

04. Problème de Dirichlet sur l’ellipsoïde. — Soit E0 un ellipsoïde qui correspond à la valeur p0 du paramètre p, et soit donnée sur la surface de cet ellipsoïde une fonction harmonique V0, c’està-dire une fonction de p et de v donnée pour chaque point M de l’ellipsoïde, c’est-à-dire une fonction de la position de M. Nous pouvons la développer en une série de produits MN (168),

Sa et R* étant les fonctions correspondantes à Ma, Na et R®, S® leurs valeurs pour p = p0 sur l’ellipsoïde E0. Ces fonctions sont connues ainsi que leurs valeurs S® et R® sur l’ellipsoïde. La dernière relation détermine donc les aj( si les Aa sont donnés.

Problème intérieur. — Il s’agit de déterminer une fonction harmonique V*- à l’intérieur de l’ellipsoïde qui prenne sur l’ellipsoïde la valeur V0. Il suffit de prendre

en posant

Cette série est convergente du moment que la série V0 est convergente, car on a toujours Ra<C R®, puisque à l’intérieur on a p < p0. Elle se réduit à V0 sur l’ellipsoïde et vérifie bien l’équation du