CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. l

potentiel, puisque chaque terme est harmonique. C’est bien l’expression du potentiel.

Problème extérieur . — Il suffit de prendre la série suivante comme valeur du potentiel à l’extérieur :

(i;;>) V„=2«*rîs*M*N*.

Elle est convergente comme V0, car on a S/f<[ SJ, puisque p >> p0 à l’extérieur. De plus, chaque terme est harmonique, et elle se réduit à Y0 sur l’ellipsoïde.

Ces deux fonctions V, et Ve se raccordent bien sur la surface de l’ellipsoïde ou, en d’autres termes, la fonction générale V est continue quand on traverse la surface de l’ellipsoïde.

Telle est la solution donnée par Lamé.

65. Potentiel d’une couche infiniment mince. — On peut toujours considérer ce potentiel V0 comme dû à une couche homogène infiniment mince d’épaisseur variable répandue sur l’ellipsoïde. Cette épaisseur £ peut être considérée comme positive ou négative. Nous supposons la densité égale à l’unité. La masse du cylindre élémentaire ayant pour base du sur E0 est donc Z, de r. On peut dire ainsi que la densité superficielle est égale à £.

Cherchons à déterminer la valeur qu’il faut donner à £ pour que le potentiel de cette couche soit égal à V0 sur l’ellipsoïde, à Y; et à Ve à l’intérieur et à l’extérieur.

£ étant considéré comme la densité superficielle, nous avons vu, n° 12, que l’on a

dVe dVi _____ dne dut 1 <v~'

Calculons d’abord la valeur de la dérivée suivant la normale extérieure. On a, en remarquant que p seul ou u , et par conséquent S seul varie,

dnc

d\c du du dn ^Là

du

dne

-2**«.RÎSiN*N*.

On aura de même pour la normale intérieure, en remarquant

que le signe de l0 est changé et que R seul varie,

dVt

ci lit A J

du

dut

=2a*?os"R'*M*N*-

Une fois les dérivées prises par rapport à p, il faut faire p = p0. On a finalement

— =2 a*'A)M/cN/c(S*Ri-— SiR*)«r.

D’après la relation (171) entre les fonctions de Lamé R et S, oiî obtient alors pour la valeur de Ç

Ce n’est plus une série procédant suivant les produits de Lamér puisqu’on a en facteur /0, qui est une fonction de p, et de v.

On a donc obtenu les formules qui sont fondamentales pour la suite :

(177) V„=2«iRÎSÎMiN*, ï= |î*=2-i±ia*.

Inversement , une couche d’épaisseur infiniment mince étant donnée, on peut, à l’aide des formules précédentes, écrire son potentiel. Pour cela, Ç étant supposé donné en chaqùe point deEft comme fonction de p. et v, il suffit de développer en une série

de produits MN le rapport d’après la formule ci-dessus, ce qui donne les (3*. On en déduit les a* et, par conséquent, Y0.

66. Application. Potentiel de la couche homothétique. — Considérons une couche réduite à un seul terme du développement, avec e infiniment petit; on a

(177') C = ii„M*N*, V,=

Prenons le cas le plus simple de tous, celui où la fonction de Lamé qui entre dans cette expression de Ç est de degré o. Alors R0= M0= N0= 1 et la formule générale donne