CHAPITRE VII. — FIGURES D'ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. I GO

Ainsi donc une couche ellipsoïdale d’épaisseur Ç = fi..Z0M0N0 — s/„ produit un potentiel qui, en chaque point de l’ellipsoïde, a pour valeur

Appliquons les formules générales pour le potentiel intérieur et extérieur, on a R*=RjJ=i et SJ!=££0 à l’intérieur et S/f= u à l’extérieur, d’où

(178). V{ = Uq. Yc=C\KIU.

Le potentiel est donc constant à l’intérieur et le même qu’à la surface. L’attraction est donc nulle à l’intérieur. Elle s’annule quand on traverse la couche.

A l’extérieur, les surfaces équipotentielles seront les surfaces a = const., c’est-à-dire p — const. Ce sont des ellipsoïdes homofocaux .

Ce résultat que nous trouvons ainsi par l’application des fonctions de Lamé, est d’ailleurs bien connu. On sait, en effet, que l’action de la couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques et concentriques est nulle sur un point intérieur. Nous allons montrer que c’est bien la couche définie par Ç = e/0.

Considérons les surfaces équipotentielles /(#, y, s) — C. L’élément de normale compris entre les deux surfaces voisines C et C + dC étant dn , on aura pour expression de la force au point M :

Soit maintenant l’ellipsoïde

Pu — a% ‘ Pô— & pô— c-

En faisant varier C, on a des ellipsoïdes homothétiques et concentriques. Considérons ces surfaces comme des surfaces équipotentielles, l’expression de la force sera

~=2i / ^ +- Z + iEZ.

dn y (p§— a2)2 C Po — ^2)2 (Po — c'2)2

Or, la quantité sous le radical a déjà été calculée (124); si, de

l()6 FIGURES D’ÉQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

plus, on tient compte de la valeur de y. (i25), on a

Or, A0 (i25) et p0 sont constants sur l'ellipsoïde, l0 est fonction de p et v ( 1 64)- Dans le cas actuel, dC est également constant et infiniment petit; on a donc bien pour l’épaisseur de la couche comprise entre deux ellipsoïdes homothétiques et concentriques :

La formule Ve= \tizu obtenue dans ce cas donne une signification mécanique de la variable elliptique u.

67. Notation des fonctions usuelles de Lamé. — Nous nous servirons des fonctions des ordres o, 1,2.

Dans l’ordre o, nous avons une seule fonction de chaque variable :

Dans l’ordre 1 , nous avons trois fonctions, 2 n + 1 = 3 :

(180) Ri = yp2 a2, R,= b 2? R3 z= C',

et les formules analogues pour M, , Nj , etc.

Pour passer des coordonnées elliptiques aux coordonnées cartésiennes, on se servira des formules

(181) x = ZiiRiMiN,, A2R.2M,N2, z = A3R3M3N3,

dn — Ç = zlo, où c = A0p0 dC.

Ro = I? -Mo — I? N0 — 1.

où

Dans l’ordre 2, ona2/i + i = 5 fonctions. D’abord

R*= \/(p *-6*)(p*-c«), R5= v/(p2-«j)(P!-cs).

Rô = v(p'2- a°-)(p2— &2)-

Puis