CR3R

Les cosinus directeurs de la normale à l’ellipsoïde s’expriment aussi facilement au moyen de ces fonctions. Soit n la normale extérieure; cherchons cos (n, x). Nous avons vu (n° 58) que la normale à l’ellipsoïde s’obtient en considérant p. et v comme constants et p seul variable, et en faisant ensuite p = p0. On a donc

COs(rt, x) =

dx

ds

dx dx dn a dp

D’autre part, dans l’expression de x , en mettant la variable p en évidence, on a

x — hy y/p2 — a% Mi N i ,

Or, on a encore

dx= — k- ° — Mj Ni dp.

ayp2^— a2 y p- — a2

Nous arrivons ainsi aux formules

i cos(/i, x) = AiZMtN-iRi,

(i 84 ) ] cos(tî, y) = /i2m2N2Rs,

( cos (nr z) =, h* l M3 N-3 Hc .

68. Méthode de Poincaré. — Poincaré se propose de trouver des figures d’équilibre infiniment voisines des figures d’équilibre ellipsoïdales déjà connues.

Soit un ellipsoïde matériel E, homogène, et V son potentiel. Donnons à la surface de l’ellipsoïde une déformation infiniment petite. On obtient ainsi un nouveau volume attirant, infiniment voisin de E, qui peut être considéré comme obtenu en ajoutant ou retranchant certaines portions de la même matière en certains points. On peut, en effet, considérer l’épaisseur Ç comme positive en certains endroits et négative en d’autres.

Soit V' le potentiel de cette couche. Nous savons le calculer et l’exprimer par les formules étudiées ci-dessus. L’ensemble de l’ellipsoïde de la couche crée un certain potentiel A , qui donne la relation

C’est à l’aide de cette formule générale et en calculant cette différence "V i — V que Poincaré trouve les principaux résultats nouveaux de la théorie.

Si le volume reste constant, il faut ajouter comme condition complémentaire la relation

69. Potentiel de l’ellipsoïde. — Nous allons d’abord, par cette méthode générale, établir les formules qui donnent le potentiel d’un ellipsoïde homogène exprimé au moyen des fonctions de Lamé.

Considérons l’ellipsoïde E rapporté à ses axes Oxyz. Soient P(#, y, z ) un point de l’espace et V(a?, y, z ) le potentiel en ce point. Déplaçons infiniment peu, par une translation suivant l’axe des #, l’ellipsoïde E qui viendra ainsi en E; ( fig . 34). Le centre s’est déplacé de 00'= g. Le potentiel en P dû à E' est égal à \ , et ce"^ , est égal au potentiel de E sur un point P' de coordonnées x — £, jy, z. En appelant donc A ' le potentiel de la couche, on aura

Ainsi, pour calculer il suffira de calculer le potentiel de la