CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES. iGg

couche comprise entre les deux ellipsoïdes et, pour cela, il suffira de calculer £ comme on l’a vu.

Soit donc P un point de la surface E. Menons la normale PP

qui rencontre en P" l’ellipsoïde E'. Menons de plus PP' parallèle à l’axe des x. Le triangle infinitésimal PP" P' est rectangle en P". Qn a alors

Ç =3 PP" = PP' cos P" PP' = s cos(/z , x)y

ou, en appelant p0 la valeur de p qui correspond à l’ellipsoïde E, et l’indice o signifiant qu’on fait p =. p0, on a

(186) X, = s/iiR^^oMiNj.

L’expression de la couche n’ayant qu’un seul terme, nous savons écrire le potentiel de cette couche. On a (n° 66)

d’où, d’après les formules (174) et ( 1 ^5 ),

-(187) V/= ^s/iiRo.SORiMiN,,, cAiRo.RoS^RN,

A V intérieur , on aura pour les composantes de la force dérivée du potentiel

àV

4irc

Ce sont des fonctions linéaires de x, y, z] donc V/ sera une fonction quadratique de x, y, z dont l’expression s’obtient immédiatement par intégration

T/S(> 0 jSg 0

tVrî^'rI^

Pour V extérieur , on aura de même

dV

àx

d-X--Thr

dy ~ R2r’

dl __T^

àz ~ R

Seulement ici les coefficients de x , y, z ne sont plus constants, mais fonctions de p. Les dérivées du potentiel ne sont plus linéaires en a?, y , z. L’intégration donnera également le potentiel, mais sous une forme plus compliquée.

70. Équations des figures ellipsoïdales d’équilibre au moyen des fonctions de Lamé. — Nous supposons que l’ellipsoïde tourne autour de Ox. S’il y a équilibre relatif, la fonction U est constante en tous les points de l’ellipsoïde, c’est-à-dire de la surface libre

(191) U = V -h (/2-b z2) =const. ,

En remplaçant V par sa valeur trouvée ci-dessus (189), il vient

w2 - T r| ) ■ r + - T af r 2 = const-

La surface définie par cette équation est la surface même de l’ellipsoïde

(Rfy + (Rfy (Rfy “ 1 “ °*

Ces deux équations représentant la même surface sont identiques. On a, en les identifiant et supprimant les indices o,

TS1R1 = TSo R 2 — C0-R5 = TS3R3 — W” Rjj,