T ~ RH

S2R2 — Si R, S3R3— SiRi

Ri “ Rjj

Ces formules donnent les rapports des axes. On déduira ensuite leur valeur exacte au moyen de l’équation du volume.

Remarque. — • Puisque w2 et T sont toujours positifs, on doit avoir, d’après (192), les relations S2R2 — S|R|>o et S3R3 — S,R, ]> o. En effet, on a

d’où

3 du

rT

Faisons passer les facteurs RJ et R2 sous le signe d’intégration en les désignant par RJ2 et R^2. On peut écrire

S .Ro — Si R

Or, le rapport décroît constamment de 1 à o quand

I7'2 figures d'équilibre d'une masse liquide en rotation.

p2 varie de co à a 2, c’est-à-dire quand u varie de o à w. Gomme

l^y— est la valeur que prend ^ à la limite d’intégration u, on a constamment > ypir L’intégrale est donc positive et l’on a bien

( 1 95 ) S.>Ro — Si Ri > o.

71. Résolution des équations d’équilibre. — On a deux cas, comme on sait.

i° Ellipsoïdes de Maclaurin. — Faisons b — c , c’est-à-dire R > = R3. L’équation (194) est satisfaite. Il reste à discuter l’équation (190). On introduit pour cela le paramètre Z, rapport de la distance focale, au petit axe. 11 est inutile de recommencer cette discussion qui donne deux figures ellipsoïdales si la vitesse de rotation reste au-dessous d’un certain maximum. ( Voir Chap. IL)

20 Ellipsoïdes de Jacobi. — Nous supposons R2^R3. Poincaré met alors l’équation (194) sous une forme remarquable que nous allons établir.

Cette équation peut s’écrire d’abord

(S2Rn — S3R2)R2R;. = SiR^Rg — R|).

En remplaçant S2 et S3 par leurs expressions

• /,l‘RLR^rf“ = s iR.(RÜ-RÜ)-

Mais on a R4 — R2Il3 et, de plus, on peut diviser les deux termes par la quantité constante et non nulle

11 vient donc

3R 'if ^“ = S,R, ou 3R*^ = SJR1.