PO

d’où

*-«É kWW+W+W-

Or, nous avons vu que si f(x, y, z) représente un 'ellipsoïde, ce radical a une expression de la forme £^£1:. On a donc la formule

>1 = const.

Le produit gl est donc constant sur toute la surface de l’ellipsoïde. Pour déterminer la valeur de cette constante, il suffit de la calculer en un point, par exemple au pôle où l’on a y —’z — o et U — Y, ainsi que x — R? :

■^ = t|!* = TS0.

dx R 9 1

On a encore au pôle p=ôetv = c, puisque y — o et ’z = o ; on

aura donc pour la valeur de l en ce point (164)

On obtient donc finalement

= |îtR?S°.

73. Expression de la déformation de l’ellipsoïde qui fournit une

figure d’équilibro infiniment voisine. — Considérons un ellipsoïde en équilibre relatif tournant autour de Ox . Déformons-le en lui ajoutant une couche infiniment mince d’épaisseur tantôt positive et tantôt négative, dont le volume total est nul. Le volume algébrique de la couche étant nul, cela revient bien aune simple déformation.

Nous obtenons ainsi une nouvelle figure constituée par l’ensemble de l’ellipsoïde et de la couche. Si cette surface nouvelle est une surface d’équilibre, la nouvelle fonction de forces est constante en tous les points de la nouvelle surface.

Soient E la surface de l’ellipsoïde primitif et È' la nouvelle surface ( fi g . 34). La normale extérieure donnera le sens positif de Ç avec PP" = Ç. La valeur de la fonction des forces U est constante en tous les points de l’ellipsoïde tels que P et représentés par

La valeur, au point voisin P" de cette fonction U, sera

Cette valeur est la résultante de la rotation et de l’attraction de E en P. Il faut y ajouter le potentiel V'de la couche sur elle-même, et la nouvelle fonction des forces totales sera en P"

Pour que la nouvelle surface soit une surface d’équilibre, il faut que cette fonction soit constante sur toute la surface E'. Comme U0