CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

est constant, il faut la condition

(201) V' — gX = const.

De plus, nous avons vu que l’expression du développement de Ç en série de produits de Lamé est

ou Ç =2 Mo Mi N*.

Or, le volume de la couche étant nul, on a

ou

kh M/-N/. ch = o.

Mais d’après les propriétés des fonctions de Lamé (170), tous les termes sous le signe 2 sont nuis, sauf le premier d’indice o, car Ba = O (p, v) est de l’ordre zéro en [j. et v, comme a* (1 a3) et (127), et l’on a

Il s’ensuit que (30 — o et la série qui donne Ç commence par le terme d’indice 1, à l’exclusion du terme d’indice 0. On aura donc finalement

(202) Ç=2M6MiNi.

Il faut j joindre l’expression du potentiel de la couche sur ellemême,

03) y; =2 a* SJ R? Mi Ni, a* = -ÔJL- p*.

Ces trois formules permettent de passer de la couche à son potentiel ou inversement.

74. Détermination des coefficients qui définissent la déformation. — Portons ces valeurs de-V,, et de Ç dans (201) et rempla-

çonsg70 par sa valeur (200), il vient, en supprimant les indices o,

Cette équation a lieu en tous les points de l’ellipsoïde, quelles que soient les valeurs données à jjl et v. Elle représente donc le développement d’une constante en produits de Lamé. Comme ce développement n’est possible que d’une seule manière, il faut que tous les coefficients soient nuis, sauf celui de degré o, qui est constant. Or, on vient de voir qu’il est nul. Donc la constante et tous les coefficients sont nuis. 4

Pour que la couche Ç donne une figure d’équilibre, il y a donc une infinité de conditions à satisfaire. Elles sont données par la relation générale

(204) — "ir1) ^ 0 (* = i> 2, s, ..., 00).

Chacune de ces relations est le produit de deux facteurs. Si le second facteur n’est pas nul, (3* est nul. Au contraire, (3* est arbitraire et non nul si le second facteur est nul. Si ce second facteur ne pouvait pas s’annuler, tous les [3* seraient nuis et il n’y aurait pas de figure d’équilibre.

Examinons cette relation pour/i = 1. On a ni -f- 1 = 3, et l’on peut supprimer le dénominateur. Pour k = 1 , il vient

(200) pi (Si Ri — SiRiÿ^o.

Le second terme est nul, donc [3 , reste arbitraire.

Pour A' = 2 et k = 3, on a

(206) P*(S,Rt— Si Ri) - o, p3(S3R3 — SiRi) = o.

Or, les parenthèses ne sont pas nulles, d’après la formule (ig5); on a donc (32 = o et (33 = o. On a vu que R, , R2, R3 sont les trois seules fonctions correspondant au cas n = 1.

Pour n = 2, on a à considérer les cinq fonctions d’indice k = 4- • • S. 11 faut de plus, ici, séparer le cas où l’on cherche les