CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES
figures voisines des ellipsoïdes de Maclaurin de ceux où l’on cherche les figures voisines des ellipsoïdes de Jacobi. Supposons d’abord ce dernier cas. On a d’abord, pour A* = 4?
Le facleur entre parenthèses est toujours nul quand il s’agit d’ellipsoïdes de Jacobi. Donc (3.4 n’est pas nul, mais quelconque.
Pour les autres valeurs de k le second facteur ne sera pas nul en général et ne pourra l’être que pour certaines valeurs numériques spéciales des axes de l’ellipsoïde. Mais, pour un ellipsoïde quelconque, il n’en sera pas ainsi et les [3G, ... seront nuis. .
75. Signification des deux premiers coefficients. — Nous venons de voir que le problème posé admet au moins une série de solutions, quel que soit l’ellipsoïde d’où l’on part, c’est-à-dire que les coefficients p* ne sont pas tous nuis, même pour un ellipsoïde quelconque. En effet, nous avons vu que (3t et (34 restent toujours arbitraires, de sorte que nous obtiendrons encore une figure d’équilibre en considérant la couche
( 20 8 ) 'c = 3i l0 Mi Ni 4- P , h M v N4.
Nous allons voir qu’en réalité cette couche ne donne pas une nouvelle figure d’équilibre, mais seulement un déplacement de la première.
Gomme (3( et (3 4 sont infiniment petits, nous pouvons considérer cette couche comme la superposition de deux autres :
"C — [3i A, Mi N j , £ = Pi h Ni.
Considérons la première. Nous avons vu (186) n° 69 qu’elle s’obtient en faisant glisser l’ellipsoïde d’une quantité infiniment petite 00' parallèlement à Ox. On a alors
pi= thL R?.
Cette solution est d’ailleurs évidente, puisque c’est le même ellipsoïde tournant autour du même axe de rotation.
Le second cas s’obtient, comme nous allons le voir, en faisant tourner les axes O y, et la figure de l’ellipsoïde autour de
APPEL!.. — IY.
l’axe O#. Soient, en effet, dO l’angle dont on a fait tourner ces axes et P un point de coordonnées x, y, z ( fig . 35). Appelons V le
potentiel en P dû à l’ellipsoïde primitif et Vi le même potentiel après la rotation. Or V< peut s’obtenir en laissant l’ellipsoïde fixe et en faisant tourner P de — à9 pour l’amener en P,. Le potentiel Y, en P est le même que le potentiel V en P,, c’est-à-dire
Mais
donc
Y,(.r. y. z ) = \(x,, y i, Si).
X\ = .r, y, — y -+- .z ôO, zy = z — yoü.
V4 — \(x, y z oO, g — y ôO) = V(a?, y, z) 4- o
J <)X àY\
En appelant Y' le potentiel du à la couche en P, on a, en tenant compte de ( 1 88 ) ,
La parenthèse serait nulle dans le cas de l’ellipsoïde de Maclaurin, Elle ne l’est pas dans celui de Jacobi. Il est évident, d’ailleurs, que la couche serait nulle dans le premier cas, l’ellipsoïde étant de révolution. Remplaçons alors y et z par leurs valeurs à la surface ( 1 8 1 ) , il vient
v'= so(§! - H)ta,a,rîrjm,n,m,n,*
La couche correspondant à ce potentiel serait donc, d’après (i 77'), de la forme
. : = ? w,nv.
