CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

C’est bien le cas de k = 4* Les solutions véritables commenceront donc à A = 5. Elles ne pourront d’ailleurs apparaître qu’en des points séparés, sur la courbe d’équilibre, puisqu’elles vérifient une équation dépendant d’un nombre entier i n -f- 1.

Les ellipsoïdes d’équilibre spéciaux qui sont de cette nature, c’est-à-dire tels qu’il existe des figures d’équilibre infiniment voisines, seront appelés ellipsoïdes de bifurcation.

76. Discussion générale des équations de condition. — Nous allons discuter d’abord, avec Poincaré, l’équation générale

li et S* étant d’ordre tî, R, et S,: étant d’ordre p. On peut d’ailleurs avoir p = ji, pourvu que l’on ait i ^ k.

Supposons a2, 62, c'2 donnés. 11 ne reste plus qu’une variable p2 variant de oc à a2, et la variable elliptique correspondante u varie de o à 00. Considérons alors, au lieu de F, la fonction auxiliaire F

F, == qp* Comme R* a ses racines comprises entre a 2 et è2, il ne

s’annule pas dans le champ de variation de p, et par conséquent Ft aura les mêmes racines que F. Nous pouvons écrire

En dérivant par rapport à m, on a

d F, du

2J9+I R i du

I fS, d

2 p -f- I R; du

car nous avons vu que l’on avait

d’où

Nous pourrons donc encore écrire

N d¥ 1 S,(R{R* — RiRf)

K } du ~ RÏ

— 2 Si d ■ p- 1- 1 R* du

S i et R* conservent un signe constant dans l’intervalle de variation.

l8o FIGURES D'ÉQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

Donc l’expression ne changera de signe qu’avec la dérivée du second membre.

Premier cas . — Si le rapport varie dans le même sens, sa dérivée conserve un signe constant et également. Donc F, variera toujours dans le même sens avec p et ne pourra s’annuler qu’avec p — oc, car alors F , est de l’ordre de \ •

Ainsi, dans ce cas, quand p part de l’infini et va vers a2, F, part de o et garde un signe constant. On peut rejeter sans discussionla racine p = go qui donne une sphère, car alors les axes sont égaux à l’unité. La fonction F,, et par conséquent la fonction F, n’ont

pas de racine, quand 5i varie dans le même sens. Il n’j a pas de figure d’équilibre.

Second cas. — Le rapport 5* ne varie pas toujours dans le même sens. Développons sa dérivée; on pourra écrire

dFl = -2 St o

du 2 p 1 R/j? Y

(? = r;r*-rOV).

Son signe ne dépend que de celui du numérateur, c’est-à-dire de 9. Prenons de nouveau la dérivée de ce numérateur; on a, en remplaçant les R" par leurs valeurs (i4i),

(212) Ri R* - Ri R , = R, R !c{[p(p -4 §)- «(«-+- I)]p2 -f- H - IR j.

Or R, et R* conservent un signe constant; par conséquent, cp' ne peut avoir qu’une racine en p2 supérieure à a-. Alors, d’après le théorème de Rolle, cp aura au plus deux racines et F, au plus trois dans le même intervalle. En rejetant la racine infinie, on voit donc que F,, et par conséquent F, auront o, i ou 2 racines.

Remarque. — Si p = 7i, le crochet de 9' est indépendant de p et 9' ne peut plus s’annuler. Dans ce cas, F n’a plus que o ou 1 racine, la racine infinie exclue.

Revenons à l’équation de condition proprement dite où l’on a fai t i = p = 1 :

Ri Si R* S*

3 2 Tl — i— 1