CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES
Or on a vu au n° 50 que R* pouvait prendre huit formes différentes, dont quatre sont divisibles par li, — y/p2 — a2. Pour ces quatre formes, le rapport ^ conserve un signe constant. Il n’y a pas de solution.
Pour quatre formes seulement, il peut y avoir des racines. Donnons à p une valeur très grande; la valeur principale de F sera
On a donc F>o pour i et p — oo. Faisons de même p2 = a-, on aura R, =. o et F < o.
Il y a donc un nombre impair de racines dans l’intervalle. Ce nombre de racines ne peut être que o, i ou 2 d’après la discussion précédente. Pour chaque valeur de n , il y a donc une racine et une seule pour chacune des quatre formes.
Remarque. — Pour /i = 1 , il n’y a pas de racines, car les quantités R1S1 — RoS2 et R|S, — ■ R3S3 correspondant à ces deux cas ne s’annulent pas. D’ailleurs
R| — RJ = p- — b2 ou R2. 3=| : Rîj = p2 — c2,
et le rapport varie toujours dans le même sens.
Cas particulier. — Considérons l’équation F des ellipsoïdes de Jacobi :
Ri S 1 R4 S 4 T> /- - — — 7 -> \ / 0
5— =o, Ri — V ( P2 ' — h2 ) ( p2 — c2 ),
R4 n’est pas divisible par R, ; il y a donc toujours à cette équation une racine et une seule. Ainsi, les quantités a2, ô2, c2 étant données, il y a toujours une valeur et une seule de p2 vérifiant cette équation. Il y aura donc toujours, parmi les ellipsoïdes homofocaux à un ellipsoïde donné, un ellipsoïde homothétique à un ellipsoïde de Jacobi et un seul.
77. Ellipsoïdes de Maclaurin. — Puisqu’il s’agit d’ellipsoïdes de révolution, les deux conditions à réaliser pour que ces ellipsoïdes
182 figures d'équilibre d’une masse liquide en rotation. soient de bifurcation seront
Ri Sj R* S* 3 -111- f- I
Elles permettront de déterminer, par exemple, a et c, et nous pourrons considérer comme inconnus p et b.
Nous avons vu, au n° 55, que, dans le cas d’un ellipsoïde de révolution, les fonctions de Lamé dégénèrent en fonctions sphériques. On pose
- = tango, < =
où 9 représente la longitude du point, et les fonctions de Lamé peuvent s’écrire
R rln+p ( j M* =*(!--/*)*■■■ (I
dtn+P
dsn~^P
On a posé £ = is dans R*, car p2 a2. Enfin N* peut prendre V une des deux formes cos^cp et sinypcp.
Appliquons les résultats des discussions précédentes. Pour que l’équation de condition ait des racines, il faut que R* ne soit pas divisible par R, , c’est-à-dire par s, car R, = s, à un facteur constant près.
Or (i -4- s-)2 ne contient pas s en facteur. Il faut donc que la dérivée — — ' S ^ - ne 1g contienne pas non plus, c’est-à-dire qu’i7 faut que n-\- p soit pair ; p sera de même parité que n.
Il est facile de voir que cette condition revient à rejeter les quatre formes divisibles par R,, comme on l’a démontré ci-dessus.
Soit n pair (les raisonnements seraient les mêmes pour n impair). Il faut que p soit pair et compris entre o et n. Déterminons la valeur de la déformation Ç. A chaque valeur de p correspondront deux solutions :
et
'S/c=:cos po N/f'— sin/jp.
