BX

dn(i — l-)n dln ’

Alors Ç s’annule pour 11 valeurs de p. Or, les courbes p = const. sont des parallèles de la surface, symétriques deux à deux par rapport au plan desys. Donc Ç s’annule et change de signe sur les parallèles. De plus, t = o n’est pas racine et Ç n’est pas nul sur l’équateur où p = a. De même t ~ 1 n’est pas racine, car X® est indépendant de (1 — t2) et Ç n’est pas nul au pôle où (jl = c.

On obtient donc une figure à cannelures ( fi g . 36). C’est une figure d’équilibre zonale d’après la terminologie anglaise du n° 36. On peut supposer, avec Poincaré, que, la vitesse de rotation augmentant, les cannelures se creuseront à mesure que la vitesse de rotation augmentera, et que l’équilibre pourra subsister. La démonstration n’est rigoureuse que dans le voisinage de la figure ellipsoïdale.

Soit p = n. On a les solutions

(217) ~ = pXJJ cos no, Xg = Ml ~ td- = *i(i -

Ç ne peut s’annuler que pour p. = c ou pour cos no = o. Donc £

s’annule aux pôles et le long d’une série de n méridiens symétriques par rapport au plan xy et au plan bissecteur de l’un quel-

Fig. 36.

Fig. 36 bis.

conque de ces fuseaux. C’est une figure d’équilibre sectoriale (fig. 36 bis).

Soit le cas général o <Cp < n. On a

T ~ COSjD©.

Ç s’annule à la fois sur une série de méridiens et sur une série de parallèles qui découpent une figure d’équilibre tesserale, formant un véritable réseau , une sorte de damier, à la surface de l’ellipsoïde, et où la déformation est alternativement positive et négative à l’intérieur de chacune des mailles.

78. Ellipsoïdes donnant d’autres ellipsoïdes. — Nous allons rechercher, parmi les figures de bifurcation des ellipsoïdes, celles qui donnent naissance à un autre ellipsoïde infiniment voisin du premier.

Or, Y étantle potentiel de l’ellipsoïde primitif, V i le potentiel de l’ellipsoïde déformé, ou de la nouvelle figure d’équilibre, V7 le potentiel de la couche sur elle-même, on a vu que

Vi = V + V'.

Or, si la figure déformée est aussi un ellipsoïde, V., et V sont tous deux, à l’intérieur et sur la surface, des fonctions du second degré des coordonnées x , jr, z. Dans ce cas, V0 doit être également du