CHAPITRE VII. — FIGURES D’ÉQUILIBRE VOISINES DES ELLIPSOÏDES

second degré. Mais on a

Il faut donc finalement que le produit de Lomé R^MaN* soit une fonction de Lamé du second ordre, c’est-à-dire 3 «< k < 9.

Parmi les cinq fonctions de cet ordre, déterminées aux nos 56 et 67, il faut éliminer d’abord R5 et R0 qui sont divisibles par R,. Il reste

L’équation du second degré qui donne a, et a2 peut, d’après le n° 52, être mise sous la forme

oc — a2 a — b 2 a — c 2

On voit, par substitution, que a, est compris entre a 2 et 62, et a2 compris entre b 2 etc2, c’est-à-dire

a2 >> oc 1 >* 6 2 >• oc2 >> c2.

Ces inégalités achèvent de caractériser les nombres a, eta2 et, par conséquent, les fonctions R7 et R8, qu’il faut étudier, ainsi que R/t.

Première solution : R* Jfc H ,. Nous avons alors

Ri Sx R/,. S* .

L’ellipsoïde qui satisfait à ces deux conditions est à la fois de Maclaurin et de Jacobi. C’est l’ellipsoïde de bifurcation E.

Déterminons plus complètement les données de la solution. On a ici

D’après la discussion du numéro précédent, on voit que l’on a p — n — 2. En effet, on a alors

R* = F (is) = hi(i-h s2) = K(p2 — c2) = KR4.

Le produit de Lamé correspondant sera donc

F(ïj) F(D cos 2 ç ou F.(w) F(D sin 2 9.

Il faut prendre sin2cp. En effet, on a R-, === R2Ra- Or, en passant à la limite dans le cas de la dégénérescence, on a, à un facteur constant près,

R2jYI2N2 = y, R3 M3 N3 = z.

Le produit de Lamé R4M4N4 contiendra donc yz.t qui lui-même, à la limite, contient coscpsincp = ^sin 29. On aura donc finalement

R v M*'N* = F ( is ) F ( 2) sin 2 ®.

Deuxième solution : RA = R8. Il est aisé de voir que l’on a, F étanL la même fonction que précédemment,

R8M8Ns=F(^)F(0cos2?.

En effet, quand b tend vers c, la racine a2 comprise entre b 2 et cdevient égale à c2 et l’on a

Il s’introduira donc la même fonction F (is) F(f), mais tandis que N4 tendait vers sin2cp, ici N8 tendra vers cos 2 <p.

Ces deux cas, d’ailleurs, se confondent, car il suffit de faire

tourner les axes de ~ pour changer sin 20 en cos2<p. Ces deux solutions donnent donc le même ellipsoïde.

Troisième solution. : R* = R7. Nous voyons, par exclusion, sans avoir besoin de faire les calculs, que cet ellipsoïde correspond au cas n = 2 et p == o, d’après la discussion du numéro précédent. 11 vient alors

d-{\ h- s-)ds* 3

dr-

N- = const.,

R7 et M7 sont des polynômes de Legendre. La valeur de la constante est facile à déterminer, car v devient égal à c et N7 se réduit à c2 — a , .

On peut, d’ailleurs, dans ce cas, obtenir facilement l’expression en x , y, z du produit R7M7N7. Il suffit de faire X2 == a, dans l’identité fondamentale. Il vient

ai— e2